吉林省第二实验学校2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)

这是一份吉林省第二实验学校2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省第二实验学校九年级第一学期第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．2022年6月5日10时44分，神舟十四号飞船发射成功．航天员在天和核心舱与祖国人民通过电磁波沟通交流．电磁波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（　　）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．0.3×10﹣5 D．0.3×10﹣6
3．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（　　）

A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）

A．138° B．121° C．118° D．112°
7．如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM＝8，DM＝2，则边AB的长为（　　）

A．6 B．10 C．2 D．2
8．如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（3，3） C．（2，2） D．（3，2）
二、填空题
9．分解因式：4m2﹣1＝　 　．
10．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是 　 　（填一个即可）．
11．1275年，我国南宋数学家杨辉提出这样一个问题：直田积六百五十步，只云阔不及长一步，问阔及长各几步．意思如下：矩形面积650平方步，宽比长少1步，问宽和长各几步？若设长为x步，则根据题意可列方程为 　 　．
12．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝5，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 　 　．

13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在以AB为直径的圆上，则tan∠ADC＝　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点B．抛物线y＝﹣x2﹣x的顶点为C，连接CA、CB，则△ABC的面积为　 　．

三、解答题（共10小题）
15．先化简，再求值：，其中a＝2．
16．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．

18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BED＝150°，∠C＝45°，CD＝3，求菱形BEDF的周长．

19．如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C均在格点上（小正方形的顶点）．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中找一个格点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在图②中的边AC上找一点P，使BP平分△ABC的面积．
（3）在图③中，画出线段EF，使EF垂直平分AB，且E、F在格点上．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　 　．

21．某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资300吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的．甲、乙运输队调运物资的数量y（吨）与甲工作时间x（天）的函数图象如图所示．
（1）a＝　 　；b＝　 　．
（2）求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y（吨）与工作时间x（天）的函数关系式；
（3）直接写出乙运输队比甲运输队多运50吨物资时x的值．

22．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是 　 　．
【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2，求BC的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝10，CF＝12，则EF的长为 　 　．


23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，连结CD．动点P从点A出发沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PD，设点P的运动时间为t秒．
（1）求线段CP的长（用含有t的代数式表示）．
（2）在运动过程中，当∠PDC＝∠A时，求t的值．
（3）当P在AC上运动时，S△CDP：S△ABC＝2：7，求∠PDC的正切值．
（4）当点P不与点C重合时，作点C关于直线PD的对称点C′，当C′P∥AB时，请直接写出t的值．

24．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的图像过（0，﹣2）．
（1）求二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的解析式．
（2）求二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1与x轴的交点坐标．
（3）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1（m≤x≤m+2）的图像记为G，当图像G与坐标轴只有一个交点时，求m的取值范围．
（4）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1图像上一点P，其横坐标为m．过点P作PQ⊥x轴于点Q，点M（3﹣m，0），以PQ、QM为边构建矩形PQMN，当矩形PQMN的边与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的图像只有三个交点时，直接写出m的取值范围．


参考答案
一、选择题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
解：﹣的相反数是：．
故选：D．
2．2022年6月5日10时44分，神舟十四号飞船发射成功．航天员在天和核心舱与祖国人民通过电磁波沟通交流．电磁波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（　　）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．0.3×10﹣5 D．0.3×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000003＝3×10﹣6．
故选：B．
3．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
解：A．俯视图是三角形，故本选项符合题意；
B．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C．俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；
D．俯视图是正方形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设这个数为x，则x≥a，所以画实心原点，方向向右，从而得出答案．
解：设这个数为x，
则x≥a，
故选：D．
5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（　　）

A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
【分析】在Rt△A′OH中，利用正弦的定义可得出sin∠AOA′＝，进而可得出A′H＝4sin47°米．
解：在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，
∴sin∠AOA′＝，
∴A′H＝OA′•sin∠AOA′＝4sin47°（米）．
故选：A．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）

A．138° B．121° C．118° D．112°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
7．如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM＝8，DM＝2，则边AB的长为（　　）

A．6 B．10 C．2 D．2
【分析】如图，连接CM，根据勾股定理和矩形的性质即可解决问题．
解：如图，连接CM，

由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴MA＝MC＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴CD＝＝＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，
故选：D．
8．如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（3，3） C．（2，2） D．（3，2）
【分析】根据平移的性质可求出点A′的坐标进而求出平移的距离，由线段BC所扫过的面积为9，可求出OB，得出点B坐标，进而求出点B′的坐标即可．
解：由平移的性质可知，点A与点A′的纵坐标相同，
当y＝2时，即2＝，
解得x＝2，
∴点A′的坐标为（2，），
∴矩形平移的距离AA′＝2+1＝3＝BB′，
又∵线段BC扫过的面积为9，
∴OB＝9÷3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴点B′的坐标为（3，3），
故选：B．
二、填空题
9．分解因式：4m2﹣1＝　（2m+1）（2m﹣1）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1）．
故答案为：（2m+1）（2m﹣1）．
10．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是 　3（答案不唯一）　（填一个即可）．
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
所以a的值可以是3．
故答案为：3（答案不唯一）．
11．1275年，我国南宋数学家杨辉提出这样一个问题：直田积六百五十步，只云阔不及长一步，问阔及长各几步．意思如下：矩形面积650平方步，宽比长少1步，问宽和长各几步？若设长为x步，则根据题意可列方程为 　x（x﹣1）＝650　．
【分析】若设长为x步，则宽为（x﹣1）步，根据矩形面积650平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若设长为x步，则宽为（x﹣1）步，
依题意得：x（x﹣1）＝650．
故答案为：x（x﹣1）＝650．
12．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝5，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 　12　．

【分析】根据三角形中位线定理证明四边形EHGF是平行四边形，再由中位线定理求GH和EH的长，相加可得周长．
解：∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥AD，EH＝AD＝×7＝，
同理可得：GF∥AD，GF＝＝，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴GH＝EF，
同理可知：GH＝BC＝，
∴四边形EFGH的周长＝2GH+2EH＝2×+2×＝12；
故答案为：12．
13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在以AB为直径的圆上，则tan∠ADC＝　　．

【分析】根据图形求出AC和BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再解直角三角形求出tan∠ABC即可．
解：由图可知：AC＝3，BC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，过点A作y轴的平行线与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点B．抛物线y＝﹣x2﹣x的顶点为C，连接CA、CB，则△ABC的面积为　10　．

【分析】由两个抛物线的解析式可以得出顶点A、C的坐标，将x＝2代入y＝﹣x2﹣x中得出B点的坐标，根据A、B、C三点的坐标即可得出AB的长以及点C到直线AB的距离h，结合三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1（a为常数）的顶点为A，
∴点A的坐标为（2，1），
∵抛物线y＝﹣x2﹣x＝﹣+，
∴点C的坐标为（﹣2，）．
令x＝2，则有y＝﹣×22﹣×2＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，﹣4），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，点C到直线AB的距离h＝2﹣（﹣2）＝4，
△ABC的面积S＝AB•h＝×5×4＝10．
故答案为：10．
三、解答题（共10小题）
15．先化简，再求值：，其中a＝2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
解：
＝
＝．
16．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．
【分析】设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米．依据“小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．
解：设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米．
根据题意得：．
解得x＝20．
经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义．
答：小红骑自行车的速度是每小时20千米．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．

【分析】先利用互余计算出∠B＝65°，再利用半径相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数．
解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BED＝150°，∠C＝45°，CD＝3，求菱形BEDF的周长．

【分析】（1）利用题目中条件DE∥BC，DF∥AB，可知四边形BEDF是平行四边形，因为BD平分∠ABC，可知∠ABD＝∠DBC，通过等量代换，可求证BE＝DE，从而求得平行四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，通过已知条件，分别在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，一个是等腰直角三角形，即可求出线段之间的关系，继而可以求出菱形BEDF的周长．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，

∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF＝DE＝BE，
∴∠DFB＝∠BED＝150°，
∴∠DFH＝180°﹣∠DFB＝30°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHF＝∠DHC＝90°，
∴DH＝DF，
∵∠C＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH＝CD＝×＝3，
∴DF＝2DH＝6，
∴菱形BEDF的周长＝4DF＝24．
19．如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C均在格点上（小正方形的顶点）．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中找一个格点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在图②中的边AC上找一点P，使BP平分△ABC的面积．
（3）在图③中，画出线段EF，使EF垂直平分AB，且E、F在格点上．
【分析】（1）利用平行四边形的判定作出图形即可；
（2）作出AC边上的中线BP即为；
（3）利用数形结合的思想作出线段EF即可．
解：（1）如图，点D或D′即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，线段EF即为所求．

20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　﹣2≤y＜6　．

【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解；
（2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，
x＝1时，y＝a（1+1）2﹣2＝0，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣2；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2，
当x＝3时，y＝6，
∴当﹣3≤x＜3时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
故答案为：﹣2≤y＜6．
21．某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资300吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的．甲、乙运输队调运物资的数量y（吨）与甲工作时间x（天）的函数图象如图所示．
（1）a＝　5　；b＝　11　．
（2）求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y（吨）与工作时间x（天）的函数关系式；
（3）直接写出乙运输队比甲运输队多运50吨物资时x的值．

【分析】（1）根据题意可以求a，b的值．
（2）设解析式为y＝kx+b且过（5，150），（11，300），用待定系数法可求解析式．
（3）由乙运输队比甲运输队多运50吨物资，可得y乙﹣y甲＝50，代入可得x的值．
解：（1）∵甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作
∴a＝3+2＝5
∵甲运输的工作效率降低到原来的
∴原来3天调运150吨，现在需6天调运150吨．
∴b＝5+6＝11
（2）设函数关系式为y＝kx+b，
∵图象过（5，150），（11，300）
∴
解得：
∴解析式y＝25x+25
（3）
由题意得：乙运输队调运物资的数量y（吨）与工作时间x（天）的函数关系式：y＝37.5x
①若乙运输队调运物资没有完成．
∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资
∴37.5x﹣（25x+25）＝50
∴x＝6
当乙运输队运输完物资后，
∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资
∴300﹣（25x+25）＝50
∴x＝9
∴x＝6或9
22．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜6　．
【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2，求BC的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝10，CF＝12，则EF的长为 　2　．


【分析】（1）证明△DAC≌△DEB得AC＝EB，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；
（2）延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，证明△DAC≌△DEB得AC＝EB，再证明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD，进而得BC；
（3）延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，证明△CDF≌△BDG，得BG＝CF，∠DCF＝∠DBG，再证明∠EBG＝90°，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF．
解：（1）在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝4，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，
∴4＜AE＜112，
∴2＜AD＜6，
故答案为：2＜AD＜6；

（2）延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如图②，

在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝3，
∵AE＝2AD＝4，AB＝5，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝2；

（3）延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，如图③，

在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝12，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，
∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠DBG＝90°，
∴EG＝＝＝2，
∴EF＝2，
故答案为：2．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，连结CD．动点P从点A出发沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PD，设点P的运动时间为t秒．
（1）求线段CP的长（用含有t的代数式表示）．
（2）在运动过程中，当∠PDC＝∠A时，求t的值．
（3）当P在AC上运动时，S△CDP：S△ABC＝2：7，求∠PDC的正切值．
（4）当点P不与点C重合时，作点C关于直线PD的对称点C′，当C′P∥AB时，请直接写出t的值．

【分析】（1）分点P在AC上或点P在CB上两种情形，分别表示CP的长；
（2）当点P在AC上时，利用△DPC∽△ADC，得＝，可得CP的长，当点P在BC上时，可知DP⊥BC，则CP＝3，从而解决问题；
（3）分两种情形：当点P在AC上时，如图，过点D作DM⊥AC于M，PN⊥CD于N，求出PC的长，再利用等积法求出PN，从而得出答案，当点P在BC上时，同理可得答案；
（4）当点P在AC上时，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AP＝C'D＝CD＝5，得t＝，当点P在CD上时，同理可得答案．
解：（1）∵动点P从点A出发沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度运动，
当点P在AC上时，
∴CP＝8﹣2t，
当点P在CB上时，
∴CP＝2t﹣8；
综上所述，PC＝；

（2）当点P在AC上时，
∵AC⊥BC，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
又∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝5，
又∵∠PDC＝∠A，∠ACD为公共角，
∴△DPC∽△ADC，
∴＝，
∴CP＝×5＝，
由（1）得CP＝8﹣2t，
∴8﹣2t＝，
∴t＝，
当点P'在BC上时，
∵∠P'DC＝∠A，∠B＝∠DCP'，
∴∠P'DC+∠DCP'＝90°，
∴DP'⊥BC，
∴CP'＝3，

∴t＝，
综上：t＝或；

（3）∵S△ABC＝×6×8＝24，
∴S△CDP＝S△ABC＝，
当点P在AC上时，
如图，过点D作DM⊥AC于M，PN⊥CD于N，

∴DM∥CB，
∴S△CDP＝•CP•DM＝，
∵D为中点，
∴DM＝3，
∴CP＝××2＝，
∴CP×DM＝CD×PN，
∴PN＝×3÷5＝，
由勾股定理得，CN＝，
∴DN＝CD﹣CN＝5﹣＝，
∴tan∠CDP＝＝÷＝，
当点P在BC上时，CP＝，作PG⊥CD于G，

由△CGP∽△BCA得，＝＝，
∴CG＝，PG＝，
∴DG＝CD﹣CG＝5﹣＝，
∴tan∠PDC＝＝÷＝，
综上：tan∠PDC＝或；

（4）当点P在AC上时，

∴C'P∥AB，
∴∠C'＝∠ACD＝∠ADC'，∠A＝∠APC'，
∴C'M＝PM，AM＝DM，
∴AP＝C'D＝CD＝5，
∴t＝，
当点P在CD上时，

同理可得BP＝C'D＝CD＝5，
∴CP＝1，
∴t＝，
综上：t＝或．
24．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的图像过（0，﹣2）．
（1）求二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的解析式．
（2）求二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1与x轴的交点坐标．
（3）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1（m≤x≤m+2）的图像记为G，当图像G与坐标轴只有一个交点时，求m的取值范围．
（4）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1图像上一点P，其横坐标为m．过点P作PQ⊥x轴于点Q，点M（3﹣m，0），以PQ、QM为边构建矩形PQMN，当矩形PQMN的边与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+1的图像只有三个交点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a+1，求出a的值即可；
（2）由x2﹣2x﹣2＝0即可求交点；
（3）画出函数图象，结合图象可得，当﹣+1≤m+2＜0时，图象G与x轴有一个交点，此时﹣﹣1≤m＜﹣2；当﹣+1＜m≤0时，图象G与y轴有一个交点，此时﹣+1＜m≤0；当m≤+1≤m+1时，图象G与x轴有一个交点此时≤m≤+1；
（4）P点在函数上，只需矩形PQMN的边与二次函数的图象再由两个交点即可，画出函数图象，结合图象可得当2﹣≤m＜1时，矩形PQMN的边与二次函数的图像只有三个交点．
解：（1）将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a+1，
∴﹣3a+1＝﹣2，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣2；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣2＝0，
解得x＝+1或x＝﹣+1，
∴函数与x轴的交点为（+1，0），（﹣+1，0）；
（3）如图1，当﹣+1≤m+2＜0时，图象G与x轴有一个交点，
∴此时﹣﹣1≤m＜﹣2；
如图2，当﹣+1＜m≤0时，图象G与y轴有一个交点，
此时﹣+1＜m≤0；
如图3，当m≤+1≤m+1时，图象G与x轴有一个交点，
此时≤m≤+1；
综上所述：﹣﹣1≤m＜﹣2或﹣+1＜m≤0或≤m≤+1时，图象G与坐标轴只有一个交点；
（4）∵P点在函数上，
∴只需矩形PQMN的边与二次函数的图象再由两个交点即可，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的顶点为（1，﹣3），
∵P点横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣2），
当m＝1时，PQ经过抛物线的顶点，此时PQ、PN与抛物线交于顶点，
当3﹣m＝1+时，解得m＝2﹣时，
∴m≤2﹣时，MN边与抛物线有一个交点，
∴2﹣≤m＜1时，矩形PQMN的边与二次函数的图像只有三个交点．