湖北省潜江市高石碑2022-2023学年一中八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)

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2022-2023学年湖北省潜江市高石碑一中八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，6，7 C．2，2，6 D．5，6，7
2．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）

A．120° B．105° C．60° D．45°
4．如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（　　）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
7．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，∠B＝∠C．添加下列条件无法证得△ABF≌△DCE的是（　　）

A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE
8．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，S△ABC＝16cm2，则S△EBF＝（　　）

A．8cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．2cm2
9．如图，将△ABC纸片沿DE折叠使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝112°，则∠1+∠2的大小为（　　）

A．44° B．41° C．88° D．82°
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝　 　．
12．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为　 　．
13．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝　 　．

14．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是　 　．

15．如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，OA+BO＝　 　．

三．解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．求出下列图形中x的值．

17．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 　 　平方单位；
（2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）；
①作格点△PAB，使△PAB和△ABC的面积相等；（作出一个即可）
②在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等．

18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．

19．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF．求证：∠C＝∠F．

20．如图（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，完成下列填空．

①如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　．
②如图（3），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　．
③如图（4），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　．
④如图（5），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　．
21．如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．

22．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，求v．

23．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，∠B＝∠CFD．
证明：（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．

24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，A（﹣6，0），B（0，3）．

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM＝CM，求证：∠CMN+∠BAM＝90°；
（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，其中∠ABE＝∠OBF＝90°，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．



参考答案
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，6，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．
解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、3+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；
C、2+2＜6，不能构成三角形，故此选项合题意；
D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，
纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，
C选项符合高线的定义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）

A．120° B．105° C．60° D．45°
【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4．如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（　　）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用基本作图得到OM＝ON，MC＝NC，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC＝∠NOC．
解：由作法得OM＝ON，MC＝NC，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OMC≌△ONC，
所以∠MOC＝∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定．
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状即可．
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴本选项不符合题意；
B、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意；
C、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，∴3∠C+∠C+∠C＝180°，解得∠C＝，∴∠A＝3∠C＝，∴本题选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
7．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，∠B＝∠C．添加下列条件无法证得△ABF≌△DCE的是（　　）

A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
A．∠B＝∠C，BF＝CE，∠AFB＝∠DEC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABF≌△DCE，故本选项不符合题意；
B．AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABF≌△DCE，故本选项不符合题意；
C．∠A＝∠D，∠B＝∠C，BF＝CE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABF≌△DCE，故本选项不符合题意；
D．AF＝DE，BF＝CE，∠B＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABF≌△DCE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，S△ABC＝16cm2，则S△EBF＝（　　）

A．8cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．2cm2
【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．
解：S阴影＝S△BCE＝S△ABC＝4cm2．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．
9．如图，将△ABC纸片沿DE折叠使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝112°，则∠1+∠2的大小为（　　）

A．44° B．41° C．88° D．82°
【分析】由题意得△ADE≌△A′DE，那么∠DAE＝∠DA′E．如图，连接AA′．根据三角形外角的性质，得∠1＝∠DAA′+∠AA′D，∠2＝∠EAA′+∠AA′E，那么∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE．欲求∠1+∠2，需求∠DAE．由三角形内角和定理得∠DAE＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．由BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，得∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB，那么∠ABC+∠ACB＝2∠A′BC+2∠A′CB＝2（∠A′BC+∠A′CB）．由∠BA′C＝112°，得∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣∠BA′C＝68°，从而解决此题．
解：如图，连接AA′．

∵∠BA′C＝112°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣∠BA′C＝68°．
∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB．
∴∠ABC+∠ACB＝2∠A′BC+2∠A′CB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝136°．
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝44°．
由题意得：△ADE≌△A′DE．
∴∠DAE＝∠DA′E＝44°．
∵∠1＝∠DAA′+∠AA′D，∠2＝∠EAA′+∠AA′E，
∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠EAA′+∠DA′A+∠EA′A＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE＝88°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键．
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝　11　．
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝8，解得n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
12．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为　20　．
【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵4+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝　40°　．

【分析】过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，由角平分线的性质及判定可得CP平分∠BCE，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质可推知∠ACB＝2∠APB，进而可求解．
解：过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，

∵AP平分∠BAC，
∴PE＝PG，∠BAC＝2∠BAP，
∵BP平分∠CBD，
∴PF＝PG，∠CBD＝2∠DBP，
∴PE＝PF，
∴CP平分∠BCE，
∴∠BCP＝∠PCE，
∵∠ACP＝130°，
∴∠PCE＝180°﹣∠ACP＝50°，
∴∠BCP＝50°，
∴∠ACB＝∠ACP﹣∠BCP＝130°﹣50°＝80°，
∵∠DBC＝∠BAC+∠ACB，∠DBP＝∠BAP+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
∴∠APB＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题主要考查三角形的外角，角平分线的性质与判定，求解∠ACB＝2∠APB，是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是　175°　．

【分析】先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，得出∠O1DC+∠O1CD＝（∠ADC+∠DCB），再根据∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，得出∠O2DC+∠O2CD＝（∠ADC+∠DCB），根据规律可得到∠O5DC+∠O5CD＝（∠ADC+∠DCB），最后将∠ADC+∠DCB＝160°代入计算即可．
解：如图所示，∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD＝（∠ADC+∠DCB），
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD＝（∠O1DC+∠O1CD）＝（∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O3DC+∠O3CD＝（∠O2DC+∠O2CD）＝（∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O5DC+∠O5CD＝（∠O4DC+∠O4CD）＝（∠ADC+∠DCB），
∴△CO5D中，∠CO5D＝180°﹣（∠O5DC+∠O5CD）＝180°﹣（∠ADC+∠DCB），
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC＝200°，
∴∠ADC+∠DCB＝160°，
∴∠CO5D＝180°﹣×160°＝180°﹣5°＝175°，
故答案为：175°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO5D与∠ADC+∠DCB之间的关系．
15．如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，OA+BO＝　2　．

【分析】由P在第一三象限角平分线上可知点P坐标，过点P分别做坐标轴的垂线，垂足为D、E，得OE＝OD＝PE＝PD＝1，再证明△DPB和△EPA全等，得AE＝DB，从而OA+BO＝OE+AE+BO＝OE+DB+BO＝1+DO＝1+1＝2．
解：∵第一象限角平分线OC的解析式为y＝x，且点P（2m﹣1，6m﹣5）OC上，
∴2m﹣1＝6m﹣5，解得：m＝1，
故点P坐标为（1，1）．
过点P分别做坐标轴的垂线，垂足为D、E，如图所示．
则OE＝OD＝PE＝PD＝1，∠DPE＝90°．
∵∠APE+∠BPE＝∠BPA＝90°，∠DPB+∠BPE＝∠DPE＝90°，
∴∠APE＝∠DPB．
在△DPB和△EPA中，
，
∴△DPB≌△EPA（ASA）．
∴AE＝DB．
∴OA+BO＝OE+AE+BO＝OE+DB+BO＝1+DO＝1+1＝2．
故答案为：2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正确作出辅助线证明△DPB和△EPA全等是解题关键．
三．解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．求出下列图形中x的值．

【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可；
（2）根据四边形内角和是360°求解即可．
解：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70，
即2x+10＝x+70，
解得，x＝60．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【点评】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键．
17．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 　6　平方单位；
（2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）；
①作格点△PAB，使△PAB和△ABC的面积相等；（作出一个即可）
②在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等．

【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可；
（2）①取格点P，连接AP，BP即可；
②取格点Q，W，连接QW交AB于点E，作线段CE即可．
解：（1）S△ABC＝3×4＝6．
故答案为：6；
（2）①如图，△PAB即为所求．

②如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．

【分析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF．求证：∠C＝∠F．

【分析】欲证明∠C＝∠F只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DB，
∴AB＝DE，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20．如图（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，完成下列填空．

①如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180°　．
②如图（3），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180°　．
③如图（4），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　360°　．
④如图（5），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　540°　．
【分析】作出相应的辅助线，如图所示，分别利用三角形、四边形、五边形的内角和定理，利用等量代换的方法求出所求角度数即可．
解：如图所示，作出相应的辅助线，
①如图（2），由题意得，∠D+∠E＝∠1+∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAO+∠B+∠OCB+∠1+∠2＝180°，即∠BAO+∠B+∠OCB+∠D+∠E＝180°；
②如图（3），同理得到∠D+∠E＝∠DCB+∠EBC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCB＝180°，
即∠A+∠ABE+∠D+∠E+∠ACD＝180°；
③如图（4），同理得到∠7+∠8＝∠1+∠2，
由四边形内角和定理得到：∠3+∠7+∠8+∠6+∠5+∠4＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°；
④如图（5），同理得到∠6+∠7＝∠8+∠9，
由五边形内角和定理得：∠1+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°．
故答案为：①180°；②180°；③360°；④540°

【点评】此题考查了三角形内角和定理，多边形内角与外角，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
21．如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．

【分析】由“SAS”可证△AFC≌△AGB，可得∠AFC＝∠AGB，由“AAS”可证△ADF≌△AEG，可得AD＝AE．
【解答】证明：在△AFC和△AGB中，
，
∴△AFC≌△AGB（SAS），
∴∠AFC＝∠AGB，
∴∠AFD＝∠AGE，
在△ADF和△AEG中，
，
∴△ADF≌△AEG（AAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，求v．

【分析】求出BD＝6cm，根据全等三角形的判定得出BP＝PC，BD＝CQ或BD＝PC，BP＝CQ，再分别求出即可．
解：∵AB＝12cm，D为AB的中点，
∴BD＝6cm，
设运动的时间为ts，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△BPD与△CQP全等，
∴BP＝PC，BD＝CQ或BD＝PC，BP＝CQ，
①当BP＝PC，BD＝CQ时，
∵BC＝8cm，
∴BP＝PC＝4cm，
∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，
∴运动的时间是＝2（s），
∴2v＝6，
解得：v＝3；
②当BD＝CP＝6cm，BP＝CQ时，
∵BC＝8cm，
∴BP＝BC﹣CP＝8﹣6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，
∴运动的时间是＝1（s），
∴1•v＝2，
解得：v＝2；
综合上述：v＝3或2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，用了分类讨论思想．
23．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，∠B＝∠CFD．
证明：（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．

【分析】（1）证明△CFD≌△BED即可；
（2）由AB＝AE+BE，结合条件可知AE＝AC且BE＝CF，代入可证得结论．
【解答】证明：
（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠DAE，
由已知有：∠ADC＝90°﹣∠CAD，∠ADE＝90°﹣∠DAE，
∴∠ADC＝∠ADE，
在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，
∵∠CFD＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE．
（2）由（1）知FC＝EB，AC＝AE，
∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，A（﹣6，0），B（0，3）．

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM＝CM，求证：∠CMN+∠BAM＝90°；
（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，其中∠ABE＝∠OBF＝90°，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．

【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）找到G点使得MG＝MN，分别求得M，N的坐标，可以求得BG＝CN，即可求得△CMN≌△BMG，根据全等三角形对应角相等即可解题；
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解答】（1）解：如图1中，作CD⊥BO，

∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO＝6，CD＝BO＝3，OD＝6﹣3＝3，
∴C点坐标（3，﹣3）；

（2）证明：如图2中，在MA上取一点G，使得MN＝MG．

∵直线BC经过B（0，3），C（3，﹣3），设直线BC解析式为y＝kx+b，
代入B、C得直线BC解析式为y＝﹣2x+3，
∴M点坐标为（1.5，0），
∵直线AC经过A（﹣6，0），C（3，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，
代入A、C得直线BC解析式为y＝﹣x﹣2，
∴N点坐标为（0，﹣2），
∴RT△OMN中，MN＝＝＝，
∵MG＝MN，
∴G点坐标为（﹣1，0），
∴GB＝CN，
在△CMN和△BMG中，
，
∴△CMN≌△BMG（SSS），
∴∠AMB＝∠CMN，
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠CMN+∠BAM＝90°；
方法二：过点C作CP⊥CB交y轴于点P

证明△ABM≌△BCP，推出∠BAM＝∠CBP，
证明△CNM≌△CNP，推出∠CMN＝∠CPN，
由∠CPB+∠CBP＝90°，可以推出∠CMN+∠BAM＝90°．
（3）解：如图3中，作EG⊥y轴，

∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝3．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．