吉林省第二实验高新学校2022-2023学年八年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份吉林省第二实验高新学校2022-2023学年八年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省第二实验高新学校八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
2．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）

A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．8cm
4．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
5．下列四个命题中，真命题有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　）

A．7 B．10 C．15 D．17
7．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC＝BD＝DA且∠ECF＝27°，则∠ADF的度数为（　　）

A．54° B．91° C．81° D．101°
8．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每空3分，共18分）
9．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　．
10．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　 　．

11．等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是　 　．

13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是　 　．

14．如图，有边长为2的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角；两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 　 　．

三、解答题（共78分）
15．已知：如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC、△DEF的对应边上的高．求证：AM＝DN．

16．已知：如图AE＝AC，AD＝AB，∠EAC＝∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．

17．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．

18．如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，MN垂直平分AC分别交AD，BC于M，N，求证：CM＝CN．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整）
解：∵AD∥BC（ 　 　），
∴∠DAC＝∠ACB（ 　 　）．
∵MN垂直平分AC（已知），
∴AO＝CO（线段垂直平分线的定义）．
在△AMO和△CNO中，
∴△AOM≌△CON（ 　 　）．
∴AM＝CN（ 　 　）．
又∵MN垂直平分AC（已知），
∴　 　（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴CM＝CN（ 　 　）．

19．如图均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．

（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形；
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形．

20．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．

21．已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．
（1）如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是　 　．
（2）如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

23．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　 　；
（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝　 　．
（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）


24．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，按BC﹣CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当点Q在AC边上运动时，线段AQ（AQ＞0）的长为 　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是 　 　（填序号即可）．
①7.2；②5.3；③4.8；④4.5．
（3）设△ADQ的面积为S，请用含t的代数式表示S．
（4）当△ABQ为轴对称图形时，请写出满足条件的3个t的值即可．




参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：C．
2．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）

A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．
解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．8cm
【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形．
故三角形的底边应为5cm或3cm．
故选：C．
4．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
5．下列四个命题中，真命题有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用平行线的性质以及对顶角的性质和非负数的性质分别判断即可．
解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；
②三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，故原命题是假命题；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；
④若a2＝b2，则a＝±b，故原命题是假命题．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　）

A．7 B．10 C．15 D．17
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为17，AB＝7，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．
故选：B．
7．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC＝BD＝DA且∠ECF＝27°，则∠ADF的度数为（　　）

A．54° B．91° C．81° D．101°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF的度数．
解：∵BC＝BD＝DA，
∴∠C＝∠BDC，∠ABD＝∠BAD，
∵∠ABD＝∠C+∠BDC，∠ECF＝27°，
∴∠ADF＝∠C+∠BAD＝3∠ECF＝81°．
故选：C．
8．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．

二、填空题（每空3分，共18分）
9．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　三个内角都等于60°的三角形是等边三角形　．
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
解：命题“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”．
故答案为：三个内角都等于60°的三角形是等边三角形．
10．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　BC＝EF　．

【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC＝EF
11．等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝　3　．
【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是　30　．

【分析】如图，作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理证明DC＝DH即可解决问题．
解：如图，作DH⊥AB于H．

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝•AB•DH＝•AB•DH＝×15×4＝30，
故答案为30．
13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是　8　．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．

14．如图，有边长为2的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角；两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 　4　．

【分析】延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，
，
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴MN＝MF，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝2+2＝4，
故答案为：4．

三、解答题（共78分）
15．已知：如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC、△DEF的对应边上的高．求证：AM＝DN．

【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠E＝∠B，利用AAS证明△ABM与△DEN全等，进而证明即可．
【解答】方法一：
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠B＝∠E，
∵AM，DN分别是△ABC，△DEF的对应边上的高，
即AM⊥BC，DN⊥EF，
∴∠AMB＝∠DNE＝90°，
在△ABM和△DEN中，
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AM＝DN．

方法二：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵AM、DN分别是△ABC、△DEF的对应边上的高，
∴BC•AM＝EF•DN，
∴AM＝DN．
16．已知：如图AE＝AC，AD＝AB，∠EAC＝∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．

【分析】直接利用全等三角形的判定方法（SAS），进而得出答案．
【解答】证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠CAB，
在△EAD和△CAB中
，
∴△EAD≌△CAB（SAS）．
17．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．

【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD＝DE（等边三角形的边相等），
∠ABC＝∠EBD＝60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBD﹣∠EBC
∠ABE＝CBD （等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE＝AE（线段的和差）
∴AD﹣BD＝DC（等量代换）．
18．如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，MN垂直平分AC分别交AD，BC于M，N，求证：CM＝CN．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整）
解：∵AD∥BC（ 　已知　），
∴∠DAC＝∠ACB（ 　两直线平行，内错角相等　）．
∵MN垂直平分AC（已知），
∴AO＝CO（线段垂直平分线的定义）．
在△AMO和△CNO中，
∴△AOM≌△CON（ 　ASA　）．
∴AM＝CN（ 　全等三角形对应边相等　）．
又∵MN垂直平分AC（已知），
∴　AM＝CM　（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴CM＝CN（ 　等量代换　）．

【分析】根据题意即可补充完整证明过程．
解：∵AD∥BC（已知），
∴∠DAC＝∠ACB（两直线平行，内错角相等）．
∵MN垂直平分AC（已知），
∴AO＝CO（线段垂直平分线的定义）．
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AOM≌△CON（ASA）．
∴AM＝CN（全等三角形对应边相等）．
又∵MN垂直平分AC（已知），
∴AM＝CM（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴CM＝CN（等量代换）．
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；ASA；全等三角形对应边相等；AM＝CM；等量代换．
19．如图均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．

（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形；
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形．

【分析】根据等腰三角形的性质分别画图即可．
解：（1）如图1所示，△ABC即为所求；

（2）如图2所示，△ABD即为所求；
（3）如图3所示，△ABE即为所求．
20．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．

【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
21．已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．
（1）如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是　PC＝PD　．
（2）如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

【分析】（1）根据角平分线性质可知PC＝PD；
（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．
解：（1）PC＝PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线，
∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC＝PD；
（2）证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

【分析】（1）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．
（2）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状是等腰三角形；
【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，
∴∠BDA+∠CDE＝130°，
∠CED+∠CDE＝130°，
∴∠BDA＝∠CED，
∴△ABD≌△DCE（AAS）

（2）解：可以．有以下三种可能：
①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE
则有∠DAE＝∠DEA＝65°
∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；
②由（1）得∠BDA＝∠CED
∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）
∴AD≠AE；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°
∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°．
23．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　50　；
（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝　8　．
（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）


【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；
（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论；
（4）由题意得：EP＝t，则PC＝t﹣3，如图4，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．
解：（1）在△AEC和△CDB中，
∵，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；

（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，
由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，
∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2××6×3﹣2××4×3＝80﹣18﹣12＝50，
故答案为：50；

（3）如图③，过B′作B′E⊥AC于E，

由旋转得：AB＝AB′，
∵∠BAB′＝90°，
∴△AEB′≌△BCA，
∴AC＝B′E＝4，
∴S△AB′C＝AC•B′E＝×4×4＝8；
故答案为：8；

（4）由题意得：EP＝t，则PC＝t﹣3，
如图4，

∵∠FOP＝120°，
∴∠FOB+∠COP＝60°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠COP+∠OPC＝60°，
∴∠FOB＝∠OPC，
∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，
∴△PCO≌△OBF，
∴PC＝OB＝1＝t﹣3，则t＝4，
即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．
24．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，按BC﹣CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当点Q在AC边上运动时，线段AQ（AQ＞0）的长为 　18﹣t　（用含t的代数式表示）；
（2）当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是 　④　（填序号即可）．
①7.2；②5.3；③4.8；④4.5．
（3）设△ADQ的面积为S，请用含t的代数式表示S．
（4）当△ABQ为轴对称图形时，请写出满足条件的3个t的值即可．


【分析】（1）求出BC+AC＝18，可得结论；
（2）过B作BH⊥AC于H，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到BD＝DE，求得CD＝8﹣BD，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（4）当△ABQ为轴对称图形时，△ABQ是等腰三角形，①当点Q在BC边上运动时得到△ABQ是等腰直角三角形，求得AB＝BQ＝6，解得t＝6；②当点Q在AC边上运动时，△ABQ为轴对称图形，Ⅰ、如图2，当AQ＝BQ＝18﹣t时，△ABQ为轴对称图形，过Q作QM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝BM，求得t＝13；Ⅱ、当AQ＝AB＝18﹣t＝6时解得t＝12；Ⅲ、当BQ＝AB＝6时，△ABQ为轴对称图形，过B作BN⊥AC于N，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10
∴BC+AC＝18，
∴AQ＝18﹣t，
故答案为：18﹣t；

（2）过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝AB•BC＝BH•AC，
∴BH＝＝＝＝4.8，
∴当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是④，
故答案为：④；

（3）过D作DE⊥AC于E，
∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，
∴BD＝DE，
∴CD＝8﹣BD，
∵S△ADC＝CD•AB＝AC•DE，
∴6（8﹣BD）＝10BD，
∴BD＝3，
当0≤t＜3时，S＝×（3﹣t）×6＝﹣3t+9．
当3＜t≤8时，S＝×（t﹣3）×6＝3t﹣9．
当8＜t＜18时，S＝×（18﹣t）×3＝﹣t+27．
综上所述，S＝；


（4）当△ABQ为轴对称图形时，△ABQ是等腰三角形，
①当点Q在BC边上运动时，∵∠ABC＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AB＝BQ＝6，
∴t＝6；
②当点Q在AC边上运动时，△ABQ为轴对称图形，
Ⅰ、如图2，当AQ＝BQ＝18﹣t时，△ABQ为轴对称图形，

过Q作QM⊥AB于M，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠ABC＝90°，
∴QM∥BC，
∴AQ＝CQ＝18﹣t＝AC＝5，
∴t＝13；
Ⅱ、当AQ＝AB＝18﹣t＝6时，△ABQ为轴对称图形，
∴t＝12；
Ⅲ、当BQ＝AB＝6时，△ABQ为轴对称图形，

过B作BN⊥AC于N，
∴AN＝QN＝AQ＝9﹣t，
由（2）知BN＝4.8，
∴AB2﹣BN2＝AN2，
即62﹣4.82＝（9﹣t）2，
解得t＝，
综上所述，当△ABQ为轴对称图形时，t的值为6或13或12或．