初中数学6.5 垂直精品同步训练题

6.5　垂直

基础过关全练

知识点1　垂直的概念及表示方法

1.下列说法中,正确的个数为(　　)

①两条直线相交所成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直;

②两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直;

③一条直线的垂线可以画无数条;

④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直.　　　　　　　　　　　　　　　

A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4

2.如图,直线BC、DE相交于点O,OA、OF为射线,OA⊥OB,OF平分∠COE,∠COF+∠BOD=51°,求∠AOD的度数.

3.已知:如图①,点O在直线AB上,CO⊥AB于点O,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.

(1)∠DOE=　　　　,OD与OE的位置关系是　　　　; 

(2)若CO与AB不垂直,如图②,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出正确的结论;

(3)若∠AOD=40°,请你利用(2)中得到的结论求出∠BOE的度数.

知识点2　垂线的画法

4.(1)如图①,过P点画AB的垂线;

(2)如图②,过P点分别画OA、OB的垂线;

(3)如图③,过点A画BC的垂线.

5.如图,在方格纸中,直线AC与CD相交于点C.

(1)过点E画直线EF,使EF⊥AC;

(2)分别写出AC,CD,EF之间的位置关系;

(3)根据你观察到的EF与CD之间的位置关系,用一句话来表达你的结论.

知识点3　垂线的基本事实及点到直线的距离

6.(2021江苏泰州期末)下列图形中,线段AD的长等于点A到直线BC的距离的是(　　)

A            B            C              D

7.(2022江苏扬州广陵期末)如图,点A是直线l外一点,过点A作AB⊥l于点B.在直线l上取一点C,连接AC,使AC=AB,点P在线段BC上,连接AP.若AB=3,则线段AP的长不可能是(　　)

A.3.5　　　　　B.4　　　　　C.5　　　　　D.5.5

8.如图①,l是一条笔直的公路,A、B是刚建成的两个生活小区,为了出行方便,小区本着最经济(最省钱)的原则,准备修建公交站点及站点到小区的道路.

(1)若要修两个站点,则站点及道路建在何处最合适?请在图①中画出所修建的道路,并用字母标出两个站点的位置;

(2)若只修一个站点,则此时站点及道路建在何处最合适?请在图②中画出所修建的道路,并用字母标出站点的位置.

能力提升全练

9.(2021北京中考,3,)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为(　　)

A.30°　　　　　B.40°　　　　　C.50°　　　　　D.60°

第9题图

10. (2021浙江杭州中考,4,)如图,设点P是直线l外一点,PQ⊥l,垂足为点Q,点T是直线l上的一个动点,连接PT,则(　　)

第10题图

A.PT≥2PQ　　　　　　　B.PT≤2PQ

C.PT≥PQ　　　　　　 　D.PT≤PQ

11.(2022江苏南京高淳期末,5,)下列各图中,过直线l外一点P画l的垂线CD,三角板操作正确的是(　　)

A            B            C            D

12.(2020吉林中考,11,)如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法如下:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是　　　　　　　　　　. 

第12题图

13. (2022江苏南通海安期末,13,)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD于O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,则∠EOF的度数为　　　　.

第13题图 

14.(2021江苏南京建邺期末,24,)如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠COB,OE⊥OF.

(1)图中∠BOE的补角是　　　　; 

(2)若∠COF=2∠COE,求∠BOE的度数;

(3)试判断OF是否平分∠AOC,并说明理由.

素养探究全练

15.[空间观念]噪音对环境的影响与距离有关,距离越小,噪音越大.如图,一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校.

(1)找出学校M受噪音影响最严重的点P;

(2)找出学校N受噪音影响最严重的点Q;

(3)汽车在公路上的哪一段行驶时,学校M受噪音影响越来越小,而学校N受噪音影响越来越大?

答案全解全析

基础过关全练

1.C　如图,两条直线a和b相交所成的四个角中,∠1=∠2,∠3=∠4,但a与b不垂直,故①不正确;②③④均正确.故选C.

2.解析　设∠COF=x°,因为OF平分∠COE,所以∠EOF=∠COF=x°,所以∠COE=2x°.

因为∠COE与∠BOD是一对对顶角,

所以∠BOD=∠COE=2x°.

因为∠COF+∠BOD=51°,所以∠BOD=(51-x)°,

所以2x=51-x,解得x=17,所以∠BOD=34°.

因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,

所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=124°.

3.解析　(1)90°;垂直.

(2)成立.理由如下:

∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,

∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC.

∵∠AOC+∠BOC=180°,

∴∠DOE=∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=90°,∴OD⊥OE.

(3)由(2)知∠DOE=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°.

∵∠AOD=40°,∴∠BOE=90°-40°=50°.

4.解析　(1)如图①所示.(2)如图②所示.(3)如图③所示.

5.解析　(1)如图.

(2)AC⊥CD,EF⊥AC,EF∥CD.

(3)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

6.D　点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.选项D中线段AD的长等于点A到直线BC的距离.

7.D　∵AB⊥l,∴AP≥AB,∵P在线段BC上,

∴AP≤AC,∵AC=AB,AB=3,∴AC=5,

∴3≤AP≤5,故AP的长不可能是5.5.

8.解析　(1)如图,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为C、D,则线段AC、BD即是所修建的道路,C、D两点即是两个站点的位置.

(2)如图,连接AB,交直线l于点E,则线段AB即是所修建的道路,点E即为站点位置.

能力提升全练

9.A　∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,

∴∠BOC=180°-120°=60°,又∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.

10.C　根据 “垂线段最短”可得PT≥PQ.

11.D　将直角三角板的一条直角边与l重合,使另一条直角边过点P,然后沿过点P的直角边画直线即可,所以选项D的画法正确.

12.答案　垂线段最短

13.答案　45°

解析　∵OC⊥OD于O,∴∠COD=90°,又∵OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,∴∠AOE=∠AOD,∠BOF=∠BOC,∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=180°-∠AOD-∠BOC=180°-(180°-∠BOD)-(180°-∠AOC)=180°-90°+∠BOD-90°+∠AOC=(∠BOD+∠AOC)=(180°-∠COD)=×90°=45°.

14.解析　(1)∵OE平分∠COB,∴∠COE=∠BOE,∵∠AOE+∠BOE=∠AOB=180°,∠COE+∠DOE=∠COD=180°,

∴∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE.

(2)∵OE⊥OF,∠COF=2∠COE,

∴∠COF=×90°=60°,∠COE=×90°=30°,

∵OE平分∠COB,

∴∠BOE=∠COE=30°.

(3)OF平分∠AOC.理由如下:

∵OE平分∠COB,OE⊥OF,

∴∠BOE=∠COE,∠COE+∠COF=90°,

∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA=180°,

∴∠COE+∠FOA=90°,

∴∠FOA=∠COF,

∴OF平分∠AOC.

素养探究全练

15.解析　(1)如图所示,点P即为所求.

(2)如图所示,点Q即为所求.

(3)如图所示,汽车在PQ段行驶时,学校M受噪音影响越来越小,而学校N受噪音影响越来越大.