第1章 三角形的初步认识（综合复习，满分必刷题）（解析版）-【满分复习课】2022-2023学年八年级数学上册期中+期末复习高频考点专题（浙教版）

这是一份第1章 三角形的初步认识（综合复习，满分必刷题）（解析版）-【满分复习课】2022-2023学年八年级数学上册期中+期末复习高频考点专题（浙教版），共42页。试卷主要包含了知识点梳理，知识点巩固等内容，欢迎下载使用。
第1章 三角形的初步认识（综合复习）

一、知识点梳理

二、知识点巩固
考点1、认识三角形
1.认识三角形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
知识要点：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
①三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）
②三角形的中线
三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）
③三角形的高
三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）
知识要点：三角形的中线和角平分线都在三角形内，但高线不一定在三角形内。
如图 1，AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内，且交于一点，这点称为三角形的内心．

如图2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内，且交于一点，这点称为三角形的重心．


当△ ABC为锐角三角形，如图（1），三条高线都在△ ABC内；
当△ ABC为直角三角形，如图（2），高线CD在直角△ABC内，而高线AC与BC是直角△AB的边；
当△ ABC为钝角三角形，如图（3）中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。
说明高线不一定在 △ABC内。

图（1） 图（2） 图（3）

满分必刷题：
1．如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据图形即可确定三角形的个数．
【解答】解：图中的三角形有：△BDE，△AED，△ACD，△BDA，△ABC，
共有5个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的定义，理解三角形的含义是解题的关键．
2．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
3．在△ABC内有2016个点，三边上有三个点（不与顶点重合），则这2019个点和三个顶点最多可构成（　　）个互不重叠的小三角形．
A．4033 B．4034 C．4035 D．4036
【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180°可得三角形的个数．
【解答】解：∵三角形的内角和为180°，
又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角，是360°，
则2016个点的角的总和S＝2016×360°，加上三角形原来的内角和180°，
∴所有三角形的内角总和S′＝180°+2016×360°＝180°×（1+2016×2），
∴三角形的个数为：1+2016×2＝4033．三边上三个点和其余各点相连得到的各个角加起来是三个平角，所以内角和增加3个180°，即再加3个三角形．
∴一共可以构成4036个三角形．
故选：D．
【点评】本题考查图形的变化规律，根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解决本题的关键．
4．如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．
5．若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，

∵PA⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（　　）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，

∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如图所示，△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，AF＝AD，CE＝EF，则△CDE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据中线得出AD＝BD，求出S△ADC＝S△ADB＝＝1，根据AF＝AD求出S△CFD＝（1﹣）S△ADC，根据CE＝EF求出S△CDE＝S△CFD，再求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，
∴S△ADC＝S△ADB＝＝2＝1，
∵AF＝AD，
∴S△CFD＝（1﹣）S△ADC＝×1＝，
∵CE＝EF，
∴S△CDE＝S△CFD＝×＝，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，能熟记等底等高的三角形面积相等和三角形的面积公式是解此题的关键．
8．如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的4个格点四边形．设内部含有3个格点的四边形的面积为S，其各边上格点的个数之和为n，则S与n的关系为（　　）

A．S＝n B．S＝n﹣ C．S＝n+2 D．S＝n+1
【分析】分别求出每一个图形的面积S与m的值，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：
第一个图形：
n＝5，
S1＝3×3﹣×3×2﹣×3×1＝＝×5+2＝n+2，
第二个图形：
n＝4，
S2＝×4×2＝4＝×4+2＝n+2，
第三个图形：
n＝5，
S3＝×3×1+×3×2＝＝×5+2＝n+2，
第四个图形：
n＝8，
S4＝×3×1+×3×3＝6＝×8+2＝n+2，
∴S与n的关系为S＝n+2，
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的面积，从数字找规律是解题的关键．
9．如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解．
【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴D，E分别为BC，AC的中点，
∴AE＝CE，故①正确；
O是△ABC的重心，故②正确；
BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，故③正确；
过CO的直线平分线段AB，故④正确；
根据已知条件无法判定∠ABE＝∠CBE，AD＝BE，故⑤，⑥错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的重心，掌握三角形重心的定义是解题的关键．
2.三角形三条边的关系
知识点：三角形任意两边之和大于第三边，理论依据是两点之间线段最短.
利用三角形的三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三条边的取值范围。
并且，三角形两边的差小于第三边。
在求第三条边的取值范围时一定要注意分类讨论。例如已知三角形两条边的长度为3,4，那么第三条边可能为最长边，也可能为最短边，即第三条边的长度大于1，小于7。

满分必刷题：
10．如图，在四边形ABCD中，AB＞AD，对角线AC平分∠BAD，下列结论正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞|CB﹣CD|
B．AB﹣AD＝|CB﹣CD|
C．AB﹣AD＜|CB﹣CD|
D．AB﹣AD与|CB﹣CD|的大小关系不确定
【分析】取AE＝AD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【解答】解：如图，取AE＝AD，连接CE，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，
∵BE＞CB﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD，即AB﹣AD＞|CB﹣CD|．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3.三角形的内角和、外角
知识点：三角形三个内角的和等于180°
根据该定理，可解决以下问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数直接求出第三个角的度数；
②当三角形三个内角存在一定的数量关系，可通过比例求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．例如：直角三角形的两个锐角互余。
外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

∠ABO分别为△BCO，△BDO的外角
∠ABO=∠BCO+∠COB=∠BDO+∠DOB

满分必刷题：
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（　　）

A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，根据三角形内角和定理求出∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，求出∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣﹣β，根据三角形外角性质得出∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝90°+﹣β，再根据三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角性质，能根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDA的度数是解此题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
13．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2018，则∠A2018的度数是（　　）

A． B． C． D．90°+
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝•α＝，
∴∠An＝，
∴∠A2018＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4.全等三角形
知识点：能够完全重合的两个图形叫全等形。
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
全等用符号“≌”表示，△ABC≌△A`B`C`表示 A和 A`，B和B`,C和C`是对应点，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`，∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`


满分必刷题：
14．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（　　）

A．84° B．42° C．48° D．60°
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得出∠ABD＝∠ADB＝96°，求出∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝42°，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠ADB，求出∠BAC＝∠ADB即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝96°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝42°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝ADB，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＝∠ADB＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5.全等三角形的判定
知识点：全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “
全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
全等三角形判定3——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定4—— “角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
除了上面的判定定理外，“边边角（SSA）”或“角角角(AAA)”都不能保证两个三角形全等。
需要注意的是，在找证明条件时一定要注意边与角的对应位置。
在证明三角形全等时，可以从求证出发，看求证的线段或角属于哪些三角形，再判断哪两个三角形可能全等，求证方法与思路；
①从已知条件出发，从已知条件与隐藏条件中找出确定两三角形全等所需的条件；
②与结论相结合，看证明两三角形全等，需要哪些条件，然后在命题中找；
③如果以上方法都行不通，就添加辅助线，辅助找到证明全等三角形所需要的条件.

满分必刷题：
15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】点E可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上，共有四种情况．
【解答】解：（1）当t＝0时，ED＝BC，AB＝BA，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（2）当t＝3时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（3）当t＝9时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（4）当t＝12时，ED＝BC，AB＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD．
∴共有4种情况，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．
16．如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（　　）

A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，先证明△DAC≌△BAE，得∠ACF＝∠AEG，再证明△ACF≌△AEG，得AF＝AG，则点A在∠DPE的平分线上，所以∠APE＝∠APD＝∠DPE，再由∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP得∠CPE＝∠CAE＝α，即可推导出∠APC＝90°+α．
【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α，
故选：D．

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【分析】因为∠CAD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
18．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
B．∵△DAC≌△EAB，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
19．如图，正方形ABCD与正方形EFGC的边长都为2，且有一个公共顶点C，点E在正方形ABCD内部，∠EAF＝90°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】如图，连接BE、OC、DE、DF、DG．想办法证明四边形AEDF是矩形，可得OA＝OD＝OE＝OF＝1，根据S阴＝S正方形ABCD﹣S△AED﹣S△ECD计算即可；
【解答】解：如图，连接BE、OC、DE、DF、DG．

∵∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，
∵CB＝CD＝CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE＝DG，
∴∠CBE＝∠CGD，
∵∠ABC＝∠CGF＝90°，
∴∠ABE＝∠DGF，
∵BA＝GF，
∴△ABE≌△FGD，
∴AE＝DF，
∵AF＝FA，EF＝DA，
∴△EAF≌△DFA，
∴AE＝DF，∠FAE＝∠AFD＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠EAF＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，设AD交EF于O，
∴OA＝OD＝OE＝OF＝1，
∵OE＝OD，CE＝CD，
∴OC垂直平分线段DE，设OC交DE于K，
易知OC＝，DK＝EK＝，OK＝，CK＝，AE＝2OK＝，
∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△AED﹣S△ECD＝4﹣××﹣××＝．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考选择题中压轴题．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，B，F分别是边BC，CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）

A．.3 B．.4 C．.5 D．6
【分析】在BE上截取BG＝DF，证明△ADF≌△ABG，根据全等三角形的判定和性质解答．
【解答】解：在BE上截取BG＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】方法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，是的FG＝DE．可证得正方形AFCD；通过解直角三角形AFB计算出FB＝3，所以BC＝1，证△AEB≌△AGB，再想办法求出BE即可解决问题；
方法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC＝DG，BF＝FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC＝BH，AD＝AH，由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2+AT2，可得（x+4）2＝42+（4﹣x）2，推出x＝1，推出BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，设AK＝EK＝y，DE＝z，根据AE2＝AK2+EK2＝AD2+DE2，BE2＝BK2+KE2＝BC2+EC2，可得42+z2＝2y2①，（5﹣y）2+y2＝12+（4﹣z）2②，由此求出y即可解决问题．
【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．

∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，
在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，
∴BG＝BE＝，
∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．

解法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，
∴∠BCF＝∠FDG，
∵∠BFC＝∠DFG，FC＝DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC＝DG，BF＝FG，
∵AB＝BC+AD，AG＝AD+DG＝AD+BC，
∴AB＝AG，∵BF＝FG，
∴BF⊥AF，∠ABF＝∠G＝∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH＝FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC＝BH，AD＝AH，
由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，
在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2+AT2，
∴（x+4）2＝42+（4﹣x）2，
∴x＝1，
∴BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，
设AK＝EK＝y，DE＝z，
∵AE2＝AK2+EK2＝AD2+DE2，BE2＝BK2+KE2＝BC2+EC2，
∴42+z2＝2y2①，
（5﹣y）2+y2＝12+（4﹣z）2②
由②得到25﹣10y+2y2＝17﹣8z+z2③，
①代入③可得z＝④
④代入①可得y＝（负根已经舍弃），
∴S△ABE＝×5×＝，
解法三：过点B作BG⊥AC于G，BH⊥AD于H．

设BC＝x，AB＝x+4，AH＝4﹣x，
在Rt△ABH中，（x+4）2﹣（4﹣x）2＝42，
解得x＝1，
在Rt△BCG中，∠BCG＝45°，
∴BG＝CG＝，
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣＝，
tan∠BAG＝＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴tan∠EAD＝tan∠BAC＝，
在Rt△ADE中，DE＝AD•tan∠EAD＝，
∴CE＝4﹣＝，
∴S△ABE＝S梯形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE＝×（1+4）×4﹣×4×﹣×1×＝．
故选：D．
【点评】本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM＝∠BAD，然后求出∠MBC＝∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB＝MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∵MD＝ME，
∴∠MAD＝∠MAE，
∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，
即∠BAM＝∠CAM，
在△ABM和△ACM中，，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB＝MC；

（2）MB＝MC．
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，
∴BD＝BE′，CE＝CF，
∵M是ED的中点，B是DE′的中点，
∴MB∥AE′，
∴∠MBC＝∠CAE，
同理：MC∥AD，
∴∠BCM＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠MBC＝∠BCM，
∴MB＝MC；
解法二：如图3中，延长CM交BD于点T．

∵EC∥DT，
∴∠CEM＝∠TDM，
在△ECM和△DTM中，
，
∴△ECM≌△DTM（ASA），
∴CM＝MT，
∵∠CBT＝90°，
∴BM＝CM＝MT．

（3）MB＝MC还成立．
如图4，延长BM交CE于F，
∵CE∥BD，
∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，
又∵M是DE的中点，
∴MD＝ME，
在△MDB和△MEF中，
，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB＝MF，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴MB＝MC．


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1＝S2　．

（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE＝DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2＝60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1＝DF2，再求出∠CDF1＝∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴CD＝AC＝AB，
∴BD＝AD＝AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2；
故答案为：DE∥AC；S1＝S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1＝S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，
∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，
∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1＝DF2，
∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，
∴∠CDF1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，
∠CDF2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
∴∠CDF1＝∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，
又∵BD＝4，
∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，
∴BF1＝，BF2＝BF1+F1F2＝+＝，
故BF的长为或．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
6.角平分线与垂直平分线
知识点：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
知识点：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

CD是AB的垂直平分线

满分必刷题：
24．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD＝AB，BE＝BC，则∠C＝（　　）

A．69° B．° C．° D．不能确定
【分析】根据AD＝AB和三角形内角和、外角性质，寻找∠C和∠BAC的关系的表达式；再根据BE＝BC，寻找∠C和∠BAC关系的另一种表达式，由此可得关于∠BAC的方程，求得的度数，代入即可求得∠C．
【解答】解：∵AD＝AB，
∴∠ADB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DAC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC﹣∠BAC＝90°﹣∠BAC；
∵BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝∠BAC+（180°﹣∠BAC）＝∠BAC+45°﹣∠BAC＝45°+∠BAC，
∴90°﹣∠BAC＝45°+∠BAC，
解得∠BAC＝，
∴∠C＝90°﹣＝．
故选：C．

【点评】此题综合考查角平分线的定义、外角的性质、三角形的内角和和等边对等角等知识点，难度较大，注意寻找角之间的关系．
25．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（　　）

A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
【分析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，根据角平分线的性质可知：AD也是一条角平分线，D为△ABC的内心，则有DE＝DF＝DG，根据MDN平分△ABC的面积以此来列等式即可求解．
【解答】解：连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，

∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴AD也是△ABC的角平分线，
则D点为△ABC的内心，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，
∵S△BDM＝BM•DE，S△ADM＝AM•DE，S△ADC＝AC•DF，S△DCN＝NC•DG，S△BDN＝BN•DG，
∴BM•DE+BN•DG＝AM•DE+AC•DF+NC•DG，
∴BM+BN＝AM+AC+NC，
∵MN＝MN，
∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，
∴，
即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等是解答本题的关键．
26．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．

【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM＝BM，再求出∠B＝30°，∠CAM＝90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM＝AM＝CA即CM＝2BM．
【解答】证法1：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴CM＝2AM，
∴CM＝2BM．

证法二：如答图所示，过A
作AD∥MN交BC于点D．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴N是AB的中点．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中点，即BM＝MD．
∵AC＝AB，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠BAD＝∠BNM＝90°，
∴AD＝BD＝BM＝MD，
又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，
∴CM＝2BM．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7.尺规作图
用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图。最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图。
常考的作图有以下几种：作一个角等于已知角，平分已知角，经过一点作已知直线的中垂线。

满分必刷题：
27．如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为（　　）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得∠EOF＝∠OEF＝15°，进而可得∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，则EH＝EF＝1，根据角平分线的性质可得EG＝EH，即可得出答案．
【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，

由题意可知，OE为∠AOB的角平分线，
∴∠BOE＝∠AOE＝∠AOB＝15°，EG＝EH，
∵EF∥OB，
∴∠BOE＝∠FEO，
∴∠EOF＝∠OEF＝15°，
∴∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，
在Rt△EFH中，∠EFH＝30°，
则EH＝EF＝1，
∴EG＝1．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
28．如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由△ADF≌△ADE可得∠CAD＝∠BAD，由作图的过程可知，说明△ADF≌△ADE的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】根据作图过程可得，AF＝AE，DF＝DE，又AD＝AD，根据SSS可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【解答】解：根据作图过程可知：
AF＝AE，DF＝DE，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
29．如图，在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是（　　）

A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．△BOC≌△BDE
【分析】根据线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，
∵AE＝EC，CD＝DB，
∴DE∥AB，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
30．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留的作图痕迹．
（I）在图①中画出△ABC的高线BD．
（2）在图③中画出△ABC的中线BE．
（3）在图③△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3.
【分析】（1）根据三角形的高的定义作出图形；
（2）取格点P，Q，连接PQ交AC于点E，连接BE，线段BE即为所求；
（3）取格点P，Q，连接PQ交BC于点F，连接AF，点F即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，点F即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，灵活运用所学知识解决问题．
8.命题、定理与证明
知识点：命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.
（1）对于命题是对一件事进行判断，可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予判断，那它就不是命题；
（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；
如果一个命题是正确的，那么它是真命题，如果一个命题不正确，那么它就是假命题，其中真命题也可以称它为定理.
为了判断一个命题为真命题，从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．

满分必刷题：
31．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相互平分的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相互垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
32．要说明命题“若a＞b，则“a2＞b2”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（　　）
A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝1，b＝2 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】满足条件，但不能得出结论的即可作为反例．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，满足a＞b，但不满足a2＞b2，
∴要说明命题“若a＞b，则“a2＞b2”，a＝﹣2，b＝﹣3能作为反例，
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握说明命题是假命题，只需举出满足条件，但不能得出结论的反例．
33．某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（　　）
A．不变 B．增加
C．减少 D．增加，减少都有可能
【分析】可设全程，船的静水速度，原来的水流速度，后来的水流速度为未知数，让路程÷顺水速度+路程÷逆水速度，分别求得两种情况下轮船往返一次所用的时间，进而让得到的两个代数式相减，根据结果可判断相应的时间大小．
【解答】解：设全程为S，船在静水中的速度为V，水的流速为V水，往返一次所需时间为，当水的流速度增大时，则不妨设水的流速由V水1，变为V水2，所以，时间差为
＝
∵（V+V水1）（V﹣V水1）﹣（V+V水2）（V﹣V水2）＝V水22﹣V水12＞0，
∴V水2＞V水1
∴当水速增加时，往返一次时间变长．
故选：B．
【点评】考查推理与论证；得到两种水速下时间的代数式是解决本题的突破点；比较两个代数式的大小，通常用减法，看得到的结果与0的比较．