第2章 特殊三角形（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第2章 特殊三角形（综合复习，满分必刷题）（解析版），共45页。试卷主要包含了知识点梳理，知识点巩固等内容，欢迎下载使用。
第2章 特殊三角形（综合复习）
一、知识点梳理

二、知识点巩固
1.轴对称的性质
知识点：把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。
例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。根据轴对称的性质，有以下三条推论：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。同时，如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
③如果两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交，那么交点在对称轴上。

满分必刷题：
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
2．在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解；
【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．

故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
3．已知△ABC的周长是l，BC＝l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【分析】根据条件可以推出AB＝AC，由此即可判断．
【解答】解：∵l＝AB+BC+AC，
∴BC＝l﹣2AB＝AB+BC+AC﹣2AB，
∴AB＝AC，
∴△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴，
故选：C．
【点评】本题考查对称轴、三角形周长、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据条件推出AB＝AC，属于中考常考题型．
4．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′＝70°，则∠B′OG的度数为 　55°　．

【分析】根据轴对称的性质可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝70°，可得出∠B′OG的度数．
【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG
又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°
∴∠B′OG＝×110°＝55°．
【点评】本题考查轴对称的性质，在解答此类问题时要注意数形结合的应用．
2.轴对称图形与作图
在初中遇到的几何图形中，经典的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆。
作轴对称图形：一找，二描点，三连线。找：找出已知图形关键点；描点：分别数出各关键点到对称轴的距离，并根据轴对称图形的性质描出各关键点的对应点；连线：按照已知图形的形状，依次地把各对应点连结起来。

满分必刷题：
5．在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　）
A．2000个 B．1000个 C．200个 D．100个
【分析】分情况讨论：若以8开头，第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，得出有多少种情况．
同样求出以9开头的数量．
【解答】解：根据题意：若以8开头，则第五位也是8，只需考虑中间3位，
又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，
共有10×10＝100种情况．
同样，以9开头的也是有100种情况，
所以共有200个．
故选：C．
【点评】注意对称的要求，正确分析各个数位的数字情况．
6．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有　4　种．

【分析】结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．

【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
8．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．

【分析】根据轴对称图形的对应点被对称轴垂直平分的性质进行画图即可．
【解答】解：

【点评】本题主要考查轴对称图形的性质，关键在于认真的进行画图．


3.最短距离问题
已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离最小.

作法：①作点A关于直线a的对称点A′；
②连接A′B,交直线a与点C;
③连接AC.点C就是所求作的点.

证明：
设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．

∵AP+BP=A′P+BP≥A′B，
∵A′B=A ′C+BC=AC+BC，
∴AP十BP≥AC+BC，
∴沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．
“最短距离”的实质是线段的动点问题，即我们常说的“将军饮马”问题。识别“将军饮马”问题，要记住以下要素：
①条件里存在动点与定点；
②问题求“线段和”的最小值，形式如“求PA+PB的最小值”，也会有变形形式，如三角形周长的最小值。
还需注意的是两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧.

满分必刷题：
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB的最小值为．
故选：D．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′

∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解题的关键．
12．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　．

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′＝＝．
故答案为．

【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
13．如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．

【分析】作点P关于直线OA的对称点P′，作点Q关于直线OB的对称点B′，连接P′B′分别交OA，OB于点M、N，则点MN即为所求．
【解答】解：如图所示．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
14．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 　　；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′，先根据勾股定理求出AB′的长，再判断出∠B′AB＝90°，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解；
（3）将求代数式+（0≤x≤4）的最小值转化为轴对称﹣﹣最短路线问题．
【解答】解：（1）如图1所示，作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′．
AB′＝AB＝＝＝2，
AE＝AB＝，
∵∠B′AC＝∠BAC＝45°，
∴∠B′AB＝90°，
∴PB+PE的最小值＝B′E＝＝＝．
故答案为：；

（2）如图2，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．
BM+MN＝B′N．
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′＝AB
又∵∠BAC＝30°，
∴∠B′AB＝60°，
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B＝AB＝2，∠B′BN＝60°，
在Rt△BB'N中，BB'＝2，∠B′BN＝60°，
∴B′N＝BB'sin∠B'BN＝；

（3）构造图形如图3所示，
其中：AB＝4，AC＝1，DB＝2，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
∵PC+PD＝+，
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E垂直DB的延长线于E．则C′E＝AB＝4，DE＝2+1＝3，C′D＝＝＝5
∴所求代数式的最小值是5．



【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，同时考查了勾股定理及等边三角形的判定和性质，难度较大．
4：等腰三角形及等边三角形的性质与判定
有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.
知识点：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线，可由此推出等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）,△ABC为等腰三角形，AD为△ABC的高线、中线、∠BAC角平分线；

②等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）；
③等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形；
④等边三角形的各个内角都等于60°。
⑤等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.
⑥等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据。此外，还要掌握定理的逆运用，如等腰三角形的三线合一的逆运用，这也是常考点，但不能直接应用，需要证明。
5. 尺规作图
利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
需要注意的是尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.

满分必刷题：
15．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　）

A．7.5° B．10° C．15° D．18°
【分析】根据等腰三角形性质求出∠C＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，根据∠AED＝∠ADE＝∠C+α，得出等式∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，求出即可．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　110°或70°　．
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故答案为：110°或70°．

【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．

【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD＝∠ABC．
【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
19．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交底BC于G．求证GD＝GE．

【分析】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F＝∠FCE，从而可得到BD＝CE＝EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠B，
∵∠ACB＝∠FCE，
∴∠F＝∠FCE，
∴CE＝EF，
∵BD＝CE，
∴BD＝EF，
在△DBG与△GEF中，，
∴△DGB≌△EGF（AAS），
∴GD＝GE．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝120°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝70°﹣15°＝55°，于是得到结论；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；
（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70°﹣15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β；

②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α
∴，∴2α＝β，
∴2α＝β；

③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．



【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
21．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 　x＝0或x＝4﹣4或4＜x＜4　．

【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，
①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；
②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．
【解答】解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；

②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB，
∵∠AOB＝45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝4，
∴OM＝4，
当M与D重合时，即x＝OM﹣DM＝4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x＝0或x＝4﹣4或4．
故答案为：x＝0或x＝4﹣4或4．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．
22．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）

【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．
六．等腰三角形的判定与性质（共3小题）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　25　°，∠DEC＝　115　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　小　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．

【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；

（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），

（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．
24．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF一共5个等腰三角形，同时可证△BEO≌△CFO，可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）由EF∥BC，可得∠2＝∠3，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，所以△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证；
（3）由于OE∥BC，可得∠5＝∠6，又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
【解答】解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；

（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．

（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF


【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，比较综合，难度较大，关键灵活运用等腰三角形的性质．
25．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．

【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

6.命题、定理与逆命题、逆定理
判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。
一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。所有的命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.

知识点：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；其逆定理：一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

满分必刷题：
26．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进行解答即可．
【解答】解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
27．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设　∠B≥90°　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

7：直角三角形性质及判定
有一个角为直角的三角形为直角三角形。

知识点：①直角三角形的两个锐角互余.
其逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.可依此判定直角三角形。（判定方法1）

②中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 。
△ABC为直角三角形，∠A=90°，AD为BC的中线，那么AD=BD=DC，即△ABC为等腰三角形。

其逆定理：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，可依此判定直角三角形。（判定方法2）
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

知识点：角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.

若PC=PD,那么OP为∠AOB的角平分线。

满分必刷题：

28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用角平分线的定义求出∠ABC，利用三角形内角和定理求出∠A，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
30．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（　　）
①OE平分∠AOD；
②∠AOC＝∠BOD；
③∠AOC﹣∠CEA＝15°；
④∠COB+∠AOD＝180°．

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC＝∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD＝180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC﹣∠CEA＝15°．
【解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②正确；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，

∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
31．在△ABC中，∠C＝40°，∠ABC≠90°，过点B的一条直线恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的度数是　35°或20°或80°　．
【分析】分两种情形：①如图1中，当CB＝CT时，∠C＝40°，推出∠CTB＝∠CBT＝70°，推出∠ATB＝110°，由△ABT是等腰三角形，推出AT＝TB，可得结论．②如图2中，当TC＝TB时，∠C＝∠TBC＝40°，推出∠ATB＝∠C+∠TBC＝80°，再分两种情形求出∠A即可．
【解答】解：如图1中，

当CB＝CT时，∵∠C＝40°，
∴∠CTB＝∠CBT＝70°，
∴∠ATB＝110°，
∵△ABT是等腰三角形，
∴AT＝TB，
∴∠A＝∠ABT＝35°．
如图2中，当TC＝TB时，∠C＝∠TBC＝40°，

∴∠ATB＝∠C+∠TBC＝80°，
∵△ABT是等腰三角形，
∴∠A＝80°，
同理，当∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40°也符合条件，
综上所述，满足条件的∠A的值为35°或20°或80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

8：勾股定理及其逆定理
知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

勾股定理揭示了直角三角形的三边之间存在一定的数量关系。在此基础上，可以在有直角三角形的前提下，可以利用勾股定理，将直角三角形的某一边设为未知数，根据已知条件，建立方程并求解。勾股定理还有一些变式：
，， .
可依此进行数形结合，达到解题的目的。
还可以通过，勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，来判定直角三角形。（判定方法3）

满分必刷题：
32．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．
【解答】解：如图，由勾股定理得 AC＝＝．
∵BC×2＝AC•BD，即×2×2＝×BD
∴BD＝．
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
33．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
34．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝，BC＝，CD＝，则AD边的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】作AE⊥BC，DF⊥BC，构建直角△AEB和直角△DFC，根据勾股定理计算BE，CF，DF，计算EF的值，并根据EF求AD．
【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE＝AE＝，CF＝，DF＝2，
于是EF＝4+．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD＝＝＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．
35．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且S（1）＝S（2）＝S（3）则，OA+OB+OC的值为（　　）

A．24 B．3 C．+16 D．2+8
【分析】延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，利用HL证明△COE≌△COF得∠OCE＝∠OCF，从而得出M是AB中点，且CM⊥AB，再根据三角形面积公式以及勾股定理分别求出OA、OB的长即可求解．
【解答】解：如图，延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，

∵S（1）＝S（2），AC＝BC，
∴OE＝OF，
又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，
∴△COE≌△COF（HL），
∴∠OCE＝∠OCF，
又∵AC＝BC，
∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，
SS，
∴OM＝OC，
在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，
∴CM＝＝12，
∴OC＝8，OM＝4，
∴OA＝＝，
OB＝＝，
∴OA+OB+OC的值＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
36．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．

【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．
【解答】证明：（1）连接AC．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴BC2＝AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD＝EF．
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE＝BF．
∴BE＝BF+EF＝AE+CD．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．
37．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）求AE和BD的长；
（2）若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，求证：S＝AE•BD．

【分析】（1）根据，△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD＝AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，即，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长；
（2）根据（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE•BD是多少，在化简过程中，可以利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同．
【解答】（1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴AB+BD＝AC+CD＝．
∴BD＝﹣c＝，
同理AE＝；

（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴c2+b2＝a2，S＝bc，
由（1）知AE•BD＝×＝＝（a2﹣b2﹣c2+2bc）＝，
即S＝AE•BD
【点评】本题中通过周长相等得出线段的长是解题的关键．要注意在（2）中化简AE•BD的式子的过程中要多使用已知或间接知道的条件．
38．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2+BE2；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质直接得出结果；
（2）作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（3）方法同（2）．
【解答】（1）解：∵CE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵点D与点A重合，
∴AD＝0，
∴DE2＝AD2+BE2；

（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，
∠ACF＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF＝45°，
即∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2；

（3）结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，
∠ACF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2．



【点评】此题主要考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系．

9：判定直角三角形全等
知识点：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.在直角三角形中，只需知道任意两条边，即可确定直角三角形。在证明直角三角形全等时，优先选用HL。在书写时必须在两个三角形前加上“Rt”，如Rt△ABC。

满分必刷题：
39．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
40．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　5或10　，△ABC与△APQ全等．

【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．