第1章 二次函数（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第1章 二次函数（综合复习，满分必刷题）（解析版），共41页。试卷主要包含了知识点梳理，知识点巩固等内容，欢迎下载使用。
第1章 二次函数（综合复习）

一、知识点梳理

二、知识点巩固
1.二次函数的定义
知识点：我们把形如y=ax 2+bx+c（a ,b ,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。二次项系数，而可以为零．

满分必刷题：
1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为　1　．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m＝2，求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m＝2，
解得：m≠﹣2且m＝﹣2，m＝1，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y＝axm+bx+c（abc都是常数）是二次函数，那么a≠0且m＝2．
3．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．
【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1
又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0
解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）
所以m＝3
故y＝12x2+9．
【点评】主要考查了二次函数的定义．


2.二次函数的图像
二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线。可由抛物线y=ax 2通过平移得到，不过一般要将y=ax 2+bx+c化成y=a（x-h） 2+k的形式。

y=ax²平移成y=a（x-h）²+k在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”


上图中与x轴的两个交点：，；与y轴交点及其对称点：，.对称轴为。

满分必刷题：
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断．
【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，
∴A符合条件，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．


5．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．

4.二次函数图象的画法
五点绘图法：五点分别是顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
具体方法是先利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，再在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
5.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
① 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
② 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
①在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
②在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则
③常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
决定了抛物线与轴交点的位置．
6.二次函数的性质

当二次函数自变量的取值范围是某一确定范围时，二次函数最值的求法要结合图像与增减性来考虑。求二次函数的最大（小）值可以需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式.

满分必刷题：
6．已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜2 B．﹣＜m＜﹣ C．m＞﹣ D．m＞2
【分析】由点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2＞n，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，进而求解．
【解答】解：∵P（m，n）为顶点，y1＞y2＞n，
∴抛物线开口向上，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴＜m，
解得m＞﹣，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．已知A（﹣1，yA），B（3，yB）两点均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点C（xC，yC）是该抛物线顶点，若yC＞yA＞yB，则xC的取值范围为（　　）
A．﹣1＜xC＜1 B．xC＜﹣1或xC＞1
C．xC＜﹣1或﹣1＜xC＜1 D．﹣1＜xC＜1或xC＞1
【分析】由yC＞yA＞yB可得抛物线开口向下，由点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离求解．
【解答】解：∵点C（xC，yC）是该抛物线顶点，yC＞yA＞yB，
∴抛物线开口向下，点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
当点A，B关于抛物线对称轴对称时，抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴xC＜1且xC≠﹣1时符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝　　．

【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【解答】解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为　（﹣2，0）　．

【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，
∴P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．

【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（　　）

A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x＝﹣1代入求出b＝a﹣3，把x＝1代入得出P＝a+b+c＝2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，
∴b＝a﹣3，
∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，
∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a﹣3＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x＝1时a+b+c＝P是解决问题的关键．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x＝﹣，即﹣＝﹣，即2a＝3b，也就是a＝b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，
又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，
因此③正确，
故选：A．
【点评】考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围，是常见的题型．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m+2）与点B（t，n）均在该抛物线上，且m﹣n＜﹣2，则t的值可以是（　　）
A．7 B．4 C．1 D．﹣1
【分析】利用二次函数的性质可知点P为抛物线的顶点，从而得到抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，
∴点P（2，y0）为抛物线的最低点即顶点，此时a＞0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴根据抛物线的对称性可得点（﹣2，m+2）与点（6，m+2）关于抛物线的对称轴对称，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵m﹣n＜﹣2，
∴m+2＜n，
∴t＞6或t＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，数掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 　y1＜y2　．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵3＞2＞1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
18．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 　（4，33）　．
【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
19．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　．
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为0或当x＝0时y＜0且当x＝3时，y不小于0，从而可以求得x的取值范围．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，
∴n﹣2＝0或，
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．通过平移y＝﹣（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法正确的是（　　）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣x2的图象．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．

7.二次函数解析式的三种形式
知识点：
① 一般式：（，，为常数，）；知道三点的坐标用一般式。
②顶点式：（，，为常数，）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式。
③交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标），当函数与x轴有两个交点时，用交点式。注意中间的“-”。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

满分必刷题：
21．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是直线x＝2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
（2）因为点A与点C关于x＝2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x＝2的交点即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得b＝4，c＝3，
∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点A与点C关于x＝2对称，
∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b′，
，
解得，k＝﹣1，b′＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．

【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
24．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2

过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．
25．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答即可；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式和二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质的应用．



8.二次函数与一元二次方程：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
①当时，图象与轴交于两点其中的是一元二次方程的两根． 两点间的距离AB=
② 当时，图象与轴只有1个交点，即方程有两个相同的实根；
③ 当时，图象与轴没有交点，即方程无解。
9. 二次函数的综合应用
根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图像是个轴对称图形，它的对称性质在研究函数图像与性质时非常有用，利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

满分必刷题：
26．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△＝22+4m＞0于是得到m＞﹣1；
（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m＝3，于是确定二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，把对称轴方程x＝1，代入直线y＝﹣x+3即可得到结果．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4m＞0
∴m＞﹣1；

（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+m
∴m＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．
27．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，
然后解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
28．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是　﹣3＜x＜　．
【分析】根据1≤m≤3，得出两个不等式：当m＝3时，x2+3x﹣6＜0；当m＝1时，x2+x﹣6＜0；分别解不等式x2+3x﹣6＜0，x2+x﹣6＜0，可求实数x的取值范围．
【解答】解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
【点评】本题考查了用二次函数的方法求自变量x的取值范围．关键是分类列不等式，分别解不等式．
29．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　x＜﹣1或x＞4　．

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
30．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　y＝﹣（x+6）2+4　．

【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】方法一：
解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
故答案为：y＝﹣（x+6）2+4．
方法二：B为原点相当于把原函数左移12个单位，也由顶点坐标（6，4）变为（﹣6，4），
故点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
31．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；

（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE＝k1x+b1，利用待定系数法确定yAE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为边或对角线2种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．

（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE＝k1x+b1，
则，
解得：，
∴yAE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））
∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m
∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，
∴有最大值﹣a＝，
∴a＝﹣；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P1（1，m），
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知|xD﹣xP|＝|xA﹣xQ|，可知Q点横坐标为﹣4或6（6不符合题意，舍去），
将x＝﹣4代入抛物线方程得Q（﹣4，21a），
m＝yD+yQ＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，
PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，
∴P1（1，﹣）．

②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），
m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，
PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，
AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，
解得a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，
∴P2（1，﹣4）．
综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
33．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；

（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
34．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n＝时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝，∴OM＝ON+MN＝+＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x＝3或x＝（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x＝时，y＝x+2＝．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．
35．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别令y＝0，x＝0，即可解决问题．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积．
（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，
∴x2+2x﹣8＝0，
x＝﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x＝0，得y＝2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象①AB为平行四边形的边时，
∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×＝．
②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝×6×＝．
（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN＝＝，
∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．
②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y＝﹣x+2，
∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．