第3章 圆的基本性质（第一篇）（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第3章 圆的基本性质（第一篇）（综合复习，满分必刷题）（解析版），共43页。
\l "_Tc115264729" 二、知识点巩固 PAGEREF _Tc115264729 \h 1
\l "_Tc115264730" 1.圆的定义 PAGEREF _Tc115264730 \h 1
\l "_Tc115264731" 2.点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc115264731 \h 4
\l "_Tc115264732" 3.确定圆的条件 PAGEREF _Tc115264732 \h 10
\l "_Tc115264733" 4.旋转的概念 PAGEREF _Tc115264733 \h 12
\l "_Tc115264734" 5.旋转的作图 PAGEREF _Tc115264734 \h 13
\l "_Tc115264735" 6.垂径定理 PAGEREF _Tc115264735 \h 21
\l "_Tc115264736" 7.圆心角与弧的定义 PAGEREF _Tc115264736 \h 32
一、知识点梳理
二、知识点巩固
1.圆的定义
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
知识要点：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线；
③圆指的是圆周，而不是圆面；
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
经过圆心的弦叫做直径.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
大于半圆的弧叫做优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧.
半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；圆中两平行弦所夹的弧相等.
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
同圆或等圆的半径相等.（强调“在一个平面内”是非常必要的）
满分必刷题：
1．如图所示，OA、OB、OC、OD是圆的四条半径，则图中以B为端点的弧的条数有（ ）
A．6条B．8条C．2条D．4条
【分析】圆弧是圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；本题要求的弧没有规定是优弧还是劣弧，所以两种都可以考虑，据此解答．
【解答】解：由于题目没有明确限定是优弧还是劣弧，所以有下列6条以B为端点的弧：
、、、、、．
故选：A．
【点评】本题侧重考查圆弧的条数，了解圆弧的定义是解题关键．
2．判断下列说法：正确的打“√”，错误的打“ד．
（1）圆中的线段是弦； ×
（2）直径是圆中最长的弦； √
（3）经过圆心的线段是直径； ×
（4）半径相等的两个圆是等圆； √
（5）长度相等的两条弧是等弧； ×
（6）弧是半圆，半圆是弧． ×
【分析】根据弦，直径，等弧，半圆等知识一一判断即可．
【解答】解：（1）圆中的线段是弦；×．
（2）直径是圆中最长的弦；√．
（3）经过圆心的线段是直径；×．
（4）半径相等的两个圆是等圆；√．
（5）长度相等的两条弧是等弧；×．
（6）弧是半圆，半圆是弧．×．
故答案为：×√×√××．
【点评】本题考查圆的认识，弦，直径，等弧，半圆等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．下列说法中：①直径是弦；②弦是直径；③等弧的长度相等；④弧是半圆．正确的有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③等弧的长度相等，正确，符合题意；
④根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，错误，不符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
【分析】连结圆上任意两点间的线段叫做弦，据此找出图中的弦即可；圆上任意两点间的部分叫做弧，根据弧的概念找出图中的所有弧；接下来根据优弧和劣弧的区别对各选项进行判断即可．
【解答】解：图中的弦有BC，AB，AC，
图中的劣弧有，，
图中的优弧有，．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.
需要注意的是点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上

“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
满分必刷题：
5．如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BD＝EC，求出ACE的最大值即可．
【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点E（4，﹣3），
则点B是AE的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴BD是△AEC的中位线，
∴BD＝EC，
∴当AEC最大时，BD最大，
∵点C为坐标平面内一点，且OC＝2，
∴点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，
∴当EC经过圆心O时，EC最大．
∵OB＝4，BE＝3，
∴OE＝5，
∴CE的最大值为5+2＝7，
∴BD的最大值＝．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定BD为最大值时点C的位置是解题的关键．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【分析】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE＝PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝12，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB＝，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
【点评】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
7．⊙O的直径长为10，OA为8，则点A与⊙O的位置关系为 点A在⊙O外 ．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为8，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为：点A在⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外时，d＞r；点P在圆上时，d＝r；点P在圆内时，d＜r．反之也成立．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，2.4cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系是 点D在⊙C外 ．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：由勾股定理，得
AB＝（cm），
∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝2.5（cm），
∴CD＝2.5cm＞⊙C的半径，
∴点D在⊙C外．
故答案为：点D在⊙C外．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
9．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，线段OD的最大值是 （2，2） ．
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
10．如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 （4，4） ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6+2＝8，
C坐标为（2，8），
∴OM＝CD＝4，即OM的最大值为4，M坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
3.确定圆的条件
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
满分必刷题：
11．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆内部包含的格点数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O内包含13个格点，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
12．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【分析】利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于（1，2）在直线MN上，可知答案．
【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
当x＝3时，y＝﹣3≠5；当x＝﹣3时，y＝12；当x＝1时，y＝2≠﹣2；
∴点C在直线MN上，该三点不能构成圆．
故选：C．
【点评】考查了确定圆的条件及坐标与图形性质，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．
13．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是（ ）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
4.旋转的概念
一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.

如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
图形的旋转要注意一下几点：
①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；
②对应点到旋转中心的距离相等；
③任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
④图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
5.旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图的步骤：
①连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
②把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
③在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④连接所得到的各对应点.
满分必刷题：
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE＝5，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15．如图，一直角三角板ABC，其中∠A＝30°，∠ACB＝90°，将该三角板绕点B顺时针旋转60°，得到△EBD，延长AC交DE于F，若AF＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．C．3D．6
【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴∠A＝∠E＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
设BC＝x，
∴AB＝BE＝2x，
∴CE＝x，AC＝＝x，
∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，
∴CF＝EF，
∵CE＝x，
∴CF＝x，
∵AF＝4，
∴x+x＝4，
∴x＝3，
∴AB＝2x＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′、DC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．8B．10C．D．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝8，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D＝4，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D＝4，
∴CC'＝8，
∴CD＝＝＝4，
∴正方形ABCD的边长为4．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E．
（1）求证：E、D、B三点共线；
（2）若AB＝2BC＝4，求点E到AB的距离．
【分析】（1）连接BD，根据将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，得∠BAD＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝120°，知△ABD是等边三角形，可得∠ADB＝60°，故∠ADE+∠ADB＝120°+60°＝180°，E、D、B三点共线；
（2）过A作AF⊥BE于F，过E作EG⊥AB于G，由△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝4，BE＝6，根据∠BAF＝30°，可得BF＝AB＝2，AF＝BF＝2，由等面积法即得EG＝＝3．
【解答】（1）证明：连接BD，如图：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝120°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADE+∠ADB＝120°+60°＝180°，
∴E、D、B三点共线；
（2）过A作AF⊥BE于F，过E作EG⊥AB于G，如图：
由（1）知△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
∴BE＝BD+DE＝BD+BC＝4+2＝6，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝2，AF＝BF＝2，
∵2S△ABE＝AB•EG＝BE•AF，
∴EG＝＝＝3，
∴点E到AB的距离是3．
【点评】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，利用等面积法列方程解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为 （﹣22022，0） ．
【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次点A的位置重复出现，由此可知第2022次旋转后，点A2与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，再由OAn＝2n，即可求解．
【解答】解：∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
∵2022÷6＝374，
∴第2022次旋转后，点A2与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，
∵第一次旋转后，OA1＝2，
第二次旋转后，OA2＝22，
第三次旋转后，OA3＝23，
……
∴第2022次旋转后，OA2022＝22022，
∴点A2022的坐标为（﹣22022，0）．
故答案为：（﹣22022，0）．
【点评】本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CDEF．设若A（0，3），C（4，0），则BD2+BF2﹣BC2的最小值为 4 ．
【分析】过点B作BH⊥EF交于H，取BG＝CF，连接EG，GF，EB，CE，则四边形BCFG是平行四边形，四边形EDBG是平行四边形，再由勾股定理可得BD2+BF2﹣BC2＝BE2，当BE最小时，BD2+BF2﹣BC2的值最小，又由CE﹣BC≤BE≤EC+BC，可得2≤BE≤8，可求BE的最小值为2，即可求BD2+BF2﹣BC2的最小值为4．
【解答】解：过点B作BH⊥EF交于H，取BG＝CF，连接EG，GF，EB，CE，
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF⊥EF，DE⊥EF，
∴BG∥CF，DE∥BG，
∴四边形BCFG是平行四边形，四边形EDBG是平行四边形，
∴BD＝EG，BC＝GF，
∴BD2+BF2﹣BC2
＝EG2+BF2﹣GF2
＝EH2+GH2+BH2+HF2﹣HG2﹣HF2
＝EH2+BH2
＝BE2，
∴当BE最小时，BD2+BF2﹣BC2的值最小，
∵A（0，3），C（4，0），
∴OC＝4，OA＝3，
由旋转的性质可得，CD＝4，DE＝3，
∴CE＝5，
∵CE﹣BC≤BE≤EC+BC，
∴2≤BE≤8，
∴BE的最小值为2，
∴BD2+BF2﹣BC2的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的勾股定理，三角形的边的关系是解题的关键．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．
（1）用尺规作图作出△A′O′B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）证明：点C、O、O′和A′四点共线．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）连接OO′，证明∠COO′＝180°，∠A′O′O＝180°，可得结论．
【解答】（1）解：如图，△A′O′B即为所求；
（2）证明：连接OO′．
∵BO＝BO′，∠BOB′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠BOC＝∠AOB＝∠A′O″B＝120°，
∴∠COO′＝180°，∠A′O′O＝180°，
∴点C、O、O′和A′四点共线．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
6.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
几何语言：∵DC是直径，AE=EB
∴直径DC垂直于弦AB，，
推论二：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
几何语言：∵
∴CD垂直平分AB，
推论三：在同圆或者 \t "/item/%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86/" 等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）垂径定理在考试中是常考知识点，一定要灵活运用。
满分必刷题：
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝AB＝＝＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，
∴CD＝2CM＝2×2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．
22．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．5B．2.5C．3D．2
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
24．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
25．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
26．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．36B．24C．18D．72
【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
27．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD＝，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥OC交⊙O于点D，
∴△OCD是直角三角形，
根据勾股定理得CD＝，
∵半径OD是定值，
∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴CD＝＝BC＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，利用勾股定理表示出CD是解题的关键．
28．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．5B．2C．4D．
【分析】因为∠AEC＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF＝OE＝1，再根据勾股定理求得CF的长，然后由垂径定理求出CD的长．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接CO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3，
∴OE＝3﹣1＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
∴CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
29．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝ 5 ．
【分析】设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
30．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦AB＝，点C是弦AB中点，P（+1，﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的面积为 +π ．
【分析】首先利用已知条件求得点C 的轨迹，可得线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，利用直角三角形的边角关系定理，切线长定理，三角形、扇形的面积公式解答即可．
【解答】解：连接OC，OA，如图，
∵点C是弦AB中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，
∴OC＝＝．
∵弦AB在⊙O上滑动，
∴点C的轨迹为以点O为圆心，以为半径的圆，如图中的虚线⊙O，
过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，
则OD＝OE＝．
利用勾股定理可求得PO＝，
∵PD，PE是虚线⊙O的切线，
∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．
∵sin∠OPD＝＝，
∴∠OPD＝30°，
∴∠OPE＝30°，
∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，
∴∠DOE＝120°．
∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，
∴线段PC扫过的面积为2×PD•OD+
＝+π．
故答案为：+π．
【点评】本题主要考查了垂径定理，切线长定理，三角形，扇形的面积，点的轨迹，确定出点C的轨迹是解题的关键．
31．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7.圆心角与弧的定义
顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.

2．1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. \\ac(\s\up12(⌒),ab) 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
满分必刷题：
8.圆心角定理及推论
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
③在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
满分必刷题：
32．如图，AB为⊙O的直径，C，E是⊙O上两点，且＝，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．若DE＝1，CD＝3，则OC的长为（ ）
A．5B．2C．3D．
【分析】过O点作OH⊥AD于H，如图，根据垂径定理得到AH＝EH，设⊙O的半径为r，利用弧、弦、圆心角的关系和圆周角定理得到∠BOC＝∠A，则可判断OC∥AD，接着证明四边形OHDC为矩形，所以DH＝OC＝r，OH＝CD＝3，则DE＝DH﹣DE＝r﹣1，然后利用勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，最后解方程即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AD于H，如图，则AH＝EH，
设⊙O的半径为r，
∵＝，
∴∠BOC＝∠A，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AE，
∴四边形OHDC为矩形，
∴DH＝OC＝r，OH＝CD＝3，
∴DE＝DH﹣DE＝r﹣1，
在Rt△AOE中，32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
即OC的长为5．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
33．如图，不是⊙O的圆心角的是（ ）
A．∠AOBB．∠AODC．∠BODD．∠ACD
【分析】根据圆周角定义逐个判断即可．
【解答】解：∠AOB、∠AOD、∠BOD都是圆心角，只有∠ACD不是圆心角，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角定义是解此题的关键，顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．
34．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在CD上截取CE＝AB，连接CM，EM，BM，AM，证明△ABM≌△CEM，得出BM＝EM，进而得出BD＝DE即可解答．
【解答】解：如图，在CD上截取CE＝AB，连接CM，EM，BM，AM，
∵M是的中点，
∴AM＝CM，
又∠A＝∠C，
在△ABM和△CEM中，
，
∴△ABM≌△CEM（SAS），
∴BM＝EM，
∵MD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵，，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD＝2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角，弦，弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
35．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝ 3 ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD＝AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD＝AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD＝AF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题．
36．如图，AB，CD都是圆中的弦，连接AC，BD，且AC＝BD，求证：AE＝DE．
【分析】连接AD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出＝，根据圆周角定理求出∠ADC＝∠BAD，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：连接AD，
∵AC＝BD，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等，能根据圆心角、弧、弦之间的关系求出＝是解此题的关键．
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．
【解答】解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°，
∴的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，
∴AB＝，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD•AB＝AE•AF，即15AD＝3×21，解得AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣＝．
【点评】本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系，切割线定理的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
38．如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的判定和性质即可得出结论；
（2）利用直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°，
又∵BG⊥DF，
∴∠F+∠FBG＝90°，
∵∠CBE＝∠FBG，
∴∠F＝∠C＝∠A，
∴DA＝DF，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EF；
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝＝5，
∵tan∠F＝＝＝tan∠C＝，
∴BE＝＝，
∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，
在Rt△BFG中，tan∠F＝，
设BG＝x，则FG＝2x，由勾股定理得，
BG2+FG2＝BF2，
即x2+（2x）2＝（）2，
解得x＝（x＞0），
即BG＝．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及圆周角定理是解决问题的前提．
39．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即D为的中点．
【点评】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠AOD＝∠COD是解此题的关键．
40．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．