人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教学设计及反思

5.3.2函数的极值与最大（小）值

一、内容与内容解析

1. 内容: 函数的极值与最大（小）值。

2. 内容解析：

函数的极值是学生在本小节第一次接触到的新概念 教科书通过具体案例，结合函数图象，直观地给出了极值的概念，并通过具体函数在极值点及两侧导数值的变化情况，通过探究归纳出用导数求函数极值的一般方法， 对于学生已经学习过的函数的最大(小)值问题，则侧重于借助实例让学生体会如何利用导数来求函数的最大(小)值.教科书以高台跳水实例引人函数极值的讨论。

函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念。需要注意的是，“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。

函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的。因此，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解。

运用导数方法求函数极值：学生通过观察图象可以自己总结求函数极值的一般步骤，但是还是会忽略定义域，因此要强调学生注意这一点，通过例题的变式可以达到这一目标。为了能够更加简捷地求极值，教师要示范利用表格完整的书写求极值的过程。需要强调的是，在高中研究的函数都是处处可导的函数。再启发学生得出函数在一点的导数值为0是函数在这点处取得极值的必要条件，而非充分条件。并举出反例加以说明。

最值与极值的区别和联系：极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质；函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的；函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外).函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最值可以在端点取到.但最值有时是函数的极值。

3.  教学重点：利用导数求函数的极值与最值。

二、目标与目标解析

1.  目标：

（1）结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。

（2）理解函数最值的概念，了解函数极值与最值的区别，会求闭区间上函数的最值。

（3）通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质。增强数形结合的意识；通过规范地表达求函数极值、最值的过程，养成缜密的思维习惯。

2.  目标解析：

达成上述目标的标志分别是：

（1）能够通过函数图象判断函数的极值点和极值。

（2）能够利用导数求解一元三次函数的极值和给定区间函数的最值。

（3）通过求导与最值的探求，培养学生的数学核心素养——直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等。

三、教学问题诊断解析

1.  问题诊断

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对极值的理解和求极值的方法，产生这一问题的原因是极值概念比较抽象，会跟最值有混淆。要解决这一问题，就要采用数形结合的方法重点研究出极值的概念和求极值的方法，需要认真细致的分析出概念，从而总结出求极值的方法，其中关键是对极值概念的理解.要解决这一问题，结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法，通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养.

2.  教学难点

对函数极值的理解，函数极值和最值的应用。

四、教学支持条件分析

学生必需具备画出函数大致图象的能力，所以教师应该引导学生如何抓住特殊点和增长趋势画出简图。过程分析和画图完毕后最好借助信息技术（例如几何画板）给予学生更为规范的图象展示，并且有意识地培养学生应用信息技术验证自己图象正确与否的能力。

五、教学过程设计

1.  复习引入

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.

函数的单调性与导函数正负之间的关系：

（1）函数的单调性与导函数正负之间的关系；

（2）利用导数研究函数的单调性的基本步骤；

如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

[设计意图]回顾前面内容，为接下来研究做好知识上的铺垫。

2. 探究新知

问题1  在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

观察图，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大附近函数的图像，如图，可以看出；在附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．

[设计意图]创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫．

问题2  对于一般的函数y=f (x)，是否具有同样的性质？

如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？

以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧<0,右侧>0.类似地，函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧>0，右侧<0.

我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

[设计意图]进一步理解函数的极值. 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.

教师再强调：（1）极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值；（2）极值点是横坐标, 极值是纵坐标。（3）“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。

[设计意图]让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力。

问题3  观察图3，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？

图 3            

追问1  函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗？

追问2  区间的端点能成为极值点吗？

追问3  极大值一定大于极小值吗？

师生活动：小组讨论交流并展示后，教师再加以点评，极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念。

[设计意图]对问题进行递进式分解，有利于学生思维的有序展开。追问的设置有利于学生对概念的辨析和理解。

追问4  如何区分极大值与极小值呢？

师生活动：放大附近函数的图像，请学生观察几何画板展示的动态过程，得到当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，。这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有。再由学生总结求函数极值的步骤：（1）先求的零点；（2）再利用口诀：先正后负是极大值；先负后正是极小值。

[设计意图]让学生经历可以利用导数求极值这一知识的自主建构过程，借助图象直观，进行数学抽象形成极值口诀，乘势而上，让学生自己总结求极值的基本步骤，培养学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。

例题5  求函数的极值。

师生活动：教师启发学生思考，并示范解答问题。在此基础上，引导学生归纳用导数求函数y=f (x)极值的步骤：

第1步，求出函数的定义域；

第2步，求出导数f ′(x)的零点；

第3步，用f ′(x)的零点将函数f (x)的定义域划分成若干个开区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性，进而求出函数的极值。

问题4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

追问：x=0 是否为函数 f (x)= 的极值点?

师生活动：学生在前面例题的基础上，容易想到如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点。如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反。

一般地，函数y=f (x)在一点的导数值为0是函数y=f (x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.

[设计意图]此问题是教科书第93页思考，教师通过例题解答向学生示范如何利用导数求函数的极值。让学生养成规范表达的良好习惯，学会探索利用列表法简洁明了的表达方式的方法。并让学生体会到函数y=f (x)在一点的导数值为0是函数y=f (x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件。

归纳方法：一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值：

解方程f ′(x)=0，当f ′()=0时：

(1)如果在附近的左侧，右侧 ，那么是极大值；

(2)如果在附近的左侧，右侧 ，那么是极小值.

3. 函数的最大（小）值

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.

下图是函数，的图象.由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值.

问题5 找出函数在区间上的最小值和最大值.

由上图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.

问题6 在下图中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

例6 求函数在区间上的最大值与最小值.

解：由例5可知，在区间上，

当时，函数有极小值，并且极小值为.

又由于，

所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.

归纳方法：

一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数在区间上的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

4.利用导数解决与函数相关的问题

例7 给定函数.

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）画出函数的大致图象；

（3）求出方程的解的个数.

解：（1）函数的定义域为.

.

令，解得.

，的变化情况如表所示.

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，有极小值.

（2）令，解得.

当时，；当时，.

所以的图象经过特殊点，，.

当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；

当时，，.

根据以上信息，画出的大致图象如图所示.

（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.

由（1）及上图可得，当时，有最小值.

所以关于方程的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；

当或时，解为1个；

当时，解为2个.

方法归纳：画函数的大致图象的步骤：

（1）求出函数的定义域；

（2）求导数及函数的零点；

（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；

（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出的大致图象.

5.课堂小结

请学生总结一下本节课的主要内容和思想方法。

师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况及时进行补充完善。

[设计意图]回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数极值的步骤，使学生进一步体会导数在研究函数极值中的作用，感受算法思想。

六、目标检测设计

检测1  函数f (x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示，试找出函数f (x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。

[设计意图]考查学生对利用导函数的图象判断函数极值的认识。

检测2 当时，证明：

重要结论:

（1）当时，（当且仅当时等号成立）是证明不等式问题时常用的不等式;

（2）从图象可以发现，当与很接近时，即很小时，，此式可以帮助解决一些近似计算问题.

（3）当时，将中的换成得到不等式：

当时，（当且仅当时等号成立）；

将中的换成进而得到（当且仅当时等号成立）。

这两个不等式是以后证明不等式问题时常用的不等式.

[设计意图]考查学生对用导数求函数最值的认识。