湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

这是一份湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的上焦点为F，以F点为圆心，且与一条坐标轴相切的圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
5．已知直三棱柱中，∠ABC＝120°，AB＝2，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知点、，动点满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，一条渐近线为l，过点且与渐近线l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0必过定点
B．过点作圆的切线，切线方程为2x＋y－5＝0
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
10．如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为45°，则（ ）
A．
B．与AC所成的角为60°
C．
D．当时，三棱锥的体积为定值
11．双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
12．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，、是椭圆的左、右焦点，A、B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为－1
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点，，直线l：ax－y＋8－a＝0，若直线l与直线AB平行，则a＝______．
14．双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距为______．
15．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．
16．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功、幸福、平安、健康，表达了人们对美好生活的向往．梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程C：（如图所示）进行图案绘制．试求曲线C围成的封闭图形的面积______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在三棱锥P－ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）以为一组基底表示向量；
（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求．
18．（12分）已知点，______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：x－2y＋2＝0关于直线的对称直线的方程．
条件①：点A关于直线的对称点B的坐标为；
条件②：点B的坐标为，直线过点且与直线AB垂直；
条件③：点C的坐标为，直线过点且与直线AC平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足AC＝BC，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若圆台的高为2，求直线与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）已知圆C：．
（1）若圆C被直线3x＋4y＝0截得的弦长为8，求圆C的直径；
（2）已知圆C过定点P，且直线x－y＋2a＝0与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．
21．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线x－y＋2＝0的距离为．点为此抛物线上的一点，．直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且．
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标．
22．（12分）已知直线l过椭圆：的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，直线l与双曲线：的两条渐近线、分别交于M、N两点．
（1）若，且当轴时，的面积为，求双曲线的方程；
（2）如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．
参考答案
1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．C
9．AB 10．BD 11．CD 12．AC
13． 14． 15． 16．
17．（1）；（2）－3．
【详解】（1）∵M为线段AD的中点，∴，∵CD＝2BD，∴，
∴
；
（2）
．
18．（1）x－y－1＝0；（2）2x－y－5＝0
【详解】（1）选择条件①：
因为点A关于直线的对称点B的坐标为，所以是线段AB的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为1，又线段AB的中点坐标为，
所以直线的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．
选择条件②：
因为，直线与直线AB垂直，所以直线的斜率为1，
又直线过点，所以直线的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0．
选择条件③，
因为，直线与直线AC平行，所以直线的斜率为1，
又直线过点，所以直线的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0．
（2），解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：x－2y＋2＝0上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，
代入两点式方程得，即2x－y－5＝0，
所以：x－2y＋2＝0关于直线的对称直线的方程为2x－y－5＝0．
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）取AC中点M，由题意，，，
又，故，．
又，，故，，
所以四边形为平行四边形，则．
由平面ABC，故平面ABC，又面PAC，故平面平面ABC．
（2）以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则有：，，，，，
故．设平面PBC的法向量，
而，，
故，令z＝1，得．
设所求角的大小为，则．
所以直线与平面PBC所成角的正弦值为．
20．（1）；（2）．
【详解】（1）依题意可知圆C的圆心为，
到直线3x＋4y＝0的距离，
因为圆C被直线3x＋4y＝0截得的弦长为8，所以，
解得，故圆C的直径为．
（2）圆C的一般方程为，
令x－2y＝0，，解得x＝y＝0，所以定点P的坐标为．
联立解得或
所以，因为，所以．
又方程表示一个圆，所以，
所以a的取值范围是．
21．（1），；（2）证明见解析，定点
【详解】（1）设抛物线的标准方程为，p＞0，其焦点为，
则，∴p＝1，所以抛物线的方程为．
∴，所以，所以．
因为，所以，所以．
（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立方程得．
设两个交点，（，）．
所以所以，
即，
整理得b＝2t＋3，此时恒成立，
此时直线l的方程为x＝ty＋2t＋3，可化为x－3＝t（y＋2），从而直线过定点．
22．（1）；（2）．
【详解】（1）由题设，且双曲线：的渐近线为，
当轴时，，又，的面积为，
所以，故a＝2b，而，可得，，
所以双曲线的方程为．
（2）对于椭圆有，而，则，
不妨假设：，则：，且l：，
所以，又，，
令，则，，故，
所以，而A在椭圆：上，
则，整理得，综上，可得．