天津市实验中学滨海学校2022-2023学年高三上学期期中质量调查数学试题

2022-2023学年天津实验中学滨海学校高三（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是实数，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，，，，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”则该人第一天走的路程为(    )

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

9. 已知函数，则下列结论中错误的是(    )

A. 的最小正周期为
B. 是图象的一个对称中心
C. 是图象的一个对称轴
D. 将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象

10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，对任意的，，总有成立，则实数的取值范围是．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知是的共轭复数，且满足其中是虚数单位，则的模为______，虚部为______．
14. 将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值为______ ．
15. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则______．
16. 已知数列的前项和为，若，，则的最大值为______．
17. 若，，，则的最小值为______．
18. 如图，在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为          ．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
    Ⅰ求角；
    Ⅱ若，，求．
20. 本小题分
    已知是等比数列，且，．
    求数列的通项公式；
    设，求数列的前项和．
21. 本小题分
    已知等比数列的前项和为，且，
    求数列的通项公式；
    若，求数列及数列的前项和．
    设，求的前项和．
22. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
    Ⅱ求函数的单调区间；
    Ⅲ已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：全集，集合
，又
．
故选：．
先由补集的定义求出，再由并集的定义得答案．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，且，
，
，
故选：．
利用向量垂直的坐标运算求解即可．
本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得，反之不成立，
故““是““的充分不必要条件．
故选：．
利用对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．
本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，可得或，
解得，可排除选项B；
当时，，，，可排除选项D；
由，可排除选项C．
故选：．
求得的零点，以及的符号和时，的符号，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，运用排除法是迅速解题的关键，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．
对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．

【解答】

解：，
，，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据递推关系式得到，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，，所以为增函数，
又，
所以．
故选：．
利用导数可得在上为增函数，比较，，的大小关系，利用单调性即可得结论．
本题注意考查函数值大小的比较，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设该人第天走里路，
则是公比为的等比数列，
由题意得，
解得．
故选：．
设该人第天走里路，则是公比为的等比数列，利用等比数列前项和公式求解．
本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数；
对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：当时，，故C正确；
对于：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故D正确．
故选：．
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的平移变换的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查奇函数的定义，周期函数的定义，属于基础题．
根据是上的奇函数，并且，便可得出，即的周期为，而由时，及是奇函数，即可得出，从而求得，这样便可得出．
【解答】
解：是定义在上的奇函数，且；
；
；
的周期为；
时，；
；
；
时，；
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，属于中档题．

由题意得函数在定义域上是增函数，列出不等式组，解出即可．

【解答】

解：对任意的，，总有成立，
函数在定义域上是增函数，
，解得．
故本题选C．

12.【答案】 

【解析】解：设，
作出函数和的图象如图，

则是的图象沿着上下平移得到，
由图象知要使方程恰有三个不相等的实数解，
则等价为与的图象有三个不同的交点，
则满足，
即，
即，
即实数的取值范围是，
故选：．
设，则是的图象沿着上下平移得到，作出函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
，
故，虚部为，
故，
故答案为：，．
求出，求出，从而求出的虚部和模即可．
本题考查了复数求模问题，考查转化思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，属于基础题．
条件：“函数的图象向左平移个单位后”可得，
再依据它是偶函数得，，从而求出的值．
【解答】
解：函数的图象向左平移个单位后
可得，
又它是偶函数得，
，
，
的值．
故填．  

15.【答案】 

【解析】解：由于平面向量满足，且与的夹角为，
所以，
故；
故．
故答案为：．
直接利用向量的夹角运算求出，进一步利用向量的模的平方的运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，解得．
则的最大值为．
故答案为：．
令，解得可得的最大值．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，
则，
当且仅当且时，取得最小值，
故答案为：．
先变形，再利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意应用条件的合理配凑．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．
建系，分别表示出，即可

【解答】

解：如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；
则，，，；
则，
由相似三角形易得
设，则，
因为，所以，解得．
则，
所以．
故答案为：．

19.【答案】解：Ⅰ中，，
由正弦定理得；
所以，
化简得；
又，
所以，
所以；
又，
所以；
Ⅱ中，，，
由余弦定理得，
所以；
所以，
求得；
所以，
；
所以． 

【解析】Ⅰ由正弦定理和三角恒等变换，利用特殊角的三角函数即可求出的值；
Ⅱ利用余弦定理和三角恒等变换，即可求得的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，
则，
整理，得，
解得，
，．
由，可得，
则



． 

【解析】先设等比数列的公比为，根据题干已知条件列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及分组求和法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，
可得，因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以数列的通项公式；
由等比数列的前项和公式可得，
由，可得，
所以，
所以，
所以，，
所以，
解得；
，
可得：． 

【解析】由及可得的值，由可得的值，可得数列的通项公式；
由可得，由可得，可得，由裂项相消法可得的值；
可得，可得的值．
本题主要考查等差数列、等比数列的性质及数列的求和，综合性大，难度中等．
 

22.【答案】解：Ⅰ，定义域是，
，，，
故切线方程为，即；
Ⅱ由Ⅰ，
令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减；
Ⅲ由Ⅱ得的极大值是，
即的最大值是，
，，
令，解得或，
若，，不等式恒成立，
则时，恒成立，
当即时，在上单调递增，
此时，令，得；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
此时，
令，解得，不符合题意；
当即时，在单调递减，
故，
令，解得，不符合题意
综上，实数的取值范围是． 

【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查切线方程以及转化思想，分类讨论思想，是难题．
Ⅰ求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
Ⅱ解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
Ⅲ问题转化为时，恒成立，分别求出函数的最大值和的最小值，得到关于的不等式，再求出的取值范围．