河南省信阳市潢川县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省信阳市潢川县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的腰长是（ ）
A．3cmB．6cmC．3cm或6cmD．5cm
2．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形具有稳定性
3．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
5．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（﹣2，3），下列叙述错误的是（ ）
A．点P在第二象限
B．点P关于y轴对称的点的坐标为（2，3）
C．点P到x轴的距离为2
D．点P向下平移4个单位的点的坐标为（﹣2，﹣1）
7．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
8．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DFB．∠B＝∠E
C．AB＝DED．AD的连线被MN垂直平分
9．（3分）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（ ）
A．96°B．100°C．108°D．115°
10．（3分）如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．30B．50C．60D．80
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为 度．
12．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 海里．
13．（3分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④∠ABO＝∠CBO； ⑤四边形ABCD是轴对称图形．其中所有正确结论的序号是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 ；满足条件的点C一共有 个．
三、解答题（共75分）
16．（8分）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
17．（8分）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
18．（9分）如图，在2×2的正方形格纸中，每个小方格的边长为1，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．
（1）S△ABC＝ ．
（2）请在每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（两个能重复）
19．（9分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠O（如图1），求作：一个角，使它等于∠O．
作法：如图2：
①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连接AC，BC．
所以∠C即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝ ， ，
∴△OAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C＝∠O．
20．（10分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向A点运动，点N从A点出发以1cm/s的速度向点C运动，设M，N分别从B，A同时出发，运动时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM，AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，点C在第一象限．已知点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点P在线段OB上，且OP＝OA．
（1）点C的坐标为 （用含m，n的式子表示）
（2）求证：CP⊥AP．
23．（11分）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的腰长是（ ）
A．3cmB．6cmC．3cm或6cmD．5cm
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质，以及三角形三边关系确定出第三边的长即可．
解：分两种情况考虑：
若3cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为3cm，3cm，6cm，3+3＝6，不符合题意，舍去；
若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，3cm，符合题意，
则它的腰长是6cm．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
2．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形具有稳定性
【分析】根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．
解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
3．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
5．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（﹣2，3），下列叙述错误的是（ ）
A．点P在第二象限
B．点P关于y轴对称的点的坐标为（2，3）
C．点P到x轴的距离为2
D．点P向下平移4个单位的点的坐标为（﹣2，﹣1）
【分析】A，根据四个象限点的坐标性质（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣），（+，﹣）即可判断；
B、根据关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标相反，关于y轴对称点的横坐标相反，纵坐标相等即可判断；
C、根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值即可判断；
D、根据在平面直角坐标系中，点上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减即可解答．
解：A．因为点P（﹣2，3），﹣2＜0，3＞0，所以点P在第二象限，叙述正确，不符合题意；
B．点P关于y轴对称的点的坐标为（2，3），叙述正确，不符合题意；
C．点P到x轴的距离为3，叙述不正确，符合题意；
D．点P向下平移4个单位，纵坐标变为：3﹣4＝﹣1，故坐标变为（﹣2，﹣1），叙述正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各象限内点的坐标性质、关于对称轴对称的点的坐标关系、点平移后坐标的变化规律等知识点．
7．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
8．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DFB．∠B＝∠E
C．AB＝DED．AD的连线被MN垂直平分
【分析】根据轴对称图形的性质一一判断即可、
解：∵△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，
∴∠B＝∠E，AB＝DE，AD的连线被MN垂直平分，
∴B、C、D正确，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（ ）
A．96°B．100°C．108°D．115°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的内角和定理得到∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和三角形的内角和定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．（3分）如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．30B．50C．60D．80
【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．
解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，
∴∠BAG＝∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，
∵梯形DEFH的面积＝（EF+DH）•FH＝80，
S△AEF＝S△ABG＝AF•AE＝9，
S△BCG＝S△CDH＝CH•DH＝6，
∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为 75 度．
【分析】根据三角形外角的性质即可求得∠α的大小．
解：∠α＝30°+45°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟记三角形外角的性质是解题的关键．
12．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 7 海里．
【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案是：7．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
13．（3分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为 3：2 ．
【分析】本题需先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
又∵AB：AC＝3：2，
则△ABD与△ACD的面积之比为 3：2．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．
14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④∠ABO＝∠CBO； ⑤四边形ABCD是轴对称图形．其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．
解：∵△ABO≌△ADO，
∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB＝∠COD＝90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确；
∴BC＝DC，故②正确．
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴四边形ABCD是轴对称图形，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 （0，2）（答案不唯一） ；满足条件的点C一共有 5 个．
【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，即可得出答案．
解：如图：
∵点A（2，2），B（0，4），
∴一个满足条件的点C的坐标（0，2）（答案不唯一），
如图，
若点A为两腰的交点，此时满足条件的点C有1个C1，与原点O重合，
若点B为两腰的交点，此时满足条件的点C有2个，分别为C2、C3；
若AB为底边，此时满足条件的点C有2个，分别为C、C4；
综上，满足此条件的点C共有5个，
故答案为：（0，2）（答案不唯一），5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形性质，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于坐标轴上，二是注意不能漏解，应分AB为底边和腰两种情况分别解答，难度适中．
三、解答题（共75分）
16．（8分）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是 2 ．
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
解：（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD的长为偶数，
∴CD的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝70°．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．
17．（8分）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
18．（9分）如图，在2×2的正方形格纸中，每个小方格的边长为1，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．
（1）S△ABC＝ ．
（2）请在每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（两个能重复）
【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据轴对称图形的概念作图即可．
解：（1）S△ABC＝×1×1＝，
故答案为：．
（2）如图所示，△BDE和△AMN即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，掌握轴对称图形的概念、轴对称变换的定义与性质是解题的关键．
19．（9分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠O（如图1），求作：一个角，使它等于∠O．
作法：如图2：
①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连接AC，BC．
所以∠C即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝ BC ， AB＝AB ，
∴△OAB≌△CAB （ SSS ）（填推理依据）．
∴∠C＝∠O．
【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
解：（1）如图2，即为补全的图形；
（2）证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝BC，AB＝AB，
∴△OAB≌△CAB （SSS）．
∴∠C＝∠O．
故答案为：BC，AB＝AB，边边边．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
20．（10分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．
解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向A点运动，点N从A点出发以1cm/s的速度向点C运动，设M，N分别从B，A同时出发，运动时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM，AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？
【分析】（1）根据已知信息以及三角形内角和定理可以解得∠CBA＝30°，从而根据直角三角形中30°角的性质得到AC的长；利用已知点M、N的运动情况即可直接写出AN、AM的长；
（2）利用△AMN是以MN为底的等腰三角形得到：AM＝AN，建立方程即可解答；
（3）若MN∥BC，结合平行线的性质可得∠AMN＝∠B＝30°，∠MNA＝∠C＝90°，从而得到AN＝AM，至此可得答案．
解：∵∠CAB＝60°，∠BCA＝90°，
∴∠CBA＝30°，
∴AC＝×AB＝5cm．
（1）由题可知：AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AM＝AN，即t＝10﹣2×t，
∴t＝，
故当t＝时，AMN是以MN为底的等腰三角形；
（3）设t1时MN∥BC，
∵BC∥MN，
∴∠MNA＝∠C＝90°，∠AMN＝∠B＝30°，
∴AN＝AM，即（10﹣2t）＝t，
∴t＝，
故当t＝时MN∥BC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，点C在第一象限．已知点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点P在线段OB上，且OP＝OA．
（1）点C的坐标为 （n，m+n） （用含m，n的式子表示）
（2）求证：CP⊥AP．
【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，由“AAS”可证△CDB≌△BOA，可得BO＝CD＝n，AO＝BD＝m，即可求解；
（2）由线段的和差关系可得DP＝n＝DC，可得∠DPC＝45°，可得结论．
解：（1）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠DBC＝90°，且∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠DCB＝∠ABO，且AB＝BC，∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴△CDB≌△BOA（AAS）
∴BO＝CD＝n，AO＝BD＝m，
∴OD＝m+n，
∴点C（n，m+n），
故答案为：（n，m+n）；
（2）∵OP＝OA＝m，OD＝m+n，
∴DP＝n＝DC，∠OPA＝45°，
∴∠DPC＝45°，
∴∠APC＝90°，
∴AP⊥PC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△CDB≌△BOA是本题的关键．
23．（11分）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．