江苏省十三市各地区2022学年七年级上学期数学期末真题压轴精选——解答题50道（原卷+解析）

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江苏地区2022学年七年级上学期数学期末真题压轴精选
【解答题50道】
一、解答题
1．（2022·江苏南通期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分∠MOB．

(1)如图（1），若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图（1）中，若∠AOM=，直接写出∠CON的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
【答案】(1)∠CON=15°；
(2)∠CON=a；理由见解析
(3)∠AOM=144°．

【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，①根据角平分线的定义得到∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，于是得到结论；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°；
（2）解：∠CON=a；理由如下：
由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=a；
（3）解：设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，
①∠CON=a；，
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，
∴∠CON=∠AOM；即∠CON=a；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，
∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，
∵∠AOC=3∠BON，
∴90°+α=3（α-90°），
解得α=144°，
∴∠AOM=144°．
【点睛】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用．
2．（2022·江苏无锡期末）如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC＝60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．

(1)若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为____；
(2)若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转5°，设旋转时间为t秒，0＜t＜180，当∠AOC＝∠BOC时，求t的值．
【答案】(1)1：2或5：4
(2)t的值为45或50或110

【分析】（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转，②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转，根据射线OA与OB旋转的角度即可得到结论；
（2）分四种情况讨论：①当0＜t≤即0＜t≤48时，②当48＜t≤60时，③当60＜t≤即60＜t≤72时，④当72＜t＜180时，根据∠AOC＝∠BOC即可得到结论．
（1）
解：设旋转时间为x秒，①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时，
由题意得： ，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2；
②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，
由题意得：，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为5：4；
综上，射线OA与OB旋转的速度之比为1：2或5：4，
故答案为：1：2或5：4；
（2）
解：①当0＜t≤即0＜t≤48时，
由题意得：60﹣t＝240﹣5t，
解得：t＝45；
②当48＜t≤60时，
由题意得：5t﹣240＝60﹣t，
解得：t＝50；
③当60＜t≤即60＜t≤72时，
由题意得：t﹣60＝5t﹣240，
解得：t＝45（不合题意，舍去）；
④当72＜t＜180时，
由题意得：t﹣60＝240﹣（5t﹣360），
解得：t＝110；
综上，t的值为45或50或110．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到相等关系列出方程，是解题的关键．
3．（2022·江苏无锡期末）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市
乙超市
消费金额（元）
优惠活动
消费金额（元）
优惠活动
0～100（包含100）
无优惠
0～200（包含200）
无优惠
100～350（包含350）
一律享受九折优惠
大于200
超过200元的部分享受八折优惠
大于350
一律享受八折优惠

(1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
(2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？
(3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？
【答案】(1)在甲超市更划算；
(2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
(3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元；

【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可；
（2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可；
（3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可；
（1）
解：甲超市购物所付的费用为：（元），
乙超市购物所付的费用为：（元），
∵，
∴在甲超市更划算；
（2）
解：甲超市购买的商品原价：（元），
设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得：
，解得：，
∵280＞265，
∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
（3）
解：∵，
∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元，
∵，，
∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元，
设第二次购买商品的原价为m元，
①当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元；
②当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元；
综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论．
4．（2022·江苏·东台市期末）学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查可供租用的车辆有两种：第一种可乘8人，第二种可乘4人．若只租用第一种车若干辆则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满．
（1）参加本次社会调查的学生共多少名？
（2）已知：第一种车租金为300元/天，第二种车租金为200元/天．要使每个同学都有座位，并且租车费最少，应该怎样租车？
【答案】（1）28名；（2）租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，其费用为1100元．
【分析】（1）要注意关键语“只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满”，根据两种坐法的不同来列出方程求解；
（2）要考虑到不同的租车方案，然后逐个比较，找出最佳方案．
【详解】解：（1）设参加本次社会调查的同学共x人，则根据题意得，
4（ +3）=x，
解之得：x=28
答：参加本次社会调查的学生共28人．
（2）其租车方案为
①第一种车4辆，第二种车0辆，租车费用为：300×4=1200（元）；
②第一种车3辆，第二种车1辆，租车费用为：300×3+200=1100（元）；
③第一种车2辆，第二种车3辆，租车费用为：300×2+200×3=1200（元）；
④第一种车1辆，第二种车5辆，租车费用为：300+200×5=1300（元）；
⑤第一张车0辆，第二种车7辆，租车费用为：200×7=1400（元）．
比较后知：租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，其费用为1100元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．学生人数是定量，此题以学生人数为等量关系．
5．（2022·江苏·徐州期末）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点，但点D______【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2．数______所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过______秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）不是，是；（2）0或-8；（3）5或7.5或10.
【分析】（1）根据定义发现：好点表示的数到【A，B】中，前面的点A是到后面的数B的距离的2倍，从而得出结论；
（2）点M到点N的距离为6，分三等分为份为2，根据定义得：好点所表示的数为0或-8；
（3）根据题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，由好点的定义可知：分两种情况列式：①PB=2PA；②PA=2PB；可以得出结论．
【详解】（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：DB=2DA，
那么点D不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点；
（2）如图2，4-（-2）=6，6÷3×2=4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4-（-8）=12，-2-（-8）=6，
同理：数-8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或-8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，
点P走完所用的时间为：60÷4=15（秒），
分四种情况：
①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB=2PA时，即4t=2（60-4t），t=10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB=2AP时，即60=2（60-4t），t=7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义：好点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．
6．（2022·江苏扬州期末）如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝ ，MN ＝ ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）

【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知识迁移]或
【分析】（1）根据运动速度分别表示出点P和点Q在数轴上所对应的数，然后根据相遇时刻列方程求解，结合线段中点的定义求MN的长度；
（2）根据数轴上两点间距离列方程求解，然后分别确定点P和点Q在数轴上所对应的数，结合中点和两点间的距离公式求线段MN的长度；
[知识迁移]分OP与OQ相遇前及相遇后两种情况，结合角平分线的定义和角的数量关系分析求解
【详解】解：（1）由题意可得点P：－2＋t，点Q：6－3t，
当P与Q相遇时，－2＋t=6－3t，解得：t=2
此时P点表示0，Q点表示0
∵M、N分别为PA、QB的中点
∴MP=，NP=
∴MN＝MP+NP=4
故答案为：2；4

（2）点P：－2＋t，点Q：6－3t，
则PQ＝，即，解得t＝1或3
①当 t＝1时，点P：－1，点Q：3，则点M：，点N：，
∴MN＝=6
②当 t＝3时，点P：1，点Q：－3，则点M：，点N：，
∴MN＝2
∴线段MN的长为6或2
[知识迁移]①如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
②如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
综上，或
【点睛】本题考查一元一次方程的应用及线段中点、角平分线的定义、角的数量关系，，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．
7．（2022·江苏扬州期末）有以下运算程序，如图所示：

比如，输入数对（2，1），输出W＝2．
(1)若输入数对（1，﹣2），则输出W＝ ；
(2)分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由；
(3)设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值．
【答案】(1)1
(2)，理由见解析
(3)68或73

【分析】（1）根据程序框图，代入求值，即可求解；
（2）根据程序框图，先求出，再比较大小，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当x≥3时；当x≤-2时；当-2＜x＜3时，即可求解．
（1）
解：根据题意得：

；
故答案为：1
（2）
解：，理由如下：
当a=m，b=-n时，

，
当a=-n，b= m时，



∴；
（3）
解：当x≥3时，a=x+2，b＝x﹣3，
∵W＝26，
∴，
解得：x=24，
∴a=26，b=21，
∴a+2b=68；
当x≤-2时，a=-x-2，b＝-x+3，
∵W＝26，
∴，
解得：x=-23，
∴a=21，b=26，
∴a+2b=73；
当-2＜x＜3时，a=x+2，b＝-x+3，
∴，
即，
解得：x=25或-22，不符合题意，舍去；
综上所述，a+2b的值为68或73．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值及含绝对值的一元一次方程，正确表示W是求解本题的关键．
8．（2022·江苏南京期末）如图1，线段．

(图1)
(1)点沿线段自点向点以厘米/秒运动，同时点沿线段自点向点以厘米/秒运动，几秒钟后、两点相遇？
(2)如图2，，，现点绕着点以的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿直线自点向点运动，假若点、两点也能相遇，求点运动的速度．

(图2)
【答案】(1)4s
(2)或

【分析】（1）根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；
（2）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
（1）
解：设经过后，点、相遇．
依题意，有，解得，
答：经过后，点、相遇；
（2）
解：点，只能在直线AB上相遇，
则点旋转到直线上的时间为，或．
设点的速度为，则有，解得；
或，解得
答：点的速度为或．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是熟练掌握速度、路程、时间的关系．
9．（2022·江苏扬州期末）如图1，已知线段AE＝48Cm，点B、C、D在线段AD上，且AB：BC：CD：DE＝1：2：1：2．

(1)BC＝　cm，CD＝　　cm；
(2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D﹣E向点E运动；同时动点N从点E出发，以1cm/s的速度沿E﹣D﹣C﹣B﹣A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A，运动停止；设运动的时间为t．
①求t为何值，线段MN的长为12cm；
②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD（点A、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①t＝12s或20s或36s；②存在，t＝8s或24s

【分析】（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过或线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在BC上，N在AD上），此时CM=AN即可列出方程求得，当M点返回时，点M在AD上，点N在BC上，此时AM=CN，列出方程求得，
（1）
BC＝48×＝16，CD＝48×＝8，
故答案是：16，8；
（2）
①当M、N第一次相遇时，t＝＝16s，当M到达E点时，t＝s，
如图1，

当0＜t＜16时，
2t+12+t＝48，
∴t＝12，
如图2，

当12＜t＜24时，
2t﹣12+t＝48，
∴t＝20，
如图3，

当24＜t＜48时，
t＝2t﹣48+12，
∴t＝36，
综上所述：t＝12s或20s或36s；
②如图4，

当0＜t＜16时，
由AN＝CM得，
24﹣2t＝t，
∴t＝8，
如图5，

当24≤t＜32时，
2t﹣48＝t﹣24，
∴t＝24，
综上所述：t＝8s或24s．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
10．（2022·江苏扬州期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．

(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）
证明：OC平分∠BOD



射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）
射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，








（3）
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，

射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，




【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
11．（2022·江苏淮安期末）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．

(1)如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数是 ；
②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A．
(2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值．
(3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P，
①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值；
②若旋转时间x5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【详解】（1）①∵OA=1，OB=5，
1