高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法精品教学设计

《4.4* 数学归纳法》教学设计

一、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

   ①了解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的基本步骤；

②能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。

（2）过程与方法目标：

借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下条件过程的类比和迁移，从特殊到一般，抽象出证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

  借助具体实例，加强数学归纳法的提炼过程和认知过程，激发学生的学习热情，

深挖其育人价值，培养学生敢于猜想，善于思考，严谨求实的科学精神，培养学生发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

二、【教学重难点】

教学重点：了解数学归纳法的基本思想和原理，掌握数学归纳法的基本步骤，能应用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题；

教学难点：数学归纳法的原理。

三、【教学过程】

（一）引入生活实例，启发学生思维

（情境一）某人看到树上有几只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”你认为这样的说法可靠吗？为什么？

答：不可靠，以偏概全。事实上，这是不完全归纳的体现，体现着数学中的归纳思想。

数学中，我们把通过验证一系列特殊情况得出一般性结论的方法称为归纳法。那么归纳法可以分为“不完全归纳法”和“完全归纳法”。“不完全归纳法”是只考察部分对象，只验证一部分个体成立，就得到一般性结论的方法，这样的结论不一定可靠。

例如，我们在推导等差数列通项公式时，采用这样的方法：

由此，我们猜想。这就是不完全归纳法。那么这样的猜想真的正确吗？结论还有待证明。

而“完全归纳法”考察全体对象，是对每一个个体进行逐一验证后得到一个一般性结论，这样的结论一定可靠。

（情境二）在数列中，已知,,经计算发现，由此我们猜想对于任意一个正整数n,.

问题：如何验证这个猜想呢？

我们发现，每一次验证，都对这个猜想的正确性增添了一分把握，但是我们不能这样无限的验证下去，这是不现实的。那么我们就想找到一种方法，能够通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。

【设计意图：】以上两个情境都是在合情推理的基础上提出猜想，但它们的正确性还有待证明。让学生意识到需要建立一种无穷递推机制，将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎，实现从有限到无限的飞跃，即呈现数学归纳法产生的必要性。

（二）立足生活情境，激发学生兴趣

（情境三）那么你能相信仅凭一指之力就能推倒一座摩天大厦吗?

【实例】播放多米诺骨牌的游戏视频

（三）创新问题情境，擦亮思维火花

【探究】看完这段精彩的视频，请同学们思考，多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？（10 S）

通过观看视频我们发现当骨牌间距合适时，只要推倒第一块骨牌，那么后面的骨牌就随着前面骨牌倒下而倒下。

【结论】由此我们可以得出：多米诺骨牌全部倒下的条件是：

①第一块骨牌必须倒下；

②并且任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

那么这两个条件的作用是什么呢？我们来做一组实验。

（实验一：）首先，实验一同时满足（1）（2）两个条件。在该实验中骨牌间距合适。用手推倒第一块骨牌，可以发现随后第二块骨牌、第三块骨牌、、、全部骨牌依次倒下，试验成功；

问题1：缺少条件①可不可以？我们来做第二组实验。

（实验二：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌、、、自然也没有倒下，游戏失败；

小结：第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提。

问题2：缺少条件②可不可以？我们来做第三组实验。

（实验三：）在该实验中，我们让骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够大，其他骨牌间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。

（四）合作探究，点燃思维的火花

思考1：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述？

事实上，条件（2）给出的是一种递推关系：前一块骨牌倒下就会带动后一块骨牌也倒下。也就是

第k块骨牌倒下⇒ 第k+1块骨牌倒下

    在条件（2）的作用下，只要是第一块骨牌倒下，无论是有多少块骨牌，即使是有无限块，最终有也一定全部倒下。

【设计意图】挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系，呈现数学归纳法产生的合理性。

思考2:你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？

回顾探究中猜想数列的通项公式是的过程:

显然，虽然可以这样一直验证下去，但由于正整数个数的无限性，我们没有办法把所有的正整数全都拿出来一一验证。

类比我们在多米诺骨牌中得到的递推关系：第k块骨牌倒下⇒ 第k+1块骨牌倒下，我们能不能也给数列一个类似的递推关系呢？

如果

观察这个递推公式，只要保证了，那么，也就是第k项后面所有的项都为1.

问题：那么是否只要有了这个递推关系，就能保证对所有的正整数n,？

答：不是，还需要保证.

教师：非常好。是我们进行归纳的基础和前提。

所以，我们在证明数列的每一项都是1的过程中只需要保证两个条件：

（1）

（2）

观察上面两个步骤，我们通过有限步的递推关系取代之前无限步的验证过程，真正地实现了从有限到无限的飞跃。

【设计意图】通过思考，将多米诺骨牌游戏的两个步骤类比，迁移到证明猜想“数列的通项公式是”，实现现实情境向数学知识的自然迁移，使数学归纳法的原理生成水到渠成。

思考3: 归纳多米诺骨牌全部倒下和证明数列过程的共性，你能得到推理的一般结构吗？

(1)①骨牌原理：第一块骨牌必须要倒下   

②当时，成立

③类比抽象：证明当n=1时，猜想正确。

(2)①证明“如果前一块骨牌倒下，那么后一块也跟着倒下”

②证明如果第k项等于1，那么第k+1项也等于1.

③类比抽象：证明“如果n=k时猜想正确，那么n=k+1时，猜想也正确”。

(3)根据①②，所有的骨牌都能倒下。

根据①②，

根据①②，猜想对于一切正整数n都成立。

【设计意图】通过以上类比，迁移的过程，让学生真正理解“自动递推，无穷验证”的实质，从而实现从有限到无限的转化，为抽象、概括出归纳法的原理奠定坚实的基础。

下面我们将对情景二给出严格的证明。

猜想：①

（1）当时，，猜想成立。

（2）假设当时，①式成立，即

那么根据递推公式，有

即当时，①式也成立。

由(1)(2)可知，①式对任何都成立。

【设计意图】承上启下，一方面证明了探究中的猜想，获得了证明数学命题的方法，另一方面，也通过类比、迁移、从特殊到一般的抽象过程，推广为数学归纳法的原理和步骤，使学生对数学归纳法形成更直观的认识。

【小结】由此，我们发现了一个证明与正整数n有关的命题方法，它可按如下两个步骤进行：

1）证明当n取第一个值时命题成立。

2）假设当时命题成立，那么当n=k+1时命题也成立。根据（1）和（2），可知命题对都成立。我们称这样的证明方法为数学归纳法。

（五）师生合作，形成概念

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：

（1）证明当n取第一个值时命题成立。

（2）以n=k时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”。

根据（1）和（2），可知命题对从开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。

思考4: 数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？

（1）类比“骨牌原理”，第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提，因此，第一步为命题成立提供了基础，它是后面递推的出发点，我们将这一步称之为“归纳奠基”。

（2）同样地，在“骨牌原理”中，要保证只要第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌一定也倒下，再加上k的任意性，才能保证骨牌一直倒下去的传递性。所以，第二步就是在确认一种递推关系，从第一个正整数开始以后，一个接着一个地传递下去，从而完成证明。因此，第二步是在保证命题成立的递推性，我们将这一步称之为“归纳递推”。

总之，“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤之间相互依存，彼此关联，它们是一个有机的整体，缺一不可。

（六）学以致用，实际演练

【例】用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①

对任何都成立。

问：数列有什么特点？

答：是等差数列。

问：等差数列具有什么特征？

答：

分析：回顾我们探求等差数列通项公式的过程（课本14页），我们是在合情推理的基础上，利用不完全归纳法推测出，这样得到的结论不一定可靠。现在我们尝试着用数学归纳法给出严格的证明。

问：第一步要做什么？

答：证明“当n=1时命题成立。”

问：证明“当n=1时命题成立”到底是要证什么成立？

答：证明等式成立。

师：（1）当n=1时，左边=，右边，①式成立。

问：第二步要做什么？

生：假设当时命题成立，那么当n=k+1时命题也成立。

问：在这里条件是什么，要证明什么？

生：条件是等差数列当n=k时，①式成立。要证明当时，①式也成立。

师：(2)假设当时，①式成立，即

由，有

，

于是

即当n=k+1时，①式也成立。

由(1)(2)可知，①式对任何都成立。

【设计意图】呼应了课前引入中的问题，也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和规范表述。

【练习1】

试判断与的大小。

解：当n=1时，

当n=2时，

当n=3时，

    当n=4时，

归纳上述结果，猜想：

①

证明：（1）当n=2时，猜想成立.

(2)假设当时，猜想成立，即

那么

即当n=k+1时，猜想也成立。

由(1)(2)可知，猜想对任何都成立。

注：由此可以说明，数学归纳法一定会有一个起始值，以这个起始值为首项递推出以后的每一项都成立。值得注意的是，这个起始值不一定是1，类似于这道例题的起始值是2。

【设计意图】这是一道探究题，

【小结】下面我们来构建用数学归纳法证明命题的结构框图。

【设计意图】构建数学归纳法的结构框图。借助结构框图使学生加深对数学归纳法的理解，结合框图，逐层剖析，让学生明白第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，深化对使用数学归纳法的操作程序的认识，从而突出重点，攻克难点。

【练习2】用数学归纳法证明：

＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)①

证明：

(1) 当时，左边=，右边=，①式成立。

(2)假设当时，猜想成立，即

,

那么

，

即当n=k+1时，猜想也成立。

由(1)(2)可知，①式对任何都成立。

（六）总结反思，纳入体系

(1) 数学知识：数学归纳法——将无限递推转化为有限步验证，实现由量变到质变的飞跃；

(2) 数学方法：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想、类比思想。

（七）作业布置，课后探究

数学归纳法在科学领域是一项重大的突破，但是应用在生活中也会出现一些比较荒谬的结论。我们举个例子，目前备受年轻人关注的脱发问题。

情境：一个女孩拥有浓密的秀发。

（1）当拔掉第一根长发时，女孩不秃，即当n=1时命题成立。

（2）假设当n=k时命题成立，即当拔掉第k根头发时女孩不秃，那么再拔掉一根也一定不秃，即当n=k+1时命题也成立。

由（1）（2）可知，当拔掉任意n根头发，这个女孩都不会变成秃发。

问题：你认为上面的说法对吗？你能给出一个更合理的解释吗？

这就是著名的“秃子悖论”，由古希腊数学家欧布利德提出：他说一粒谷子不能构成谷堆，再往里加一粒也不能构成谷堆，所以谷堆是不存在的。同样的道理，秃子也是不存在的。

显然，这样的说法很荒谬。针对这个问题，美国数学家扎德提出一个新的概念——模糊数学。什么是模糊数学呢？事实上，我们现在学习的都是精确数学，以集合中的元素为例，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，这是确定的。而模糊数学中提出了隶属度的概念：隶属度范围从0~1，而秃头是一个迷糊的概念，所以人在脱发的过程中，秃头的隶属度就从0跑到了1，也就是我们哲学中讲的量变引发质变的过程。