初中数学人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质学案

13.1.2.1  线段的垂直平分线的性质导学案

【学习目标】

1．探究线段垂直平分线的性质及线段垂直平分线的判定；

2．会作线段垂直平分线；

3．培养探索、参与讨论的能力和解决实际问题的能力．

【学习重难点】

重点：线段垂直平分线的性质及判定；会作线段垂直平分线．

难点：作线段垂直平分线．

【学习过程】

一、新知探究

探究点一

1．问题：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？写在下面，由此你可以得到什么猜想？

由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：

结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______________________．

2．你能利用已经学过的知识来证明这个结论吗？

如图，已知直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l上．

求证：PA=PB

探究点二

线段垂直平分线性质的逆定理

反过来：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上吗?

已知：如图，PA=PB．求证：点P在AB的垂直平分线上

二、典例剖析

例1．△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，∠A=50°．

①若AD=12.5cm，求BD的长；

②若△DBC的周长为35cm，求BC的长；

③若BC=13cm，求△DBC的周长．

例2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

已知直线AB和AB外一点C（如下图）

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：

1．任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；

2．以点_______为圆心，_______为半径，作弧，交AB 于点______和_________；

3．分别以点_____和点______为圆心，大于_____DE的长为半径画弧，两弧相交于点F；

4．作直线CF．

直线CF就是所求做的垂线．(请把以上过程及作图补充完整)

三、随堂检测

1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　 　)

A．AB＝AD             B．AC平分∠BCD

C．AB＝BD             D．△BEC≌△DEC

2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为(　 　)

A．13          B．15          C．17              D．19

3．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线，其中蕴含的道理是__________________．

4．如图，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N ， P1P2＝5 cm，则△PMN的周长是(　 　)

A．3 cm           B．4 cm          C．5 cm           D．6 cm

5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D点，交AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝_________cm．

6．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D．

(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；

(2)若BC＝4，求△BCD的周长．

7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm．

(1)求BC的长；

(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．

课堂小结

1．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

2．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：

我的收获

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案

一、新知探究

探究点一

1．相等

2．∵PC=PC，∠PCA=∠PCB=90°，AC=CB

∴⊿ACP≌⊿BCP

∴PA=PB

探究点二

证明：过点P作PC⊥AB于C，

∵PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

二、典例剖析

例1．解：①∵DE垂直平分AB，∴ BD=AD=12.5 (cm)

②∵DE垂直平分AB，∴BD=AD．

又∵△DBC的周长为35cm，∴AC+BC=35（cm）

又∵AC=20 cm，∴BC=35-AC=35-20=15（cm）

③若BC=13cm，BC+BD+DC=AD+DC+BC=AC+BC=20+13=23（cm）

∴△DBC的周长为23cm

例2．  2、C   CK   D   E  

3、D   E  

三、随堂检测

1．C

2．B

3．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

4．C

5．16

6．解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

∴DA=DB，

∵△BCD的周长为8，

即BC+CD+DB=8，

∴BC+CD+DA=BC+CA=8，

∵AC=5，

∴BC=3；

（2）∵DE是AB的垂直平分线，

∴BD=AD

∴BD+DC=AC=5

∴BD+DC+BC=5+4=9

即△BCD的周长＝9

7．解：（1）∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD=BD，AE=CE，

∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，

∴BC=6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA=OC=OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，

∴OC+OB=16-6=10，

∴OC=5，

∴OA=OC=OB=5．