人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教学设计

5.1.2  导数的概念及其几何意义

一、内容与内容解析

1.内容：导数的概念及其几何意义.

2.内容解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.

导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.

3.教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.

二、目标与目标解析

1.目标：（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.

（2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.

（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.

2.目标解析：（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.

（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.

（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.

三、教学问题诊断解析

1.问题诊断  如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.

如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.

导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.

2.教学难点  从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.

四、教学支持条件分析

本节课通过PPT演示的方式为学生导入情境.在课堂教学中，教师为学生精心设计了导学案，提升学生的学习效率，直观呈现出本节课的重点和知识的形成过程. 教师应用几何画板动态演示“逼近”与“放大”，巧妙突破难点.教师使用“希沃授课助手”同屏软件，实时地展示学生的探究过程和结果，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，加深对新知的理解与应用.

    课堂中，学生每人手持手机或ipad，用几何画板软件探究导数的几何意义，激发求知欲和学习兴趣的同时，大大提高了探究效率，增强动手实践能力，积累数学活动经验，直观感受知识的形成过程.

五、教学过程设计

本节课设计了四个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务.

    1.温故知新，建构导数概念

    教师引言（1）：上节课我们学习了章引言，并探究了两个变化率问题.这节课让我们继续探究导数的概念及其几何意义.

    【师生活动】教师板书，如下：

    教师引言（2）：让我们首先重温上节课的两个问题.问题1——高台跳水问题，涉及物理学中的平均速度和瞬时速度，问题2——抛物线的切线问题，涉及到几何学中的割线斜率和切线斜率.上节课，老师布置了课前作业，请同学们以学习小组为单位，每个小组写出一个与“变化率”有关的实例，写出具体问题与解答过程.请三个小组的同学进行分享.

    【师生活动】教师用PPT展示情境.

【设计意图】让学生搜集“变化率”实例，写出完整的解答过程，能够较好地反馈学生对上一单元分讲中平均变化率和瞬时变化率的掌握与理解.学生课前搜集，教师提前筛选，提高课堂效率的同时，使得实例涉及不同领域，对数学共性的说明更具说服力，为引出导数概念做好充分铺垫.

    探究1：虽然上面的实例涉及不同领域，但从数学的角度思考上述实例，在“过程与方法”、“结果的形式”上有哪些共性？

    【师生活动】教师要着重引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果的形式”进行归纳小结.学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听学生交流.教师请小组代表分享交流，其他组进行补充.教师用PPT展示“数学共性”。

【设计意图】培养学生的观察、概括能力.让学生体会微积分的重要思想——用运动变化的观点研究问题.体会极限思想.感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法.关注结果形式的一致性——都是一个确定的数值.引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.

    问题（1）：如果研究更一般的问题，对于函数在处的瞬时变化率如何表示？

    【师生活动】教师提问，学生回答. 教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程和研究方法. 教师板书，如下：

    【设计意图】让学生深刻体会概念的建构过程.

    教师引言（3）：其实函数在处的瞬时变化率就称为函数在处的导数，这就是导数的概念.

    【师生活动】教师板书，如下：

 问题（2）：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在时的瞬时速度？如何用导数表示抛物线在点处的切线的斜率？它们的意义是什么？

    【师生活动】教师要注意引导学生用导数的表达形式来表示和.用导数的本质——瞬时变化率解释两个情境的意义.教师用PPT展示问题与答案.学生独立思考、回答问题.

【设计意图】理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率.

  问题（4）：同样，抛物线在点P(1,1)处的切斜斜率是谁的导数？它的意义是什么？

    【设计意图】让学生理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率.

    2. 学以致用，解决典型问题

    教师引言（4）：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题.

    例1. 设，求.

    问题（3）：请问表示什么？

    追问：如何用导数的定义求？

    【师生活动】教师要引导学生关注导数的符号表达,引导学生用导数的定义解决问题，体会导数的求解步骤.教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师巡视，请学生回答，并板书，如下：

    【设计意图】让学生学以致用，加深对导数概念的理解，明确求导数的步骤.教师板书，示范解题格式，展示数学的严谨.

    教师引言（5）：让我们再来解决一道实际问题.

    例2. 将原油精炼为汽油.柴油.塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第h时，原油的温度（单位：）为.计算第2h、第3.5h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

    问题（4）：原油温度在第2h、第3.5h和第6h时的瞬时变化率，从数学角度，求的是什么？

    【师生活动】教师要引导学生体会原油温度在第2h、第3.5h和第6h时的瞬时变化率就是函数在处的导数，即：.引导学生将实际问题抽象成数学问题，用导数的定义解决问题，注意结果的形式是一个确定的数值. 引导学生将导数值放回情境，就表示原油温度的瞬时变化率，深刻体会导数的本质. 教师提问，学生先独立思考，然后作答在学案上，组内互评，教师巡视，将学生答案同屏在大屏幕上分享.

    【设计意图】经历用导数的概念解决实际问题，让学生感受数学源于生活，更能用于生活.教师巡视时，要关注学生导数符号的书写，解题格式的完整，要关注学生对实际意义的表达.三个计算结果分别为正数、负数、零，让学生感受导数值的多样性，体会瞬时变化率的实际意义，为下一个单元分讲——应用导数探究函数的单调性埋下伏笔.

    问题（5）：将原油温度问题一般化，那么表示什么意义？

    【师生活动】教师引导学生说出表示原油温度在时刻的瞬时变化率.深刻体会导数的数学表达和本质. 教师提问，学生独立思考、回答问题.

    【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题.深化对导数概念的理解.理解导数的本质就是瞬时变化率.

    教师引言（6）：可见，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率.

    【师生活动】教师小结提升.

    3.自主探究，获得几何意义

    探究2：从“数” 的角度，我们已经得知导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，那么从“形” 的角度，导数具有什么几何意义呢？

    让我们再回忆情境2，抛物线在点处的切线斜率就是函数在处的导数，这就是导数的几何意义.

    请类比探究，一般曲线在处的导数的几何意义?

    请同学们应用手中的工具——ipad或手机进行小组合作探究，将探究的结果整理在学案上.

    【师生活动】上一分讲学生已经探究了“抛物线在点处的切线斜率”，结合本课时“导数的概念”，学生不难发现抛物线在点处的切线斜率就是函数在处的导数，这就是特殊函数的导数的几何意义. 本课时教师意在让学生抽象生成一般函数的导数的几何意义.教师要关注学生的动手实践过程.教师引导学生用运动变化的观点研究问题，体会割线的极限位置就是切线，体会割线斜率的极限就是切线斜率，割线斜率的极限的数学表达就是导数.感受从特殊到一般、类比的研究方法.教师提出问题，学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听小组交流，用希沃助手同屏软件将学生的探究过程同步投影在大屏幕上分享，请小组代表陈述本组的探究过程和结论.其他小组补充、互评.

    【设计意图】平日的学习中，学生已经积累了一定的几何画板的使用方法.学生应用几何画板进行探究，激发求知欲和学习兴趣的同时，大大提高了探究效率，能够直观感受“用割线逼近切线”的过程，类比生成一般函数导数的几何意义，突破难点，体验成功.体会用运动变化观点研究问题的必要性，感受从特殊到一般、从具体到抽象、类比概括在研究问题时的一般性和有效性.

    教师引言（7）：通过刚刚同学们的探究、分享，我们确实发现当点趋近于点时，割线斜率趋近于切线斜率，趋近于函数在处的导数.因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即：，这就是导数的几何意义.

    【师生活动】教师小结提升，注重小结“割线的极限位置就是切线板书”，“割线斜率极限的数学表达就是导数”.用PPT将导数的“数”与几何意义的“形”同屏播放，如下：

    教师板书，如下：

    【设计意图】让学生感受“数形结合”的思想方法，深化对导数概念的理解.

    探究3：此处的切线定义与初中学过的切线定义有什么不同？

    再回忆问题2，抛物线在点处的切线的定义是：当点趋近于点时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.

请类比探究，一般曲线在点处的切线如何定义？

    【师生活动】上一分讲学生在探究“函数在点处的切线是轴，而不是轴”时发现“圆的切线”的定义并不适用于抛物线，进而用“运动变化的观点”给出了“特殊曲线”——的切线定义.本课时意在引导学生抽象生成“一般曲线”——的切线定义. 感受一般曲线的切线定义对圆的切线同样适用. 教师引导学生用运动变化的观点研究问题，再次体会割线的极限位置就是切线，感受从特殊到一般、从具体到抽象、类比的研究方法.教师提出问题，学生独立思考、回答问题，教师板书，如下：

    【设计意图】让学生经历“提出问题——分析问题——解决问题”的探究过程，深刻感受知识的形成过程.再次感受从特殊到一般、从具体到抽象在研究问题上的一般性和有效性，体会类比的研究方法.

    教师引言（8）：下面，老师用几何画板再次为大家演示“割线逼近切线”的过程，请同学们观察在点处哪条直线最接近点附近的曲线？老师将图像放大，你能否发现点处的切线与曲线的位置关系？

    【师生活动】教师引导学生直观感受点处的切线最接近P点附近的曲线.感受当图像逐渐放大时，点处的切线越来越贴近点附近的曲线，感受“以直代曲”的极限思想.教师用几何画板演示“割线逼近切线”，并将图像不断放大（如下图），学生观察、思考、回答.教师小结提升.

    【设计意图】几何画板的动态演示，能够让学生直观感受“以直代曲”的必要，巧妙突破难点.引导学生再次感受极限思想，体会微积分的重要思想——以直代曲.

    例3. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像.

根据图像，描述运动员在，，附近的变化情况.

【师生互动】教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要描述运动员的瞬时变化率可以应用函数的导数,而导数的几何意义就是切线斜率.因此，应用“切线斜率”研究“曲线变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代曲”，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率反映.引导学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数几何意义的应用价值.教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师将学生答案同屏在大屏幕上分享，学生互评.

    【设计意图】学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题.体会导数的几何意义就是切线斜率，感受“以直代曲”重要思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿本单元、本课时教学，让学生感知数学源于生活、用于生活.既可以从“数”的角度解释瞬时变化率，也可以从“形”的角度解释瞬时变化率.深化对导数概念及其几何意义的理解.通过切线斜率的正、负、零，为下个单元分讲——用导数研究函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外.

    4.小结提升，布置分层作业

    问题（6）：请同学们从知识和方法两个方面谈谈本节课你的收获和感受吧！

    【师生活动】教师着重引导学生从“知识”和“方法”两个方面进行小结.让学生梳理本节课的知识收获：导数的概念、导数的几何意义、切线的定义.让学生感受应用的思想方法和研究方法：极限思想、以直代曲思想、数形结合思想、类比归纳方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充，教师板书，如下：

    【设计意图】培养学生归纳总结的能力.让学生回味本节课生成的知识和应用的方法,积累数学知识和活动经验.感知导数的意义，为下一分讲用导数研究函数的性质奠定基础.

六.板书设计

七.课堂教学目标检测

【师生活动】学生课后独立完成，自我检验对知识的理解与落实.教师全批全改，关注学生对知识的应用及书写是否规范.教师及时反馈学生情况、适当调整教学内容及策略.

1. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（    ）.

A. 从时间到时，物体的平均速度；   B. 在时刻时该物体的瞬时速度；  

C. 当时间为时物体的速度；             D. 从时间到时物体的平均速度

2. 已知某个车轮旋转的角度（弧度）与时间（秒）的函数关系是，则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（    ）.

   A．弧度/秒    B. 弧度/秒    C. 弧度/秒        D. 弧度/秒

3. 物体运动时位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是，此物体在某一时刻的速度为0 ，则相应的时刻为（    ）.

   A．            B.             C.              D.

4. 已知曲线上一点P，则过点P的切线的倾斜角为（    ）.

  A．30°             B. 45°             C. 135°             D. 165°

5. 已知点是抛物线上一点，且，则点的坐标为（　　）.

  A．（1，3）         B.（﹣1，3）        C.（3，1）         D.（﹣3，﹣1）

6. 已知函数的图象如图，则与的大小关系是（　　）.

  A．    B.  C.   D. 不能确定

7. 已知函数在处的导数为11，则=                    .
8. 如图函数的图象在点处的切线为：，则的值

为                    .

9. 已知，记：，，，则由导数的几何意义可得的大小关系是                    .（请用“<”连接）

10. 设，应用导数的定义求.

11. 一物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）满足关系式，求物体在时的瞬时速度.

12. 已知函数，求曲线在点处的切线斜率.

13. 已知抛物线通过点，，且在点处与直线相切，求实数a.b.c的值．

【设计意图】“课堂教学目标检测”是布置给学生课后的必做作业，意在巩固落实导数的概念及其几何意义，题目设置有梯度，检验学生对知识的理解与应用，激发学生更深入的数学思考，起到延伸课堂的作用，并为下一单元分讲做好铺垫.