2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 20　直角三角形与勾股定理(含答案)

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直角三角形与勾股定理夯实基础1.[2021·陕西]如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为              (　　) A.  B. C.  D.2.[2022·新疆]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为 (　　) A.1  B.2 C.3  D.43.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是              (    )  4.如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为              (　　) A.3 B.3 C.6  D.65.[2022·成都]如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠DEC的度数是　　　　.  7.[2021·邵阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=,过点C作CF∥AB,以AB为边作菱形ABEF,若∠F=30°,则Rt△ABC的面积为　　　　.  8.[2022·长春]如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上,OA=2,点B在第一象限.标记点B的位置后,将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置,使A1O1经过点B,再标记点B1的位置,继续平移至△A2O2B2的位置,使A2O2经过点B1,此时点B2的坐标为　　　　.  9.数学文化 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为　　　　.  10.如图,折叠矩形纸片ABCD,得折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,则AF=　　　　.  11.等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.     12.如图所示,在△ABC中,AB=AC=10,cosB=,D,E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D的右边),运动初始时D与B重合,当E与C重合时运动停止,过点E作EF∥AC交AB于F,连接DF,设BD=x,如果△BDF为直角三角形,求x的值.拓展提升13.[2022·嘉兴]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE的长为              (　　) A. B. C. D.414.[2021·无锡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为　　　　.  15.如图,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为　　　　厘米.   
答案1.D　首先利用作差法求出△ABC的面积为3.5,由勾股定理求出AC=,则BD=3.5×2÷.2.A　∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵E是AB的中点,AB=4,∴CE=BE=AB=×4=2,∴△BCE为等边三角形.∵CD⊥AB,∴DE=BD=BE=×2=1.3.D　如图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即OP是一个定值,点P就在以O为圆心,以OP长为半径的一段圆弧上,所以点P下落的路线是一段弧线.故选D.4.D　把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB为底面半圆弧长,∴CB=3,∴AC=3,∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6.5.100　6.50°　7.　8.(3,1)9.10　设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得解得由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为=10,即正方形EFGH的边长为10.10.-1　在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD==2,由折叠的性质可得,△ADF≌△EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=2-2,设AF=x,则EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(2-2)2=(4-x)2,解得x=-1,即AF=-1.11.证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠CAE.∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.(2)∵△AEC≌△CDB,∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,∵S梯形AEDB=(AE+BD)ED=(a+b)(a+b),S梯形AEDB=ab+c2+ab,∴(a+b)(a+b)=ab+c2+ab,整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.12.解:如图①,作AH⊥BC,垂足为H,那么H为BC的中点,在Rt△ABH中,AB=10,cosB=,∴BH=8,∴BC=16,由EF∥AC得,即,解得BF=(x+3).分两种情况:①如图②,当∠BDF=90°时,由cosB=,得BD=BF,∴x=(x+3),解得x=3;②如图③,当∠BFD=90°时,由cosB=,得BF=BD,∴x+x,解得x=.综上,x的值为3或.13.A　如图,分别过点G,F作AB的垂线,垂足为M,N,过点G作GP⊥FN于点P,∴四边形GMNP是矩形,∴GM=PN,GP=MN,∵∠BAC=90°,∴CA⊥AB,又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点,∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线,∴GM=AD=1,AM=AE,FN=AC=,AN=AB=,∴MN=AN-AM=AE,PN=1,∴FP=,设AE=m,∴AM=m,GP=MN=m,在Rt△AGM中,AG2=m2+12,在Rt△GPF中,GF2=m2+2,∵AG=GF,∴m2+12=m2+2,解得m=3,即AE=3,在Rt△ADE中,DE=.14.　过点D作DF∥AC交BE于F(如图①),易得△BDF∽△BAE,∴,∵AE=3EC,∴DF=2EC,∵DF∥AC,∴△COE∽△DOF,∴,∴S△AOB=S△ABC.点C显然在以AB为直径的圆弧上运动,取AB中点M,连接CM,∴当CM⊥AB时,即点C在圆弧最高处时,△ABC面积最大,此时面积为×4×2=4,∴S△ABO=×4=.15.(4+6)　如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=2厘米,∴EM=EG=(厘米).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG==3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米.∴BC=BE+EG+GC=2+2+6=4+6(厘米).