2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 27　圆的基本概念和性质(含答案)

圆的基本概念和性质 

夯实基础

1.[2022·重庆A卷]如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 (　　)

A.80°  B.100°

C.110°  D.120°

2.[2022·绍兴]如图,正方形ABCD内接于☉O,点P在上,则∠BPC的度数为 (　　)

A.30°  B.45° 

C.60°  D.90°

3.[2022·贵港]如图,点A,B,C,D均在☉O上,直径AB=4,点C是的中点,点D关于AB的对称点为E,若∠DCE=100°,则弦CE的长是              (　　)

A.2  B.2 

C.  D.1

4.[2022·吉林]如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合),连接CP.若∠B=120°,则∠APC的度数可能为              (　　)

A.30°  B.45° 

C.50°  D.65°

5.[2021·常州]如图,AB是☉O的弦,点C是优弧AB上的动点(C不与A,B重合),CH⊥AB,垂足为H,点M是BC的中点.若☉O的半径是3,则MH长的最大值是              (　　)

A.3  B.4 

C.5  D.6

6.[2022·龙东地区]如图,在☉O中,AB是直径,弦AC的长为5 cm,点D在圆上,且∠ADC=30°,则☉O的半径为　　　　cm. 

7.[2022·连云港]如图,OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=　　　　°. 

8.[2022·张家界]如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=　　　　. 

9.[2022·随州]如图,☉O是△ABC的外接圆,连接AO并延长交☉O于点D,若∠C=50°,则∠BAD的度数为　　　　. 

10.[2022·安徽]如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= 　　　　. 

11.[2022·北京]如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.

(1)求证:∠BAD=∠CAD;

(2)连接BO并延长,交AC于点F,交☉O于点G,连接GC.若☉O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.

12.[2022·安顺、贵阳]如图,在☉O中,AC为☉O的直径,AB为☉O的弦,点E是的中点,过点E作AB的垂线,交AB于点M,交☉O于点N,分别连接EB,CN.

(1)EM与BE的数量关系是　　　　; 

(2)求证:;

(3)若AM=,MB=1,求阴影部分图形的面积.

拓展提升

13.[2022·眉山]如图,在以AB为直径的☉O中,点C为圆上的一点,=3,弦CD⊥AB于点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G.若点H是AG的中点,则∠CBF的度数为              (　　)

A.18°  B.21° 

C.22.5°  D.30°

14.[2021·苏州]如图,已知∠MON=90°,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8 cm.动点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1 cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O,P,Q三点作圆,交OT于点C,连接PC,QC.设运动时间为t(s),其中0<t<8.

(1)求OP+OQ的值.

(2)是否存在实数t,使得线段OB的长度最大?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

(3)求四边形OPCQ的面积.

答案

1.B　2.B　3.A　4.D

5.A　因为∠BHC=90°,M为BC的中点,

所以MH=BC,而BC的最大值是直径的长度,所以MH的最大值等于3.

6.5

7.25　连接OC,

∵OC=OB,

∴∠OCB=∠OBC=40°,

∴∠BOC=180°-40°×2=100°,

∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°,

∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA=×(180°-∠AOC)=×(180°-130°)=25°.

8.50°　

9.40°

10.　如图,连接OA,OB,

在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=75°,

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°,

∴∠AOB=90°,

∵OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形,

∴AB=OA=.故答案为:.

11.解:(1)证明:∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,

∴=,∴∠BAD=∠CAD.

(2)在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,

∴BE==4,

∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,

∴BC=2BE=8,

∵BG是☉O的直径,

∴∠BCG=90°,

∴GC==6,

∵AD⊥BC,∠BCG=90°,∴AE∥GC,

∴△AFO∽△CFG,

∴=,即=,解得OF=.

12.解:(1)BE=EM

(2)证明:如图,连接EO.

∵AC是☉O的直径,E是的中点,

∴∠AOE=90°,

∴∠ABE=∠AOE=45°,

∵EN⊥AB,垂足为点M,

∴∠EMB=90°,

∴∠ABE=∠BEN=45°,

∴=,

∵点E是的中点,∴=,∴=,

又∵=,

∴=,∴=.

(3)连接AE,OB,ON,

∵EN⊥AB,垂足为点M,∴∠AME=∠EMB=90°,

∵BM=1,由(2)得∠ABE=∠BEN=45°,

∴EM=BM=1,

又∵BE=EM,∴BE=,

∵在Rt△AEM中,EM=1,AM=,

∴tan∠EAB==,∴∠EAB=30°,

∵∠EAB=∠EOB,∴∠EOB=60°,

又∵OE=OB,∴△EOB是等边三角形,

∴OE=BE=,

又∵=,∴∠EOB=∠CON=60°,

∴S扇形OCN==π,S△OCN==,

∴S阴影部分=S扇形OCN-S△OCN=π-.

13.C　∵AB是直径,∴∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠CAB=90°,

∵=3,∴∠CAB=3∠ABC,

∴∠ABC=22.5°,∠CAB=67.5°,

∵CD⊥AB,∴∠ACE=22.5°,

∵点H是AG的中点,∠ACB=90°,

∴AH=CH=HG,∴∠CAH=∠ACE=22.5°,

∵∠CAF=∠CBF,∴∠CBF=22.5°.

14.解:(1)由题意可得:OP=8-t,OQ=t.

∴OP+OQ=8-t+t=8(cm).

(2)存在,当t=4时,线段OB的长度最大.如图①,过B作BD⊥OP,垂足为D,则BD∥OQ.

∵OT平分∠MON,

∴∠BOD=∠OBD=45°,

∴BD=OD,OB=BD.

设线段BD的长为x,则BD=OD=x,OB=BD=x,PD=8-t-x.

∵BD∥OQ,∴=,

∴=,

∴x=.

∴OB=·=-(t-4)2+2.

∴当t=4时,线段OB的长度最大,最大为2 cm.

(3)解法一:∵∠POQ=90°,∴PQ是圆的直径.

∴∠PCQ=90°.

∵∠PQC=∠POC=45°,

∴△PCQ是等腰直角三角形.

∴S△PCQ=PC·QC=PQ·PQ=PQ2.

在Rt△POQ中,PQ2=OP2+OQ2=(8-t)2+t2.

∴四边形OPCQ的面积S=S△POQ+S△PCQ=OP·OQ+PQ2=t(8-t)+[(8-t)2+t2]=4t-t2+t2+16-4t=16.

∴四边形OPCQ的面积为16 cm2.

解法二:如图②,连接AC.

∵∠POQ=90°,∴PQ是圆的直径.

∴∠PCQ=90°.

∵∠PQC=∠POC=45°,

∴△PCQ是等腰直角三角形,PC=QC.

∵四边形OPCQ内接于圆,

∴∠OQC+∠OPC=180°,

又∵∠APC+∠OPC=180°,

∴∠OQC=∠APC.

∵AP=OQ=t,∴△OQC≌△APC(SAS).

∴∠OCQ=∠ACP,OC=AC.

∵∠QCO+∠OCP=∠PCQ=90°,

∴∠OCA=∠ACP+∠OCP=90°,

∴△OCA是等腰直角三角形.

∴四边形OPCQ的面积S=S△OQC+S△OPC=S△APC+S△OPC=S△OCA=OA2=×82=16.

∴四边形OPCQ的面积为16 cm2.