2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 28　与圆有关的位置关系(含答案)

与圆有关的位置关系

夯实基础

1.[2022·长春]如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为 (　　)

A.35°  B.45° 

C.55°  D.65°

2.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sinE的值为 (　　)

A.  B. 

C.  D.

3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO= (　　)

A.30°  B.35° 

C.45°  D.55°

4.[2021·泰安]如图,PA是☉O的切线,点A为切点,OP交☉O于点B,∠P=10°,点C在☉O上,OC∥AB,则∠BAC等于 (　　)

A.20°  B.25° 

C.30°  D.50°

5.[2022·泸州]如图,☉O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与☉O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点,BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长是              (　　)

A.  B. 

C.  D.

6.[2022·北京]如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB=　　　　. 

7.[2022·温州]如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB=　　　　度. 

8.如图,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:

 (1)当d=3时,m=　　　　; 

(2)当m=2时,d的取值范围是　　　　. 

9.[2018·连云港] 如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=　　　　. 

10.如图,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,B是的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF=　　　　. 

11.[2021·东营]如图,在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为　　　　. 

12.[2022·苏州]如图,四边形ABCD内接于☉O,∠1=∠2,延长BC到点E,使得CE=AB,连接ED.

(1)求证:BD=ED;

(2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°,求tan∠DCB的值.

13.[2022·贵港]如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,F是AD延长线上一点,连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD.

(1)求证:CF是☉O的切线;

(2)若cosB=,AD=2,求FD的长.

拓展提升

14.[2021·无锡]如图,在△ABC中,AC∶BC∶AB=5∶12∶13,☉O在△ABC内自由移动.若☉O的半径为1,且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为,则△ABC的周长为　　　　. 

15.[2021·宁波]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为　　　　. 

16.[2021·鄂州]如图,已知直线y=-x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,☉O的半径为1,P为AB上一动点,PQ切☉O于Q点.当线段PQ长取最小值时,直线PQ交y轴于M点,a为过点M的一条直线,则点P到直线a的距离的最大值为　　　　. 

答案

1.C　2.A　3.B

4.B　连接OA,因为PA是☉O的切线,所以∠PAO=90°,因为∠P=10°,所以∠POA=80°,因为OA=OB,所以∠ABO=∠BAO=50°.因为OC∥AB,所以∠BOC=∠ABO=50°,所以∠BAC=∠BOC=25°.因此本题选B.

5.A　6.130°

7.85　∵☉O与△OAB的边AB相切,

∴OB⊥AB,∴∠OBA=90°,

连接OO',如图,

∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,

∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO',BO=BO',

∵OB=OO',∴△OO'B为等边三角形,

∴∠OBO'=60°,∴∠ABA'=60°,

∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.

8.(1)1　(2)1<d<3

9.44°　连接OB.

∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22°,

∴∠AOB=136°,

∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∴∠COB=46°,

∵CB是☉O的切线,

∴∠OBC=90°,

∴∠OCB=90°-46°=44°,故答案为44°.

10.2　如图,

连接OC.

∵DC切☉O于点C,

∴∠OCD=90°.

∵BD=OB,∴OB=OD.

∵OC=OB,∴OC=OD,

∴∠D=30°,∴∠COD=60°.

∵AB为☉O的直径,B是的中点,

∴CF⊥OB,CE=EF,

∴CE=OC·sin60°=2×,

∴CF=2.

11.2　连接OP,OQ.

∵PQ是☉O的切线,

∴OQ⊥PQ,根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,

∴当OP⊥AB时,线段PQ最短.

∵在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,

∴AB=4,AO=6,

∴OA×OB=OP×AB,即OP=3,

∴PQ==2.

12.解:(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,

∴∠A=∠DCE,

∵∠1=∠2,∴,∴AD=DC,

在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),

∴BD=ED.

(2)过点D作DM⊥BE于M,

∵AB=4,BC=6,CE=AB,∴BE=BC+EC=10,

∵BD=ED,DM⊥BE,∴BM=ME=BE=5,

∴CM=BC-BM=1,

∵∠ABC=60°,∠1=∠2,∴∠2=30°,

∴DM=BM·tan∠2=5×,

∴tan∠DCB=.

13.解:(1)证明:连接OC,如图.

∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ADC+∠CAD=90°.

又∵OC=OD,∴∠ADC=∠OCD,

又∵∠DCF=∠CAD,∴∠DCF+∠OCD=90°,

即OC⊥FC,

∵OC为☉O的半径,∴FC是☉O的切线.

(2)∵∠B=∠ADC,cosB=,∴cos∠ADC=.

在Rt△ACD中,∵cos∠ADC=,AD=2,∴CD=AD·cos∠ADC=2×,

∴AC=,∴.

∵∠FCD=∠FAC,∠F=∠F,∴△FCD∽△FAC,

∴.设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+2.

又∵FC2=FD·FA,即(4x)2=3x(3x+2),解得x=或x=0(舍去),∴FD=3x=.

14.25　如图,圆心O在△ABC内所能到达的区域是△O1O2O3,易得△ACB∽△O1O2O3,∴它的三边之比也是5∶12∶13,易证△ABC与△O1O2O3均为直角三角形,∵△O1O2O3的面积=,∴O1O2=,O2O3=4,O1O3=,连接AO1与CO2,并延长,相交于I,过I作ID⊥AC于D,交O1O2于E,过I作IG⊥BC于G,交O3O2于F,易知I是Rt△ABC与Rt△O1O2O3的公共内心,四边形IEO2F与四边形IDCG都是正方形,易知IE=IF=,

∵ED=1,∴ID=IE+ED=,设△ACB的三边长分别为5m,12m,13m,则有ID=2m=,解得m=,∴△ABC的周长=30m=25.

15.或3　半径为6的☉P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:

①当☉P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,到AC的最大距离在点D处取到,为5,故这种情况不存在;

②当☉P与BC相切时,点P到BC的距离为6,如图,过P作PE⊥BC于E,PE=6,∴PE为△ACD的中位线,点P为AD中点,在Rt△ACD中,∵AC=12,CD=5,∴AD=13.∴AP=AD=;

③当☉P与AB相切时,如图,点P到AB的距离为6,过P作PF⊥AB于F,即PF=6,

∵AD=BD=13,∴∠B=∠BAD.∵∠AFP=∠C=90°,∴△APF∽△BAC,∴,其中,PF=6,AC=12,AB==6,∴AP=3.

综上所述,AP的长为或3.

16.2　对于直线y=-x+4,当x=0时,y=4,当y=0时,x=,∴OB=4,OA=,

∴tan∠OBA=,

∴∠OBA=30°,

由PQ切☉O于Q点,可知OQ⊥PQ,

∴PQ=,

由于OQ=1,因此当OP最小时PQ长取最小值,此时OP⊥AB,

∴OP=OB=2,此时PQ=,BP==2,

∴OQ=OP,即∠OPQ=30°,

若使P到直线a的距离最大,则最大值为PM,且M位于x轴下方,过P作PE⊥y轴于E,如图所示,

EP=BP=,BE==3,

∴OE=4-3=1,

∵OE=OP,

∴∠OPE=30°,

∴∠EPM=30°+30°=60°,即∠EMP=30°,

∴PM=2EP=2,

故答案为2.