初中湘教版5.1 二次根式第2课时教学设计

第2课时　二次根式的化简

1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)

2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)

一、情境导入

计算：

(1)，×；

(2)，×.

观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？

二、合作探究

探究点一：积的算术平方根的性质

【类型一】 利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简

化简：

(1)；　(2)；

(3)(a≥0，b≥0)．

解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．

解：(1)＝×＝14×0.5＝7；

(2)＝＝×＝×＝；

(3)＝··＝15a3b.

方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．

【类型二】 利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围

若＝a成立，则a的取值范围是(　　)

A．a≥0  B．a＞0

C．a≥1  D．0≤a≤1

解析：＝＝·＝|a|·，又＝a，所以解得0≤a≤1，故选D.

方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．

【类型三】 逆用积的算术平方根的性质比较大小

比较大小：3与5.

解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．

解：∵3＝＝，5＝＝，

∵＞，∴3＜5.

方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．

探究点二：最简二次根式

【类型一】 最简二次根式的判定

下列二次根式中，最简二次根式是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得：a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式；故选B.

方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【类型二】 二次根式的化简

把下列各式化成最简二次根式．

(1)；(2)；(3)；(4).

解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a2b2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．

解：(1)＝＝10；

(2)＝＝|a|b；

(3)＝＝；

(4)＝＝.

方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．

三、板书设计

1．积的算术平方根的性质

2．最简二次根式

通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．