北师大版 初中数学 九年级上册 第六章 反比例函数【过关测试】

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第六章    反比例函数    过关测试知识点1反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。  知识点2反比例函数的图象及其性质（1）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 （2）反比例函数的性质知识点3系数K的几何意义①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为。②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为． ③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积． 知识点4 反比例函数实际应用1.分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。2.函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 3.概括整合（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。  知识点5 反比例函数与一次函数1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。  知识点6 反比例函数与几何综合应用反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。         一、单选题1．点（－2，5）在反比例函数（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（    ）A．（5，－2） B．（，2） C．（－5，－2） D．（，2）【答案】A2．双曲线有三个点，，，若，则，，的大小关系是（  ）A． B．C． D．【答案】C3．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B4．如图，点是正比例函数（k为常数，且）和反比例函数（m为常数，且）图象的交点，则关于x的方程的解是（    ）A．1 B．2 C．1或2 D．1或【答案】D5．如图，是等边三角形，且与x轴重合，反比例函数的图象经过点B，则的面积为（    ） A． B．12 C． D．【答案】C6．如图，反比例函数（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且，则k的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D7．如图，若一次函数与反比例函数的图象交两点，过点B作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（ ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D8．如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第二象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B9．如图：四边形ABCD为菱形，且对角线BD∥x轴，A、C两点在y轴上，E点在BC上，且BE＝2CE，双曲线y＝（x＞0）经过E、B两点，且，则k的值为（    ）A．3 B． C．4 D．6【答案】C10．如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交边于点，且，则的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C11．如图，平面直角坐标系中反比例函数的图象与矩形ABCO的边BC、AB分别交于点D、E，连接DE，F是过点O且平行于DE的直线上任意一点，连接EF、DF，若，．则k的值为（    ）A．-10 B．-12 C．-15 D．-16【答案】B12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，，动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把沿AD翻折得到，点E落在双曲线上，当CE长度最小时，k的值为（    ）A． B． C． D．6【答案】A二、填空题13．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，4），则k的值为___．【答案】-714．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______．【答案】315．如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______．【答案】-616．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B、C两点，若的面积为2，则k的值为______．【答案】3【分析】17．如图，一次函数的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点和点F．则不等式的解集是___________．【答案】＜或18．如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为________．【答案】-3219．如图，直线y＝2x﹣5与x轴、y轴分别交于点W和点U，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点V，若OU＝OV，则k的值是_____．【答案】1220．如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，则的面积为_____．【答案】21．如图，在直角坐标系中，第一象限内的点，都在反比例函数的图象上，横坐标分别是和，点在轴的正半轴上，满足．且，则的值是_______________________．【答案】22．如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 解：连接AC，过C作，由反比例函数图象的对称性可得：，∵C为OB的中点，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴，∴．故答案为：6．23．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__________①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则或；③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程解：①x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，x1=1，x2=2，∴方程x2-3x+2=0是倍根方程；故①正确；②解方程（x-2）（mx-n）=0，得：x1=2，x2=，∵（x-2）（mx-n）=0是倍根方程，∴2=或4=，即m=n或n=4m，故②正确；③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1= ，x2= ，∴x2=2x1，故③正确；故答案为①②③．24．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是______．解：设点的坐标为∵四边形为矩形∴，∵点，在反比例函数上∴，∴直线的解析式为令，则∴∴∴∵∴∵四边形是矩形∴，∴四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形,故①正确∵，故②错误∵，∴，∴，∴解得：(舍去)，，故③正确∵∴∴把代入可得：∴∴，∴∴，故④错误故答案为：①③三、解答题25．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上．（1）求此反比例函数的解析式； （2）若直线与线段相交，求m的取值范围．解：（1）设所求的反比例函数的解析式是， 依题意得：，， 反比例函数解析式为． （2）设P（x，y）是线段上任一点，则有，； ，， 所以m的取值范围是．26．如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数（x＞0）的图象经过点A（a，3），点B为x轴正半轴上一点，过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y＝（x＞0）得，3＝，解得a＝2，∴点A（2，3），代入y＝kx得，k＝；（2）当BD＝6＝y时，代入y＝x得，x＝4，∴OB＝4，当x＝4代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝6﹣＝，∴S△ACD＝××（4﹣2）＝．27．一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图像直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．解：（1）将A（1，3），代入y2=（n＞0），得n=3，再将B（3，m）代入y2=，得m=1，所以将A，B两点坐标代入y1=kx+b，得，解得，∴一次函数解析式为y1=-x+4；（2）根据题意的一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：x＜1或x＞3；（3）由题意得△OAP的高为3∴S△OAP=·3·|OP|=6，∴OP的长为4，又∵点P在x轴上，∴点P的坐标为（-4，0）或（4，0）．28．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝．（其中mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△ABO的面积；（3）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．根据反比例函数图象的对称性可知，n＝﹣4，∴，解得，故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2，又知A点在反比例函数的图象上，故m＝﹣8，故反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）如图，设一次函数的图像与y轴交于点C，在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，∴OC＝2，∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6；（3）根据两函数的图象可知：当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．29．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，且点，点在轴正半轴上运动，过点作平行于轴的直线．（1）求的值和点的坐标；（2）当时，直线与直线交于点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式；（3）当时，若直线与直线和（2）反比例函数的图象分别交于点，，当间距离大于等于2时，求的取值范围．解：（1）∵直线： 经过点，∴，∴，∴；（2）当时，将代入，得，，∴代入得，，∴；（3）当时，即，而，如图，，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，∴的取值范围是：．30．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°， AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．（1）求d的值：（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．解：（1）作CN⊥x轴于点N，∵A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)，∴CN＝4，AO＝4，OB=2在Rt△CAN和Rt△AOB中，，∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），∴AN＝BO＝2，NO＝NA＋AO＝6，又∵点C在第二象限，∴d＝−6；（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（−6＋c，4），则B′（c，2）又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1＝，得−24＋4c＝2c，解得c＝12，即反比例函数解析式为y1＝，此时 C′（6，4），B′（12，2），设直线B′C′的解析式y2＝mx＋n，代入C′、B′得，∴，∴直线C′B′的解析式为y2＝− x＋6；（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为 C′（6，4），B′（12，2），若y1＞y2，则0＜x＜6或x＞12．31．五一假期，小夏驾驶小汽车匀速地从杭州行驶到宁波，当小汽车行驶的速度为每小时100千米时，行驶时间1.5小时．设小汽车行驶的速度为v千米/时，行驶的时间为t小时，全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若小汽车行驶的速度为50千米/时，则从杭州到宁波需要几小时？（3）若小夏下午4点从杭州出发，他能在下午5：10到达宁波吗？请说明理由．解：（1）∵s＝100×1.5＝150（千米），∴v＝＝，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：；（2）将v＝50代入v＝得50＝，解得t＝3．答：从杭州到宁波需要3小时；（3）小夏不能在下午5：10到达宁波．理由如下：下午4点至下午5：10时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．故小夏不能在下午5：10到达宁波．32．如图1，已知直线分别与双曲线、（）交于、两点，且．（1）求的值；（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线（）于点、，连接．请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，如图1．联立，解得：或．∵∴点的坐标为（2，4）．∴，．∵轴，轴，∴，∴，∴．∵，∴，，∴，，∴点的坐标为（1，2）．∵点在双曲线上，∴，∴的值为2．（2）如图2，设点A的坐标为，∵点在双曲线上，∴．∵轴，轴，∴，．∵点、在双曲线上，∴，，∴点的坐标为，点的坐标为．∴，，∴．∴在点运动过程中，的面积不变，始终等于．（3）①为平行四边形的一边，Ⅰ．当点在点的右边时，如图3，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴．∵，∴．解得：．经检验：是该方程的解．∵，∴，∴，∴点的坐标为．Ⅱ．当点在点的左边且点在点的右边时，如图4，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，解得：．经检验：是该方程的解．∵，∴，∴，∴点的坐标为（2，4）．②为平行四边形的对角线，此时点、点都在点的左边，如图5，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴．∵，∴．解得：．经检验：是该方程的解．∵，∴，∴，∴点的坐标为．综上所述：当点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，此时点的坐标为或（2，4）或．