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重庆市巴蜀中学校2022--2023学年八年级上学期11月月考数学试卷(含答案)
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这是一份重庆市巴蜀中学校2022--2023学年八年级上学期11月月考数学试卷(含答案)，共31页。
重庆市巴蜀中学校2022--2023学年上学期八年级月考数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）计算x•（﹣x2）的结果是（ ）
A．﹣x3 B．﹣x2 C．x3 D．x2
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x2＝5x4
C．x8÷x2＝x6 D．（2xy）2＝2x2y2
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝10
5．（4分）下列算式中，结果为x2﹣4y2的是（ ）
A．（x﹣2y）2 B．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
C．（2x﹣y）（x+2y） D．（x﹣2y）（﹣x+2y）
6．（4分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．4x2y＝2x•2xy D．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
7．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．15
8．（4分）已知3a＝6，9b＝2，则3a﹣2b＝（ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
9．（4分）已知a2﹣a++＝0，则ab＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
10．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
11．（4分）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝61°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则这个三角形的周长是 ．
16．（4分）已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝ ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝5，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为 ．
18．（4分）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ．
三、解答题：（本大题4个小题，19题每个小题各4分，20、21题各6分，22题8分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）（1）计算：++|1﹣|；
（2）计算：3×（﹣）÷+（π﹣2）0；
（3）化简：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2；
（4）解不等式：2+x≥+4；
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
21．（6分）近期，初二年级广泛开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
八年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
八年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有500名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上的为优良，估计该年级成绩为优良的有多少人？
22．（8分）尺规作图并完成证明：
如图，点C是AB上一点，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED．
（1）尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；
（2）证明：CF⊥DE．
证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴ ，
∴ ．
在△ADC和△BCE中，
∵，①
∴△ADC≌△BCE．
∴ ．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.
23．（3分）如果二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝ ．
24．（3分）已知：如图，等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为BC中点，连接AD，作CE⊥AD于点E，作BG⊥BC交CE的延长线于点G，CG交CAB于点F，连接DF：下列说法正确的有 ．
①∠CAD＝∠BCG
②AE＝CF+BF
③S四边形BDEF＝S△ACE
④AD＝CF+DF
25．（3分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则++的值为 ．
26．（3分）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 元．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
27．（10分）为丰富学生们的课余生活，学校购进一批象棋和围棋供学生们课外活动使用．其中购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元．已知购买一副围棋比购买一副象棋多花15元．
（1）求购买一副围棋，一副象棋各需多少元？
（2）随着同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购进象棋和围棋共40副，正好赶上商场双十一活动，象棋售价比第一次购买时减少3元，围棋按第一次购买时售价的8.8折出售，如果学校此次购买象棋和围棋的总费用不超过第一次花费的68%，则学校至少购买象棋多少副？
28．（10分）材料一：一个四位数M＝各个数位上的数字均不为零，去掉千位上的数字得到一个新的三位数称为“去千数”，去掉百位上的数字得到一个新的三位数称为“去百数”，去掉十位上的数字得到一个新的三位数称为“去十数”，去掉个位上的数字得到一个新的三位数称为“去个数”，记．例如：1234的“去千数”为234，“去百数”为134，“去十数”为124，“去个数”为123，则P（1234）＝＝205．
材料二：若一个三位数N＝，记Q（N）＝x2﹣2y﹣3z．
（1）已知一个四位数3176，则P（3176）＝ ．若3176的“去百数”记为C，则Q（C）＝ ．
（2）已知一个四位数，它的“去千数”记为A，“去十数”记为B，且满足Q（A）+Q（B）+54＝0．求这个四位数．
29．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
重庆市巴蜀中学校2022--2023学年上学期八年级月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）计算x•（﹣x2）的结果是（ ）
A．﹣x3 B．﹣x2 C．x3 D．x2
【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：x•（﹣x2）＝﹣x3．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x2＝5x4
C．x8÷x2＝x6 D．（2xy）2＝2x2y2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（x3）2＝x6，故A不符合题意；
B、3x2+2x2＝5x2，故B不符合题意；
C、x8÷x2＝x6，故C符合题意；
D、（2xy）2＝4x2y2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝10
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．＝3，故此选项不合题意；
B．÷＝2，故此选项符合题意；
C．＝＝，故此选项不合题意；
D．（﹣2）2＝20，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
5．（4分）下列算式中，结果为x2﹣4y2的是（ ）
A．（x﹣2y）2 B．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
C．（2x﹣y）（x+2y） D．（x﹣2y）（﹣x+2y）
【分析】利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝x2﹣4y2，
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．（4分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．4x2y＝2x•2xy D．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐一判断即可．
【解答】解：A、（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，是多项式乘法，不是因式分解，故这个选项不合题意；
B、4x2﹣8x﹣1＝4x （x﹣2）﹣1，右边不是几个整式的积的形式，故这个选项不合题意；
C、4x2y＝2x•2xy，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，故这个选项不合题意；
D、ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y），符合因式分解的定义，故这个选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．15
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝6+9＝15，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（4分）已知3a＝6，9b＝2，则3a﹣2b＝（ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：当3a＝6，9b＝2时，
3a﹣2b
＝3a÷32b
＝3a÷9b
＝6÷2
＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．（4分）已知a2﹣a++＝0，则ab＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
【解答】解：原式变形为：（a﹣）2+＝0，
∴a﹣＝0，b+2＝0，
∴a＝，b＝﹣2，
∴ab＝﹣2×
＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．
10．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）10第三项系数为1+2+3+…+9＝45，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．
11．（4分）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a﹣b和b的直角三角形面积，即可得（a²﹣ab+b²），根据完全平方公式的变式应用可得[（a+b）²﹣3ab]，代入计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a²﹣﹣
＝（a²﹣ab+b²）
＝[（a+b）²﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝61°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝61°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣61°﹣61°＝58°，
∴∠BDC＝∠BAC＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
则x的取值范围是：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则这个三角形的周长是 17cm ．
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故答案为：17cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．（4分）已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝ 12 ．
【分析】先计算两个整式的积，根据积中不含x2和x3的项得关于a、b的方程，求出a、b的值后计算a+b．
【解答】解：（x2+ax）×（x2﹣3x+b）
＝x4﹣3x3+bx2+ax3﹣3ax2+abx
＝x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a）x2+abx．
∵积中不含x2和x3的项，
∴．
∴a＝3，b＝3a＝9．
∴a+b＝3+9＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则，理解积中不含x2和x3的项是解决本题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝5，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质得出∠ADC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到AC＝CD＝，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵BD＝CD，∠DBC＝15°，
∴∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠DBC+∠DCB＝30°，
∵∠A＝90°，
∴AC＝CD＝，
∴△BCD的面积＝BD•AC＝×5×＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．（4分）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 5 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的解法和解二元一次方程组的方法，可以求m的值，
【解答】解：由二元一次方程组，得
，
∵二元一次方程组解是正整数，
∴，
解得，≤m≤，
∴m＝5或6，
m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5．
由不等式组得＜x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴4≤＜5，
解得，5≤m＜，
∴m的值是5．
故m的值是5．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，注意两点，1、二元一次方程组的解是正整数；2、不等式组有且仅有2个整数解，最好数形结合求解．
三、解答题：（本大题4个小题，19题每个小题各4分，20、21题各6分，22题8分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）（1）计算：++|1﹣|；
（2）计算：3×（﹣）÷+（π﹣2）0；
（3）化简：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2；
（4）解不等式：2+x≥+4；
【分析】（1）利用二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义化简运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算即可；
（3）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的除法法则化简运算，最后合并同类项即可；
（4）利用解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+﹣1
＝；
（2）原式＝（﹣3×）×+1
＝﹣+1
＝+1；
（3）原式＝a1+2+3+4a6﹣4a8÷a2
＝a6+4a6﹣4a6
＝a6；
（4）不等式两边同时乘以3得：
6+3x≥4x﹣8+12，
移项，合并同类项得：
﹣x≥﹣2，
∴x≤2．
∴变电站的解集为：x≤2．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，立方根的意义，实数的运算，零指数幂的意义，二次根式的运算，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，一元一次不等式的解法，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x
＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝﹣3﹣（﹣1）
＝﹣3+1
＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（6分）近期，初二年级广泛开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
八年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
八年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有500名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上的为优良，估计该年级成绩为优良的有多少人？
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校获奖学生的人数．
【解答】解：（1）a＝2÷0.04×0.36＝18，
b＝＝0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）由（1）知，a＝18，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）500×＝330（人），
答：全校获奖学生的人数约有330人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
22．（8分）尺规作图并完成证明：
如图，点C是AB上一点，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED．
（1）尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；
（2）证明：CF⊥DE．
证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴ AD∥BE ，
∴ ∠A＝∠B ．
在△ADC和△BCE中，
∵，① ∠A＝∠B
∴△ADC≌△BCE．
∴ CD＝CE ．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：如图，CF即为所求．
（2）证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE，
∴∠A＝∠B．
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）．
∴CD＝CE．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
故答案为：AD∥BE；∠A＝∠B；∠A＝∠B；CD＝CE．
【点评】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.
23．（3分）如果二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝ 13或﹣11 ．
【分析】根据完全平方公式得出m﹣1＝±2×2×3，求出即可．
【解答】解：∵二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，
∴m﹣1＝±2×2×3，
解得：m＝13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意；完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
24．（3分）已知：如图，等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为BC中点，连接AD，作CE⊥AD于点E，作BG⊥BC交CE的延长线于点G，CG交CAB于点F，连接DF：下列说法正确的有 ①④ ．
①∠CAD＝∠BCG
②AE＝CF+BF
③S四边形BDEF＝S△ACE
④AD＝CF+DF
【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCG，故①正确；由三角形的三边关系可得CF+BF＞AC＞AE，故②错误；由“AAS”可证△ACE≌△CBH，可得S△ACE＝S△CBH，即S△ACE＞S四边形BDEF，故③错误；由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得AD＝CG，CD＝BG，由“SAS”可证△BFD≌△BFG，可得DF＝FG，可得AD＝CF+DF，故④正确；即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠BCG+∠ADC，
∴∠CAD＝∠BCG，故①正确；
在Rt△ACE中，AC＞AE，
在△BCF中，CF+BF＞BC，
∴CF+BF＞AC＞AE，故②错误；
如图，过点B作BH⊥CG于H，
∵∠CAD＝∠BCG，AC＝BC，∠AEC＝∠CHB＝90°，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴S△ACE＝S△CBH，
∴S△ACE＞S四边形BDEF，故③错误；
∵∠CAD＝∠BCG，AC＝BC，∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴AD＝CG，CD＝BG，
∵D为BC中点，
∴CD＝DB，
∴CD＝DB＝BG，
又∵∠ABC＝∠ABG＝45°，BF＝BF，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴DF＝FG，
∴AD＝CG＝CF+FG＝CF+DF，故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（3分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则++的值为 4 ．
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出+＝3和＝21，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵a+3＝8，b+3＝8，
∴a﹣b+3﹣3＝0，
∴（+）（﹣）﹣3（﹣）＝0，
∵a≠b，
∴≠，
∴+＝3，
∵a+b+3（+）＝16，
∴a+b＝7，
∴（+）2﹣2＝7，
∴＝1，
∴原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是正确利用平方差公式以及完全平方公式求出+＝3和＝21，本题属于基础题型．
26．（3分）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 3728 元．
【分析】设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，所以普洱和红茶的销量为mn，白茶的销量为6（m+n），绿茶的销量为[6（m+n）+2mn]．再根据题干中的信息列出方程和不等式，得出结论即可．
【解答】解：设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，
∵普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，
∴普洱和红茶的销量为mn，白茶的销量为6（m+n），
∴绿茶的销量为[6（m+n）+2mn]．
∵普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，
∴（a﹣x）mn+（b﹣y）mn﹣6（m+n）（﹣）＝1666，
整理得[（a+b）﹣（x+y）][mn﹣3（m+n）]＝1666．
∵白茶的单利润不小于5元且不大于10元，
∴5≤﹣≤10，整理得10≤[（a+b）﹣（x+y）]≤20，
∵四种茶叶的进价，售价和销量均为整数且1666＝17×14×7，
∴（a+b）﹣（x+y）＝14或17．
若使绿茶的总利润的最小，则m﹣n最小，
当（a+b）﹣（x+y）＝14时，mn﹣3（m+n）＝119，
此时m＝＝3+，
∵128＝2×64＝4×32＝8×16，
∴当n﹣3＝8，即n＝11时，m＝3+16＝19，
此时绿茶的利润为：（19﹣11）×（6×27+2×19×8）＝3728（元）．
当（a+b）﹣（x+y）＝17时，mn﹣3（m+n）＝98，
此时m＝＝3+，
∵107＝1×107，
∴当n＝4时，m＝110（不符合实际意义），n＝111时，m＝4（舍），即此时不存在．
综上，绿茶的利润的最小值为3728元．
故答案为：3728．
【点评】本题主要考查一次方程的应用，设出未知数，根据题干中的信息得出m，n之间的关系是解题关键．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
27．（10分）为丰富学生们的课余生活，学校购进一批象棋和围棋供学生们课外活动使用．其中购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元．已知购买一副围棋比购买一副象棋多花15元．
（1）求购买一副围棋，一副象棋各需多少元？
（2）随着同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购进象棋和围棋共40副，正好赶上商场双十一活动，象棋售价比第一次购买时减少3元，围棋按第一次购买时售价的8.8折出售，如果学校此次购买象棋和围棋的总费用不超过第一次花费的68%，则学校至少购买象棋多少副？
【分析】（1）设购买一副围棋需x元，一副象棋需y元，根据“购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元；购买一副围棋比购买一副象棋多花15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m副象棋，则购买（40﹣m）副围棋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过第一次花费的68%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一副围棋需x元，一副象棋需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副围棋需50元，一副象棋需35元．
（2）设学校购买m副象棋，则购买（40﹣m）副围棋，
依题意得：（35﹣3）m+50×88%（40﹣m）≤2400×68%，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为11．
答：学校至少购买象棋11副．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28．（10分）材料一：一个四位数M＝各个数位上的数字均不为零，去掉千位上的数字得到一个新的三位数称为“去千数”，去掉百位上的数字得到一个新的三位数称为“去百数”，去掉十位上的数字得到一个新的三位数称为“去十数”，去掉个位上的数字得到一个新的三位数称为“去个数”，记．例如：1234的“去千数”为234，“去百数”为134，“去十数”为124，“去个数”为123，则P（1234）＝＝205．
材料二：若一个三位数N＝，记Q（N）＝x2﹣2y﹣3z．
（1）已知一个四位数3176，则P（3176）＝ 395 ．若3176的“去百数”记为C，则Q（C）＝ ﹣23 ．
（2）已知一个四位数，它的“去千数”记为A，“去十数”记为B，且满足Q（A）+Q（B）+54＝0．求这个四位数．
【分析】（1）根据新定义的意义求解；
（2）根据题意列方程，再用代入验证的方法求方程的整数解．
【解答】解：（1）P（3176）＝（176+376+316+317）＝395，
∵C＝376，
∴Q（376）＝32﹣2×7﹣3×6＝﹣23，
故答案为：395，﹣23；
（2）由题意得：A＝，B＝，Q（A）＝a²﹣2b﹣3c，Q（B）＝4﹣2a﹣3c，
∴a²﹣2b﹣3c+4﹣2a﹣3c+54＝0，
∴a²﹣2b﹣6c﹣2a+58＝0，即：（a﹣1）2＝2（b+3c）﹣57，
∵a，b，c都是0到9之间的整数，
∴a＝2，b＝2，c＝9或a＝4，b＝6，c＝9，或a＝，2，b＝9，c＝8，
∴这个四位数为：2229，2469，2298．
【点评】本题考查了因式分解的应用，代入验证求整数解是解题的关键．
29．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
【分析】（1）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，证明△ABE≌△CBP（ASA），则BE＝BP，可得△BEP是等边三角形，求出∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝∠AEB＝60°，即可得BE平分∠AED；
（2）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FQ∥BE交AE于Q，证明△GFQ≌△GBE（ASA），可得FQ＝BE，由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，可得FQ＝BP，根据线段的和差以及三角形外交的性质得∠D＝∠CBE＝∠CAE，再证△AFQ≌△DBP（AAS），即可得出结论；
（3）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，证明△AFN≌△DBP（AAS），则FG＝BG，当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，根据S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝48，可得AB＝8，即可得出整个运动过程中GF的最小值为6．
【解答】（1）证明：在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠EBP＝∠AEC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBP，∠BCP＝∠BAE，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE＝BP，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∴BE平分∠AED；
（2）证明：过点F作FQ∥BE交AE于Q，
∵FQ∥BE，
∴∠GFQ＝∠GBE，∠FQG＝∠BEG，
∵点G为BF中点，
∴GF＝GB，
∴△GFQ≌△GBE（ASA），
∴FQ＝BE，
由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，
∴∠FQG＝∠BEG＝60°，FQ＝BP，
∴∠AQF＝∠DPB＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠D+∠BED＝∠ABC＝∠CBE，∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CBE＝∠CAE，
∴△AFQ≌△DBP（AAS），
∴AF＝BD；
（3）解：如图3，在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，
∴∠FNG＝∠GEB＝60°，
∴∠ANF＝∠DPB＝120°，
由（2）知，∠FAN＝∠BDP，
∵AF＝BD，
∴△AFN≌△DBP（AAS），
∴FN＝BP＝BE，
∵FN∥BE，
∴∠FNG＝∠BEG，∠NFG＝∠EBG，
∴△FGN≌△BGE（ASA），
∴FG＝BG，
当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AH＝AB，∠ACH＝30°，
在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，
∴S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝（16﹣AB）•AB＝48，
∴AB＝8，
∵S△ABC＝AB•CH＝AC•BF，AB＝AC，
∴BF＝CH＝AB＝×8＝12，
∴GF＝BF＝6，即整个运动过程中GF的最小值为6．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
重庆市巴蜀中学校2022--2023学年上学期八年级月考数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）计算x•（﹣x2）的结果是（ ）
A．﹣x3 B．﹣x2 C．x3 D．x2
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x2＝5x4
C．x8÷x2＝x6 D．（2xy）2＝2x2y2
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝10
5．（4分）下列算式中，结果为x2﹣4y2的是（ ）
A．（x﹣2y）2 B．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
C．（2x﹣y）（x+2y） D．（x﹣2y）（﹣x+2y）
6．（4分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．4x2y＝2x•2xy D．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
7．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．15
8．（4分）已知3a＝6，9b＝2，则3a﹣2b＝（ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
9．（4分）已知a2﹣a++＝0，则ab＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
10．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
11．（4分）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝61°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则这个三角形的周长是 ．
16．（4分）已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝ ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝5，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为 ．
18．（4分）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ．
三、解答题：（本大题4个小题，19题每个小题各4分，20、21题各6分，22题8分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）（1）计算：++|1﹣|；
（2）计算：3×（﹣）÷+（π﹣2）0；
（3）化简：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2；
（4）解不等式：2+x≥+4；
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
21．（6分）近期，初二年级广泛开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
八年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
八年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有500名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上的为优良，估计该年级成绩为优良的有多少人？
22．（8分）尺规作图并完成证明：
如图，点C是AB上一点，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED．
（1）尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；
（2）证明：CF⊥DE．
证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴ ，
∴ ．
在△ADC和△BCE中，
∵，①
∴△ADC≌△BCE．
∴ ．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.
23．（3分）如果二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝ ．
24．（3分）已知：如图，等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为BC中点，连接AD，作CE⊥AD于点E，作BG⊥BC交CE的延长线于点G，CG交CAB于点F，连接DF：下列说法正确的有 ．
①∠CAD＝∠BCG
②AE＝CF+BF
③S四边形BDEF＝S△ACE
④AD＝CF+DF
25．（3分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则++的值为 ．
26．（3分）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 元．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
27．（10分）为丰富学生们的课余生活，学校购进一批象棋和围棋供学生们课外活动使用．其中购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元．已知购买一副围棋比购买一副象棋多花15元．
（1）求购买一副围棋，一副象棋各需多少元？
（2）随着同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购进象棋和围棋共40副，正好赶上商场双十一活动，象棋售价比第一次购买时减少3元，围棋按第一次购买时售价的8.8折出售，如果学校此次购买象棋和围棋的总费用不超过第一次花费的68%，则学校至少购买象棋多少副？
28．（10分）材料一：一个四位数M＝各个数位上的数字均不为零，去掉千位上的数字得到一个新的三位数称为“去千数”，去掉百位上的数字得到一个新的三位数称为“去百数”，去掉十位上的数字得到一个新的三位数称为“去十数”，去掉个位上的数字得到一个新的三位数称为“去个数”，记．例如：1234的“去千数”为234，“去百数”为134，“去十数”为124，“去个数”为123，则P（1234）＝＝205．
材料二：若一个三位数N＝，记Q（N）＝x2﹣2y﹣3z．
（1）已知一个四位数3176，则P（3176）＝ ．若3176的“去百数”记为C，则Q（C）＝ ．
（2）已知一个四位数，它的“去千数”记为A，“去十数”记为B，且满足Q（A）+Q（B）+54＝0．求这个四位数．
29．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
重庆市巴蜀中学校2022--2023学年上学期八年级月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）计算x•（﹣x2）的结果是（ ）
A．﹣x3 B．﹣x2 C．x3 D．x2
【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：x•（﹣x2）＝﹣x3．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x2＝5x4
C．x8÷x2＝x6 D．（2xy）2＝2x2y2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（x3）2＝x6，故A不符合题意；
B、3x2+2x2＝5x2，故B不符合题意；
C、x8÷x2＝x6，故C符合题意；
D、（2xy）2＝4x2y2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝10
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．＝3，故此选项不合题意；
B．÷＝2，故此选项符合题意；
C．＝＝，故此选项不合题意；
D．（﹣2）2＝20，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
5．（4分）下列算式中，结果为x2﹣4y2的是（ ）
A．（x﹣2y）2 B．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
C．（2x﹣y）（x+2y） D．（x﹣2y）（﹣x+2y）
【分析】利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝x2﹣4y2，
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．（4分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．4x2y＝2x•2xy D．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐一判断即可．
【解答】解：A、（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，是多项式乘法，不是因式分解，故这个选项不合题意；
B、4x2﹣8x﹣1＝4x （x﹣2）﹣1，右边不是几个整式的积的形式，故这个选项不合题意；
C、4x2y＝2x•2xy，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，故这个选项不合题意；
D、ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y），符合因式分解的定义，故这个选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长为（ ）
A．24 B．21 C．18 D．15
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝6+9＝15，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（4分）已知3a＝6，9b＝2，则3a﹣2b＝（ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：当3a＝6，9b＝2时，
3a﹣2b
＝3a÷32b
＝3a÷9b
＝6÷2
＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．（4分）已知a2﹣a++＝0，则ab＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
【解答】解：原式变形为：（a﹣）2+＝0，
∴a﹣＝0，b+2＝0，
∴a＝，b＝﹣2，
∴ab＝﹣2×
＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．
10．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）10第三项系数为1+2+3+…+9＝45，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．
11．（4分）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a﹣b和b的直角三角形面积，即可得（a²﹣ab+b²），根据完全平方公式的变式应用可得[（a+b）²﹣3ab]，代入计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a²﹣﹣
＝（a²﹣ab+b²）
＝[（a+b）²﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝61°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝61°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣61°﹣61°＝58°，
∴∠BDC＝∠BAC＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
则x的取值范围是：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则这个三角形的周长是 17cm ．
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故答案为：17cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．（4分）已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝ 12 ．
【分析】先计算两个整式的积，根据积中不含x2和x3的项得关于a、b的方程，求出a、b的值后计算a+b．
【解答】解：（x2+ax）×（x2﹣3x+b）
＝x4﹣3x3+bx2+ax3﹣3ax2+abx
＝x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a）x2+abx．
∵积中不含x2和x3的项，
∴．
∴a＝3，b＝3a＝9．
∴a+b＝3+9＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则，理解积中不含x2和x3的项是解决本题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝5，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质得出∠ADC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到AC＝CD＝，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵BD＝CD，∠DBC＝15°，
∴∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠DBC+∠DCB＝30°，
∵∠A＝90°，
∴AC＝CD＝，
∴△BCD的面积＝BD•AC＝×5×＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．（4分）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 5 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的解法和解二元一次方程组的方法，可以求m的值，
【解答】解：由二元一次方程组，得
，
∵二元一次方程组解是正整数，
∴，
解得，≤m≤，
∴m＝5或6，
m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5．
由不等式组得＜x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴4≤＜5，
解得，5≤m＜，
∴m的值是5．
故m的值是5．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，注意两点，1、二元一次方程组的解是正整数；2、不等式组有且仅有2个整数解，最好数形结合求解．
三、解答题：（本大题4个小题，19题每个小题各4分，20、21题各6分，22题8分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）（1）计算：++|1﹣|；
（2）计算：3×（﹣）÷+（π﹣2）0；
（3）化简：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2；
（4）解不等式：2+x≥+4；
【分析】（1）利用二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义化简运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算即可；
（3）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的除法法则化简运算，最后合并同类项即可；
（4）利用解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+﹣1
＝；
（2）原式＝（﹣3×）×+1
＝﹣+1
＝+1；
（3）原式＝a1+2+3+4a6﹣4a8÷a2
＝a6+4a6﹣4a6
＝a6；
（4）不等式两边同时乘以3得：
6+3x≥4x﹣8+12，
移项，合并同类项得：
﹣x≥﹣2，
∴x≤2．
∴变电站的解集为：x≤2．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，立方根的意义，实数的运算，零指数幂的意义，二次根式的运算，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，一元一次不等式的解法，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x
＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝﹣3﹣（﹣1）
＝﹣3+1
＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（6分）近期，初二年级广泛开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
八年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
八年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有500名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上的为优良，估计该年级成绩为优良的有多少人？
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校获奖学生的人数．
【解答】解：（1）a＝2÷0.04×0.36＝18，
b＝＝0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）由（1）知，a＝18，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）500×＝330（人），
答：全校获奖学生的人数约有330人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
22．（8分）尺规作图并完成证明：
如图，点C是AB上一点，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED．
（1）尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；
（2）证明：CF⊥DE．
证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴ AD∥BE ，
∴ ∠A＝∠B ．
在△ADC和△BCE中，
∵，① ∠A＝∠B
∴△ADC≌△BCE．
∴ CD＝CE ．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：如图，CF即为所求．
（2）证明：∵∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE，
∴∠A＝∠B．
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）．
∴CD＝CE．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
故答案为：AD∥BE；∠A＝∠B；∠A＝∠B；CD＝CE．
【点评】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.
23．（3分）如果二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝ 13或﹣11 ．
【分析】根据完全平方公式得出m﹣1＝±2×2×3，求出即可．
【解答】解：∵二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，
∴m﹣1＝±2×2×3，
解得：m＝13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意；完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
24．（3分）已知：如图，等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为BC中点，连接AD，作CE⊥AD于点E，作BG⊥BC交CE的延长线于点G，CG交CAB于点F，连接DF：下列说法正确的有 ①④ ．
①∠CAD＝∠BCG
②AE＝CF+BF
③S四边形BDEF＝S△ACE
④AD＝CF+DF
【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCG，故①正确；由三角形的三边关系可得CF+BF＞AC＞AE，故②错误；由“AAS”可证△ACE≌△CBH，可得S△ACE＝S△CBH，即S△ACE＞S四边形BDEF，故③错误；由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得AD＝CG，CD＝BG，由“SAS”可证△BFD≌△BFG，可得DF＝FG，可得AD＝CF+DF，故④正确；即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠BCG+∠ADC，
∴∠CAD＝∠BCG，故①正确；
在Rt△ACE中，AC＞AE，
在△BCF中，CF+BF＞BC，
∴CF+BF＞AC＞AE，故②错误；
如图，过点B作BH⊥CG于H，
∵∠CAD＝∠BCG，AC＝BC，∠AEC＝∠CHB＝90°，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴S△ACE＝S△CBH，
∴S△ACE＞S四边形BDEF，故③错误；
∵∠CAD＝∠BCG，AC＝BC，∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴AD＝CG，CD＝BG，
∵D为BC中点，
∴CD＝DB，
∴CD＝DB＝BG，
又∵∠ABC＝∠ABG＝45°，BF＝BF，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴DF＝FG，
∴AD＝CG＝CF+FG＝CF+DF，故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（3分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则++的值为 4 ．
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出+＝3和＝21，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵a+3＝8，b+3＝8，
∴a﹣b+3﹣3＝0，
∴（+）（﹣）﹣3（﹣）＝0，
∵a≠b，
∴≠，
∴+＝3，
∵a+b+3（+）＝16，
∴a+b＝7，
∴（+）2﹣2＝7，
∴＝1，
∴原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是正确利用平方差公式以及完全平方公式求出+＝3和＝21，本题属于基础题型．
26．（3分）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 3728 元．
【分析】设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，所以普洱和红茶的销量为mn，白茶的销量为6（m+n），绿茶的销量为[6（m+n）+2mn]．再根据题干中的信息列出方程和不等式，得出结论即可．
【解答】解：设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，
∵普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，
∴普洱和红茶的销量为mn，白茶的销量为6（m+n），
∴绿茶的销量为[6（m+n）+2mn]．
∵普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，
∴（a﹣x）mn+（b﹣y）mn﹣6（m+n）（﹣）＝1666，
整理得[（a+b）﹣（x+y）][mn﹣3（m+n）]＝1666．
∵白茶的单利润不小于5元且不大于10元，
∴5≤﹣≤10，整理得10≤[（a+b）﹣（x+y）]≤20，
∵四种茶叶的进价，售价和销量均为整数且1666＝17×14×7，
∴（a+b）﹣（x+y）＝14或17．
若使绿茶的总利润的最小，则m﹣n最小，
当（a+b）﹣（x+y）＝14时，mn﹣3（m+n）＝119，
此时m＝＝3+，
∵128＝2×64＝4×32＝8×16，
∴当n﹣3＝8，即n＝11时，m＝3+16＝19，
此时绿茶的利润为：（19﹣11）×（6×27+2×19×8）＝3728（元）．
当（a+b）﹣（x+y）＝17时，mn﹣3（m+n）＝98，
此时m＝＝3+，
∵107＝1×107，
∴当n＝4时，m＝110（不符合实际意义），n＝111时，m＝4（舍），即此时不存在．
综上，绿茶的利润的最小值为3728元．
故答案为：3728．
【点评】本题主要考查一次方程的应用，设出未知数，根据题干中的信息得出m，n之间的关系是解题关键．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
27．（10分）为丰富学生们的课余生活，学校购进一批象棋和围棋供学生们课外活动使用．其中购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元．已知购买一副围棋比购买一副象棋多花15元．
（1）求购买一副围棋，一副象棋各需多少元？
（2）随着同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购进象棋和围棋共40副，正好赶上商场双十一活动，象棋售价比第一次购买时减少3元，围棋按第一次购买时售价的8.8折出售，如果学校此次购买象棋和围棋的总费用不超过第一次花费的68%，则学校至少购买象棋多少副？
【分析】（1）设购买一副围棋需x元，一副象棋需y元，根据“购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元；购买一副围棋比购买一副象棋多花15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m副象棋，则购买（40﹣m）副围棋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过第一次花费的68%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一副围棋需x元，一副象棋需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副围棋需50元，一副象棋需35元．
（2）设学校购买m副象棋，则购买（40﹣m）副围棋，
依题意得：（35﹣3）m+50×88%（40﹣m）≤2400×68%，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为11．
答：学校至少购买象棋11副．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28．（10分）材料一：一个四位数M＝各个数位上的数字均不为零，去掉千位上的数字得到一个新的三位数称为“去千数”，去掉百位上的数字得到一个新的三位数称为“去百数”，去掉十位上的数字得到一个新的三位数称为“去十数”，去掉个位上的数字得到一个新的三位数称为“去个数”，记．例如：1234的“去千数”为234，“去百数”为134，“去十数”为124，“去个数”为123，则P（1234）＝＝205．
材料二：若一个三位数N＝，记Q（N）＝x2﹣2y﹣3z．
（1）已知一个四位数3176，则P（3176）＝ 395 ．若3176的“去百数”记为C，则Q（C）＝ ﹣23 ．
（2）已知一个四位数，它的“去千数”记为A，“去十数”记为B，且满足Q（A）+Q（B）+54＝0．求这个四位数．
【分析】（1）根据新定义的意义求解；
（2）根据题意列方程，再用代入验证的方法求方程的整数解．
【解答】解：（1）P（3176）＝（176+376+316+317）＝395，
∵C＝376，
∴Q（376）＝32﹣2×7﹣3×6＝﹣23，
故答案为：395，﹣23；
（2）由题意得：A＝，B＝，Q（A）＝a²﹣2b﹣3c，Q（B）＝4﹣2a﹣3c，
∴a²﹣2b﹣3c+4﹣2a﹣3c+54＝0，
∴a²﹣2b﹣6c﹣2a+58＝0，即：（a﹣1）2＝2（b+3c）﹣57，
∵a，b，c都是0到9之间的整数，
∴a＝2，b＝2，c＝9或a＝4，b＝6，c＝9，或a＝，2，b＝9，c＝8，
∴这个四位数为：2229，2469，2298．
【点评】本题考查了因式分解的应用，代入验证求整数解是解题的关键．
29．（10分）已知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，连接AF'，CF′．交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F′D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝16，求整个运动过程中GF的最小值．
【分析】（1）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，证明△ABE≌△CBP（ASA），则BE＝BP，可得△BEP是等边三角形，求出∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝∠AEB＝60°，即可得BE平分∠AED；
（2）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FQ∥BE交AE于Q，证明△GFQ≌△GBE（ASA），可得FQ＝BE，由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，可得FQ＝BP，根据线段的和差以及三角形外交的性质得∠D＝∠CBE＝∠CAE，再证△AFQ≌△DBP（AAS），即可得出结论；
（3）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，证明△AFN≌△DBP（AAS），则FG＝BG，当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，根据S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝48，可得AB＝8，即可得出整个运动过程中GF的最小值为6．
【解答】（1）证明：在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠EBP＝∠AEC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBP，∠BCP＝∠BAE，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE＝BP，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∴BE平分∠AED；
（2）证明：过点F作FQ∥BE交AE于Q，
∵FQ∥BE，
∴∠GFQ＝∠GBE，∠FQG＝∠BEG，
∵点G为BF中点，
∴GF＝GB，
∴△GFQ≌△GBE（ASA），
∴FQ＝BE，
由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，
∴∠FQG＝∠BEG＝60°，FQ＝BP，
∴∠AQF＝∠DPB＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠D+∠BED＝∠ABC＝∠CBE，∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CBE＝∠CAE，
∴△AFQ≌△DBP（AAS），
∴AF＝BD；
（3）解：如图3，在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，
∴∠FNG＝∠GEB＝60°，
∴∠ANF＝∠DPB＝120°，
由（2）知，∠FAN＝∠BDP，
∵AF＝BD，
∴△AFN≌△DBP（AAS），
∴FN＝BP＝BE，
∵FN∥BE，
∴∠FNG＝∠BEG，∠NFG＝∠EBG，
∴△FGN≌△BGE（ASA），
∴FG＝BG，
当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AH＝AB，∠ACH＝30°，
在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，
∴S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝（16﹣AB）•AB＝48，
∴AB＝8，
∵S△ABC＝AB•CH＝AC•BF，AB＝AC，
∴BF＝CH＝AB＝×8＝12，
∴GF＝BF＝6，即整个运动过程中GF的最小值为6．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
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