2022重庆市七校高二上学期期末考试数学试题含答案

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2021-2022学年度第一学期期末七校联考高二数学试题参考答案一、选择题题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＤＣＡＤＣＡＡＢＣＡＣＤＡＤＡＢＤ二、填空题13、      4      14、  60     15、  3     16、  4  ；三、解答题解（Ⅰ）由，有  ①        .......................................1分又，有       ②        .......................................2分又因为公差不为零，由①②解得  ，       .......................................4分从而.                              .......................................5分（Ⅱ）由已知，             .......................................7分                           .......................................8分                                                    .......................................10分 解（Ⅰ）由 ， 得圆心.             .......................................2分   又圆过点，则，.   .....................................4分从而圆的标准方程为              .....................................5分   （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，此时与圆相切，则直线的方程为.                                                      .......................................7分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由已知，圆心到直线的距离，解得                                                      .......................................10分则直线的方程为.                  .......................................11分综上所述，直线的方程为或   .......................................12分19.（Ⅰ）证明：取线段的中点，连接､.因为在中，，且，  .......................................2分所以，所以四边形是平行四边形，.......................................4分所以，又平面平面，所以平面.                         .......................................5分（Ⅱ）因为，所以.因为平面平面，所以.所以､､两两垂直，所以以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系 ........................................6分设平面的法向量为，，，，，则，从而有令，得，所以.             ......................................9分又，则 ...............................11分所以点到平面的距离为.                   ......................................12分（注：本小问用等体积法求解也可.）20.（Ⅰ）由已知，双曲线的离心率      ......................................1分      则                                    .....................................2分所以抛物线的方程为 .                  .....................................3分（Ⅱ）因为点在上，则，从而.   .....................................4分设点，显然直线的斜率不为0. .....................................5分设直线，由， 有   所以，，   .....................................6分因为，则.             .....................................7分又因为在抛物线上，所以则，所以，即    .....................................10分从而，即.                .....................................11分即直线，即，所以直线过定点.                                                 .....................................12分（Ⅰ）由，即△为等腰直角三角形，又是直角梯形且，且，所以，因为，故为等腰直角三角形，所以，，，又，，∴，，又，即，∴四边形为平行四边形，则.又，故，                       .....................................2分由底面，面，则.    .....................................3分又，∴面，而面，∴平面平面.             ....................................4分（Ⅱ）直线与平面所成角的平面角为，则，.                      ....................................5分如下图，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.∴，，∴，若是面的一个法向量，则，令有，                         ....................................7分易知，是面的一个法向量， ∴.  又二面角为锐二面角，     ∴当直线与平面所成的角为时，二面角的余弦值为.                                                ....................................9分（III）在第（Ⅱ）问条件下，线段上不存在点，使得平面，理由如下：，是面的一个法向量.                                              ....................................10分设，则，       从而.        若平面，则，解得，不合题意，所以线段上不存在点，使得平面.    ....................................12分（Ⅰ）设，则，从而有.   ...................1分   化简得，                           ....................................2分又因为，所以点的轨迹方程为                                             ....................................3分（Ⅱ）由消，得设，则，恒成立.                                              ....................................5分则，   ....................................6分由   得   所以，则. 由得，即为两点的坐标.  ...................................8分所以点到直线的距离之和为=2，                                                   ...................................10分                       则=××= 又因为，故的取值范围为.            ...................................12分