江苏地区2022学年八年级上学期数学期末真题压轴精选——解答题30道

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江苏地区2022学年八年级上学期数学期末真题压轴精选
【解答题30道】

一、解答题
1．（2021·江苏淮安期末）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．

(1)根据图象信息，当_________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为_________米/分钟；
(2)图中点的坐标为_________；
(3)求线段所在直线的函数表达式；
(4)在整个过程中，何时两人相距400米？
【答案】(1)24，40；
(2)（40，1600）；
(3)
(4)第20分钟和28分钟时两人相距400米．

【分析】（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标；
（3）运用待定系数法求解即可；
（4）分相遇前后两种情况解答即可．
（1）
解：根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40（米/分钟）．
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，
∴乙的速度为10040=60（米/分钟）．
故答案为：24，40；
（2）
解：乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40（分钟），
40×40=1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
故答案为：（40，1600）；
（3）
解：设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，
解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为；
（4）
解：两种情况：①迎面：（2400-400）÷100=20（分钟），
②走过：（2400+400）÷100=28（分钟），
∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
2．（2022·江苏盐城期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．

(1)直线l1的表达式为 　 　；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）

【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
【详解】（1）由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，

∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）如图2，

由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
3．（2022·江苏盐城期末）已知正比例函数与一次函数y＝﹣3x﹣5的图像交于点A，且OA＝OB．

(1)求点A坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请问这样的点P有几个不同的位置？简述理由．
【答案】(1)A（﹣3，4）
(2)
(3)4个，理由见解析

【分析】（1）联立方程组求解即可得出点A的坐标；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，即可得到点B的坐标，根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，分别进行讨论计算即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得：，
解得，
∴A（﹣3，4）；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，
∴B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∴S△AOB＝×5×3＝；
（3）由（2）知，OB＝5．
∵OA＝OB，
∴OA＝5．
设P（m，0），
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，

①当OA＝OP时，
∴|m|＝5，
解得：m＝﹣5或5，
∴P1（5，0），P2（﹣5，0）；
②当OA＝AP时，点O与点P关于直线x＝﹣3对称，
∴P（﹣6，0）；
③当OP＝AP时，点P为线段OA的垂直平分线与x轴的交点，
OA的中点坐标为（﹣，2），
设过OA中点且与OA垂直的直线解析式为y＝x+b，
将（﹣，2）代入，得：2＝﹣×+b，
解得：b＝，
∴y＝x+，
令y＝0，得0＝x+，
解得：x＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（﹣6，0）或（﹣，0），共有4个点符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，一次函数与二元一次方程组的应用，等腰三角形的性质，坐标与图形性质等知识点，学会应用分类讨论思想是解题关键．
4．（2022·江苏无锡期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围；
（3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．


【答案】（1）（12，9）；（2）E(12，2m+12)，﹣6≤m≤﹣；（3）m=﹣4
【分析】（1）先由直线y＝x﹣12求得A、B的坐标，再将A的横坐标即为C的横坐标代入直线y＝x即可求得C的坐标；
（2）用m表示点D坐标为（m+12，m），根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△OGD≌△DPE，则有EP=DG，再根据点E在线段AC上可求得点E坐标和m的取值范围；
（3）根据点B、E坐标求出直线BE的表达式，根据题意可求得点F的坐标为（6，m），根据EF=DF﹣2m和两点间距离公式即可求得m的值．
【详解】解：（1）∵直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴令x=0，则y=0﹣12=﹣12，∴B（0，﹣12），
令y=0，由0=x﹣12得：x=12，∴A(12，0)，
∵过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，
∴将x=12代入y＝x中，得：y=9，
∴点C坐标为（12，9）,
故答案为：（12，9）；
（2）∵D点是线段AB上一点且D点的纵坐标为m，
∴D（m+12，m），
延长EA交直线GD于P，如图1，
由题意知， ∠EPD=∠DGO=90°，P(12，m)，
∵△ODE是等腰直角三角形且∠ODE=90°，
∴OD=DE， ∠ODG=∠DEP,
∴△OGD≌△DPE（AAS），
∴EP=GD=m+12，
∴EA=EP﹣AP=2m+12，
∵E点在线段AC上，
∴E(12，2m+12)，
由0≤2m+12≤9得：﹣6≤m≤﹣，
即点E坐标为（12，2m+12），m的取值范围为﹣6≤m≤﹣；

（3）设直线BE的表达式为y=kx+b，
将B(0，﹣12)、E（12，2m+12）代入，
得：，解得：，
∴设直线BE的表达式为y= x﹣12，
由题意，将y=m代入y= x﹣12中，解得：x=6，
∴F(6，m)，
∵EF=DF﹣2m，
∴=（m+12﹣6）﹣2m，
解得：m=﹣4．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及求直线与坐标轴的交点、求两直线的交点坐标、坐标与图形、待定系数法求直线表达式、两点间距离公式、全等三角形的判定与性质、解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，解答的关键是仔细审题，寻找知识点的关联点，利用数形结合等思想方法进行探究、推理和计算．
5．（2022·江苏盐城期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，0)，点B在y轴的正半轴上，且=24.
  (1)求点B坐标；
  (2)若点P从B出发沿y轴负半轴方向运动，速度每秒2个单位，运动时间t秒，△AOP的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
  (3)在(2)的条件下，若S△AOP：S△ABP=1:3，且S△AOP+S△ABP=S△AOB，在线段AB的垂直平分线上是否存在点Q，使得△AOQ的面积与△BPQ的面积相等？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
      
【答案】（1）点 B的坐标为（0,8）（2）S=24-6t (0≤t4)；(3)点Q的坐标为(-1,1)或（7,7）.
【分析】（1）根据三角形的面积公式求出OB的长即可；
（2）分0≤t0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P

(1)若点P恰好落在AO上，求t的值；
(2)若CP⊥OA，求t的值；
(3)当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由
【答案】(1)t
(2)t的值为1或3
(3)∠APB＝90°，理由见解析

【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性质求出CD，再勾股定理求出AD即可；
（2）分两种情形：分别画出图形，求出AD即可解决问题；
（3）结论：∠APB＝90°是定值．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．
(1)
解：如图1中，

∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝8，
∴AB4，
∵CA＝CP，CD⊥PA，
∴AD＝PD，
∵AC＝CB＝2，
∴CDAC，
∴AD3，
∴t；
(2)
解：如图2﹣1中，当CP⊥OA设CP交OA于点F．

∵∠A＝30°，∠CFA＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCA＝∠DCP＝30°，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴CD＝DA＝2DF，
∵AF＝3，
∴AD＝CD＝2，DF＝1，
∴t1；
如图2﹣2中，当CP⊥OA，设PC的延长线交AO于点F．同法可证AF＝DF＝3，

∴AD＝AF+DF＝6，
∴t3．
综上所述，满足条件的t的值为1或3．
(3)
结论：∠APB＝90°是定值．
理由：如图3中，

∵CA＝CB＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA，∠CPB＝∠CBP，
∵∠CAP+∠APB+∠ABP＝180°，
∴2∠CAP+2∠CBP＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝90°，
∴∠APB＝90°．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
25．（2022·江苏泰州期末）如图1，与是共顶点的两个等腰三角形，其中，，，连接、．

(1)求证：；
(2)如图2，固定，将绕点旋转，若，，，当点旋转到线段上时，求的长；
(3)如图3，设为、的交点，、分别为、的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)3或17
(3)α+2β=180°，理由见解析

【分析】（1）由等腰三角形的性质可知AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，再利用SAS可证明△BAD≌△CAE，得CE=BD；
（2）过点A作AP⊥BC于P，连接CE，根据BC=20，S△ABC=240，得AP=24，可知点D在CP或BP上，利用勾股定理解决问题；
（3）连接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），得∠ADB=∠AEC，BD=CE，再利用SAS证明△ADG≌△AEH，得∠AHE=∠AGD=∠AGH+∠FGH，AG=AH，从而解决问题．
（1）
解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD；
（2）
如图，过点A作AP⊥BC于P，连接CE，

由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∵BC=20，S△ABC=240，
∴AP=24，
当点D在CP上时，
在Rt△APD中，PD2=AD2-AP2=49，
∴PD=7，
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴P为BC的中点，
∴BP=CP，
∵BC=20，
∴BP=10，
∴BD=17，
∴CE=BD=17，
当点D在BP上时，同理可知CE=BD=10-7=3，
综上所述：CE=3或17；
（3）
α+2β=180°，理由如下：
如图，连接AH，

由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∵G，H分别为BD，CE的中点，
∴DG=EH，
∵∠ADB=∠AEC，DG=EH，AD=AE，
∴△ADG≌△AEH（SAS），
∴∠AHE=∠AGD=∠AGH+∠FGH，AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∵∠FHG+∠AHG+∠AHE=180°，
∴∠FHG+∠AGH+∠AGH+∠FGH=180°，
∵∠BFC=∠FGH+∠FHG，∠BFC=α，∠AGH=β，
∴α+2β=180°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉基本模型证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
26．（2022·江苏扬州期末）已知，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A、点B，与直线 相交于点C，过点B作轴的平行线l.点P是直线l上的一个动点.
（1）求点A，点B的坐标.
（2）若，求点P的坐标.
（3）若点E是直线上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标.

【答案】（1），；（2）或者；（3）点坐标为：或或或.
【分析】（1）由一次函数解析式可直接求解；
（2）由两直线解析式求出交点C的坐标，再由面积相等求出线段BP的长度，继而得出点P的坐标；
（3）设点E(x,)，根据两点间的距离公式求出AP，PE，AE，根据已知条件可得，AP=PE，，列方程组求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴，；
（2）联立  
解得：，
∴为．
∴．
∴，
解得：．
∴或．        
（3）若△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形，则有AP=PE，，设点E坐标为E(x,)，A(8,0)，
∵或
∴当时，有

化简求解即可，同理可得出当时，点E的坐标，
综上所述，点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，熟练掌握距离公式以及解二元一次方程组和一元二次方程组是解题的关键.
27．（2022·江苏泰州期末）
(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰RtΔACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（2，3）处．则：
①OA的长为 ；
②点B的坐标为 ．
(2)感悟应用：如图2，在平面直角坐标系xOy中，将等腰RtΔACB如图放置，直角顶点C（-2，0），点A（0，5），试求直线AB的函数表达式．
(3)拓展研究：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，4），过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝3x-10上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰RtΔAPQ，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，②（﹣3，2）
(2)直线AB的函数表达式yx+5
(3)存在，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．

【分析】（1）由A（2，3）可得，OF＝2，AF＝3，OA，由“AAS”可证△BEO≌△OFA，BE＝OF＝2，OE＝AF＝3，可得结论；
（2）同（1）可证△BHC≌△COA，可得HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，可得点B（﹣7，2）．利用待定系数法可求一次函数解析式；
（3）分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰Rt△APQ构建一线三直角，从而求解．
(1)
解：如图1，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，

∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，
∴∠BOE＝∠FAO，
∵A（2，3），
∴OF＝2，AF＝3，OA，
∵∠BEO＝∠AFO，AO＝OB，∠BOE＝∠FAO，
∴△BEO≌△OFA（AAS），
∴BE＝OF＝2，OE＝AF＝3，
∴B（﹣3，2）．
故答案为：，（﹣3，2）；
(2)
如图2，过点B作BH⊥x轴于点H，

∴∠BHO＝∠AOC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACO+∠CAO＝90°＝∠ACO+∠BCH，
∴∠CAO＝∠BCH，
又∵∠AOC＝∠BHC＝90°，AC＝CB，
∴△BHC≌△COA（AAS），
∴HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，
OH＝HC+CO＝5+2＝7，
∴B（﹣7，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线AB的函数表达式yx+5；
(3)
如图3，设Q（t，3t﹣10），分两种情况：
①当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．

∵∠AP1Q1＝90°，
∴∠AP1B+∠Q1P1M＝90°，
∵∠AP1B+∠BAP1＝90°，
∴∠BAP1＝Q1P1M，
在△AP1B与△P1Q1M中，
，
∴△AP1B≌△P1Q1M（AAS），
∴BP1＝Q1M，P1M＝AB＝5，
∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），
∴MQ1＝5﹣t，BP1＝BM﹣P1M＝[4﹣（3t﹣10）]﹣5＝﹣3t+9，
∴5﹣t＝﹣3t+9，
解得 t＝2，
∴BP1＝﹣3t+9＝3，
∴P1（5，1）；
②当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．
同理可证△ABP2≌△P2NQ2．
∴BP2＝NQ2，NP2＝AB＝5，
∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），
∴NQ2＝t﹣5，BP2＝P2N﹣NB＝5﹣（3t﹣10﹣4）＝19﹣3t，
∴t﹣5＝19﹣3t，
解得t＝6，
即BP2＝1，
∴P2的坐标为（5，3）．
综上，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．
28．（2022·江苏盐城期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)试说明CD＝CE．
(3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或

【分析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式；
（2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE；
（3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题．
（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得，，解得∴直线l2：y＝-2x+2；
（2）当-2x+2= x﹣4时，x=2∴E(2，-2)∴∴∴CD＝CE；
（3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE，∴点P在l1上有两个位置，①当点P在点B上方时，如图，∵OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y=-2x，∴-2x=x-4∴∴∴②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴∴直线OQ的解析式为：y=2x∴2x= x-4∴x=-4∴y=-8∴P'（-4，-8）综上所述：或（-4，-8）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键．
29．（2022·江苏镇江期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图．

【知识理解】
(1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q．
①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　；
②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)；
③△PAQ是　　 三角形；
【知识运用】
(2)如图2，已知直线与x轴交于点A．
①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　；
②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　；
【知识迁移】
(3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　；
(4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　．
【答案】(1)①；②；③等腰直角；
(2)①或；②；
(3)；
(4)．

【分析】（1）①由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得；
②过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，则，，可求点坐标；
③由，，可判断三角形形状；
（2）①设点关于点的“顺转点”为，当点在轴坐标轴时，轴，可求；当点在轴正半轴时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，可得点纵坐标为，则可求；
②设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，先证明，可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为；
（3）设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N．先证明，推出， ，进而得到，利用待定系数法即可求解；
（4）设点，，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，由，，求出，则，当最短时．
（1）
解：①，，点关于点的“顺转点”为点，
，，
，
故答案为：；
②如图1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

，
，
，
，
又∵，，
，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；
③∵点P关于点A的“顺转点”为点Q，
∴，，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角
（2）
解：①设点关于点的“顺转点”为，
当点在轴坐标轴时，轴，
，点在直线上，
将代入得，，
；
如图2，当点在轴正半轴时，

过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
又∵，，
，
，，
，
，
点纵坐标为，
点在直线上，
将代入得，，
；
综上所述：点坐标为或；
故答案为：或；
②如图3，设，

∵直线与x轴交于点A，
∴．
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
又∵，，
，
，，
，
，，
∴点F的纵坐标为：，
点F的横坐标为：，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
故答案为：；
（3）
解：∵直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，
令，则，
，
，
如图4，设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N．

将代入y=-2x+2得，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵，，
，
， ，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
故答案为：；
（4）
解：设点，，
如图5，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
当时，最短，
，
故答案为：．

【点睛】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质、三角形全等的判定及性质等，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
30．（2022·江苏扬州期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．

【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）（1，3），（4，4），（3，2）；（3）
【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），即可求解；
（2）分三种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝BA；当∠ABC＝90°，AB＝BC时；当∠ACB＝90°，AC＝BC时；分别构造三角形全等，由（1）的结论求解即可；
（3）在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，通过证明△AEC≌△CDB（SAS），确定B点在直线y＝x﹣1上运动，作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，求出A'（2，﹣1），在求出OA'即为所求．
【详解】解：（1）△AED是等腰直角三角形，理由如下：
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB＝∠EDC，∠BAE＝∠DEC，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）①如图1，当∠CAB＝90°时，AC＝BA，

过点B作BH⊥x轴交于H点，过点C作GC⊥x轴交于点G，
由（1）可得△ACG≌△BAH（AAS），
∴CG＝AH，AG＝BH，
∵A（2，0），点B（5，1），
∴BH＝AG＝1，AH＝3，
∴C（1，3）；
②如图2，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，

过点B作LK⊥x轴交x轴于点L，过点C作CK⊥LK交于点K，
由（1）可得△ABL≌△BCK（AAS），
∴AL＝BK，BL＝CK，
∵点A（2，0），点B（5，1），
∴BL＝CK＝1，AL＝BK＝3，
∴C（4，4）；   
③如图3，当∠ACB＝90°，AC＝BC时，

过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥x轴交EF于点E，过点B作BF⊥x轴交EF于点F，
由（1）可得△EAC≌△FCB（AAS），
∴EC＝BF，AE＝CF，
∵点A（2，0），点B（5，1），
∴EF＝3，CE＝BF，AE＝CF，
设C（x，y），
∴BF＝y﹣1，AE＝y，
∴y﹣1+y＝3，
∴y＝2，
∴AE＝2，EC＝1，
∴C（3，2）；
综上所述：C点坐标为（4，4）或（1，3）或C（3，2）；
（3）如图4，在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°+∠OCA，
∵∠EAC＝90°+∠OCA，
∴∠DCB＝∠EAC，
∵EA＝CD，AC＝BC，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ECA＝∠DBC，
∵∠ECA+∠ECB＝90°，
∴∠DBC+∠ECB＝90°，
∴BD⊥EC，
∵OC＝OE，
∴∠ECO＝∠BDC＝45°，
∴∠ODG＝45°，
∴G（0，﹣1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣1，
∴B点在直线y＝x﹣1上运动，
作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，
∴OB＝BA'，
∴AB+OB＝AB+BA'≥OA'，
∴当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，
∵GD垂直平分AA'，GA＝GA'，AD＝GD，
∴A'G⊥AG，
∴A'（2，﹣1），
∴OA'，
∴AB+OB的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．