2021-2022学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了【答案】A，【答案】B，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷     已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D.     在复平面内，复数对应的点位于.(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限    已知a，，那么“”是“”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件    已知抛物线C：上一点P到抛物线C的焦点的距离为5，则点P到y轴的距离为(    )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5    在的展开式中，x的系数为(    )A.  B.  C. 5 D. 10    如图，在正方体中，过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3    已知函数的最小正周期为，则(    )A. 在内单调递增 B. 在内单调递减
C. 在内单调递增 D. 在内单调递减    在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为(    )A.  B.  C. 2 D.     算盘是中国传统的计算工具，东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是(    )
 A.  B.  C.  D. 若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为______.已知向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______.
若函数，对任意的都满足，则常数的一个取值为______.在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个容器：容器上部为圆锥形，底面直径为10cm；下部为圆柱形，底面直径和高均为如图所示，他希望当如图放置的容器内液体高度为2cm时，把容器倒置后，液体恰好充满圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为______
 已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，前n项乘积为，，，则：
①数列的通项公式______；
②满足的最大正整数n的值为______.在中，
求A；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：；
条件②：，如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面ABCD，E是PB的中点，PC与平面ADE交于点F，，
求证：F是PC的中点；
若M为棱PD上一点，且直线PA与平面EFM所成的角的正弦值为，求的值．
随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：

从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”．
现在从这10所学校中随机选取3所，记X为其中的“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；
为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行培训并考核．要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”．已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，参训后该同学考核为“优秀”．能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由．已知函数
若，求曲线在点处的切线方程；
若曲线在直线的上方，求实数a的取值范围．已知椭圆C：过点，
求椭圆C的方程；
过点的直线与椭圆C交于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，求证：线段PQ的中点为定点．已知等差数列A：，，…，…，若存在有穷等比数列B：，，…，，其中，公比为q，满足，其中，3…，N，则称数列B为数列A的长度为N的“等比伴随数列”．
数列的通项公式为，写出数列的一个长度为4的“等比伴随数列”；
等差数列的公差为d，若存在长度为5的“等比伴随数列”，其中，求d的最大值；
数列A的通项公式为，数列B为数列A的长度为N的“等比伴随数列”，求N的最大值．
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：集合或，
，

故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．
把给出的复数运用复数的除法运算整理成的形式，得到复数的实部和虚部，则答案可求．【解答】解：由知复数的实部为，虚部为
所以，复数对应的点位于第二象限．
故选：  3.【答案】A 【解析】解：由，可得，能够推出，故是的充分条件，
由，不能推出，故是的不必要条件，
综上，是的充分不必要条件，
故选：
利用充要条件的定义即可求得答案．
本题考查了充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：抛物线C：的准线方程为，
到抛物线C的焦点的距离为5，
点P到y轴的距离为，
故选：
根据抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求出．
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
 5.【答案】D 【解析】解：展开式的通项公式，
由得，得，
即x次项为，即x的系数为10，
故选：
求出展开式的通项公式，令x的次数为1，求出k的值进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
 6.【答案】C 【解析】解：过点A的面对角线一共有三条：AC，，，连接AC，，，
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正方体中棱长为1，
则，，，，，
，，，，
，，，
点A且与直线垂直的所有面对角线有AC，，共2条．
故选：
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．
本题考查线线垂直的判断，考查正方体的结构特征、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 7.【答案】B 【解析】解：已知函数的最小正周期为，
所以，故；
当时，，
所以函数在内单调递减；
当时，；
所以函数在内不单调；
故选：
首先求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的关系式的求法，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 8.【答案】D 【解析】解：点到直线的距离，
当 时，d取得最大值
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及正弦函数的性质，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，以及正弦函数的性质，属于基础题．
 9.【答案】C 【解析】解：从个位，十位和百位这三档中随机拨动2粒，得到的整数共有18个，
分别为：2，6，20，60，200，600，11，55，51，15，101，105，501，505，110，150，510，550，
其中算盘表示的整数能够被3整除的有，9个，分别为：6，60，600，51，15，105，501，150，510，
故所求概率为
故选：
逐一列举出从个位，十位和百位这三档中随机拨动2粒，得到的整数并确定总量，再确定其中能够被3整除的个数，进一步即可利用古典概型概率计算公式进行求解．
本题考查古典概型概率计算公式，解题的关键在于仔细审题，读懂题意，准确运用古典概率计算公式进行求解．
 10.【答案】D 【解析】解：因为单调递增，先减后增，
故①，当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得；
当时，没有零点，当时，有两个零点，则要求或，
解得：；
综上：实数m的取值范围是
故选：
分两种情况，第一种是与在各自定义域内各有一个零点；第二种是在定义域内没有零点，在定义域内有两个零点．
本题考查了分段函数的零点问题，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：双曲线的一个焦点的坐标是，
，
，
解得，

故答案为：
根据双曲线的方程和离心率公式即可求出．
本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，所以，
又因为与的夹角为，且，，
所以
故答案为：0；
根据平面向量数量积的运算法则，即可得解．
本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：由，即，
即，
即，
又，
所以，
所以，，
即常数的一个取值为
故答案为：
由，代入利用两角和与差的余弦公式化简即可．
本题主要考查了两角和与差的余弦公式在三角函数化简中的应用，考查了余弦函数的性质，属于基础题．
 14.【答案】6 【解析】解：由图可知，液体的体积为，
圆锥的底面半径为5，设高为h，则，
解得
故答案为：
由已知求得液体的体积，设出圆锥的高，再由圆锥体积公式求解．
本题考查旋转体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】，  10 【解析】解：①当公比为1时，
由，得，，则，与题意矛盾，不成立；
当公比不为1时，设公比为q，
由，得，
，，①
，②
得：，
解得或，舍，
，
由，，
，，
②，，，
，
若，则，，
，
只需要，
即，解得，
满足的最大正整数n的值为
故答案为：，；
设公比为q，根据题意分公比为1和公比不为1进行分类讨论，由，，列方程求出首项和公比，即可求出通项，，根据，转化为二式不等式，从而可得出答案．
本题考查等比数列的通项公式、满足前n项和大于前n项积的n最大值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 16.【答案】解：，，
即，
选①：由可得求得三角形的三个角，这样的三角形存在无数个，不符合题意；
选②：利用正弦定理可得，，又
解得，，
，
边上高线的长为 【解析】利用余弦定理求解即可；
若选①：由可得求得三角形的三个角，这样的三角形存在无数个，不符合题意；
若选②：利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得三角形的三边，从而利用等面积法求高．
本题考查余弦定理与三角形的面积公式，属中档题．
 17.【答案】解：证明：，平面PBC，平面PBC，
平面PBC，
平面ADE，平面平面，
，，
点E是PB的中点，点F是PC的中点．
平面ABCD，AD，平面ABCD，
，，由，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，，
设，，
，
设平面EFM的一个法向量，
则，取，得，
，
设直线PA与平面EFM所成角为，
则，
解得或，
的值为或 【解析】由线面平行的判定定理与性质定理得到，由此能证明F是PC的中点；
建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角公式能求出结果．
本题考查线段中点的证明，考查满足线面角的线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 18.【答案】解：设从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的事件为A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，随机选择3所学校共种，
故
由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为：X 0 1 23 P   故
可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，
理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为：，
集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为集训后总考核达到“优”的概率发生了变化． 【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
先计算小李同学总考核为“优”的概率，集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为集训后总考核达到“优”的概率发生了变化．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 19.【答案】解：当时，，
，故，又，
曲线在点处的切线方程为：，即；
当时，若曲线总在曲线的上方，
则当时，恒成立，
令，
则，
①若，，在上单调递增，又，不满足题意；
②若，令，则，
当，，当，，
故在上单调递减；在上单调递增，
所以，
令，得，
即实数a的取值范围为 【解析】求得，，利用直线的点斜式可求得曲线在点处的切线方程；
依题意得当时，恒成立，令，求导，分与两类讨论，可求得，令，可求得a的取值范围．
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的单调性及最值，考查转化化归思想、分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．
 20.【答案】解：由题设，得
解得
所以椭圆C的方程为：
证明：依题意，直线MN的斜率存在，设其方程为
由得
由，得，即
设，，
则
直线MA的方程为，
令，得点P的纵坐标
同理可得点Q的纵坐标
所以


，
因为
，
所以
所以线段PQ的中点坐标为是定点． 【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于较难题．
根据椭圆过点，，代入椭圆方程求解；
设直线MN的方程为，联立，令，分别求得直线MA，NA与直线的交点P，Q的纵坐标，结合韦达定理，由求解．
 21.【答案】解：数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1，4，16，答案不唯一
由题意，，
即则
又数列：1，4，7，10 符合题意，所以d的最大值为
设长度为N的“等比伴随数列”的公比为q，
则对任意正整数k，当，3，⋯，N时，都有成立，
即对恒成立．
当时，有；
当时，，即；
当时，有恒成立，
即当时，
令，当时，，
所以在单调递减，所以当时，
同理，令，则在上单调递减，
即时，
则，即
令，
当时，，
所以在上单调递减．
又由于，，
所以，存在，使得，
所以N的最大值为 【解析】直接根据新定义即可得出结果；
根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围；
设长度为 N 的“等比伴随数列”的公比为 q，将问题转化为对恒成立，对 k 的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可．
本题考查数列的应用及数列与函数的综合，考查学生的综合能力，属于难题．