2021-2022学年北京市密云区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年北京市密云区高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点且点P的横坐标为，若角的终边与角的终边关于y轴对称，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.     已知，且，，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     若数列满足，，且，则下列说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，且，，则a的值为(    )

A.  B. 2 C.  D. 1

7.     如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点“的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.     已知函数，，则(    )

A. 最大值为2，最小值为1 B. 最大值为，最小值为1
C. 最大值为，最小值为1 D. 最大值为，最小值为

9.     已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则点A到y轴的距离为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在内该学生记忆20个单词．则记忆率k所在区间为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在复平面内，复数对应的点为Z，则点Z的坐标为______.
12. 设的展开式的二项式系数之和为32，则______，其展开式的第三项为______.
13. 已知直线l：过定点A，圆C：，若直线l与圆C相切于点P，则的值为______；使得直线l与圆C相交的k的取值可以是______写出一个即可
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线l：过双曲线C的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为______；若点，则的值为______.
15. 设函数满足条件，，，且在区间上，其中集中给出下列四个结论：
    ①；
    ②函数的值域为；
    ③函数在上单调递增；
    ④函数在上单调递减．
    其中所有正确结论的序号是______.
16. 为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开区间，得到如下频率分布直方图：
    
    记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组、第2组、⋯、第6组，从第5组、第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
    根据上述频率分布直方图，估计月均用电量的样本数据的第90百分位数；
    该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的请根据此次调查的数据，估计w应定为多少合适？只需写出结论
17. 已知函数在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知．
    求的值；
    若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值．
    条件①：的最小正周期为；
    条件②：的最大值与最小值之和为0；
    条件③：
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为正三角形，O为AD的中点，且平面平面ABCD，M是线段PC上的点．
    求证：；
    当点M为线段PC的中点时，求点M到平面PAB的距离；
    是否存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数，
    求曲线在点处的切线方程；
    求函数的单调区间；
    若函数有两个不同的零点，记较大的零点为，证明：当时，
20. 已知椭圆C：过，两点．设M为第一象限内一点且在椭圆C上，直线MA与y轴交于点P，直线MB与x轴交于点
    求椭圆C的方程及离心率；
    设椭圆C的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形APQ的面积；
    指出三角形MPQ的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值只需写出结论
21. 在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”．已知等差数列，其各项与公差d均不为零．
    若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式；
    若，数列为的一个长度为n的“等比子列”，其中，公比为当q最小时，求的通项公式；
    若公比为q的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，，

故选：
由集合A，B进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：由已知可得，则，
因为角的终边与角的终边关于y轴对称，则，
故选：
根据单位圆的定义可得，则可求出的值，然后根据已知即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，
对于B，令，，满足，但，故B错误，
对于C，令，，满足，但，故C错误，
对于D，，，
，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：对于A，是偶函数，但在上不单调，故A不符合题意；
对于B，是偶函数，但在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，是奇函数，不C不符合题意；
对于D，是偶函数，又在上单调递增，故D符合题意．
故选：
根据函数的解析式，结合函数的单调性、奇偶性判断即可．
本题为函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：根据题意，数列满足，，且，即，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，
则，，
故ABD错误，C正确；
故选：
根据题意，分析可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式，分析选项可得答案．
本题考查等比数列的定义以及性质的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由正弦定理及，知，
因为，所以，
因为，所以，
由余弦定理知，，
所以
故选：
利用正弦定理化边为角，求出A的值，再由余弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：函数在上的图象是连续不断的一条曲线，
“”“函数在内有零点“，
反之不成立．
“”是“函数在内有零点“的充分不必要条件．
故选：
函数在上的图象是连续不断的一条曲线，“”“函数在内有零点“，反之不成立．即可判断出结论．
本题考查了函数零点的判定方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，
时，，令，则，
而在上单调递减，
故其最大值是，最小值是1，
故选
化简，根据x的范围求出的范围，结合二次函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．
本题考查了三角函数，二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为点到准线的距离开解决．
根据题意得到p的值，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF，AF，CF的关系，由，即可得到答案．
【解答】
解：焦点F到准线的距离为，
过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，
则∽，
所以，
记，则，
因为，
所以，，
所以，
，，又，，
，
即点A到y轴的距离为
故选：  

10.【答案】A 

【解析】解：将，，代入，
则，其中 单调递减，而，，
而 在上单调递减，
所以，结合单调性可知，，即，
由，其中为连续函数，
故记忆率k所在区间为
故选：
将，，代入，则，再结合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
点Z的坐标是，
故答案为：
根据复数的运算性质求出Z的坐标即可．
本题考查了复数的运算性质，考查转化思想，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可得，则，
所以展开式的第三项为，
故答案为：5；
根据二项式系数和公式求出n的值，然后根据二项式定理求出第三项即可．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由题意可得，
圆的方程即，
结合数量积的定义和圆的性质有：


当直线经过圆心时，直线与圆有两个交点，
此时，
故使得直线l与圆C相交的k的取值可以是答案不唯一
故答案为：16，答案不唯一
首先确定直线经过的定点，然后利用向量数量积的定义和圆的性质即可求得数量积的值，由直线过圆心可以确定一个满足题意的k的值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，平面向量数量积的计算等知识，属于中等题．
 

14.【答案】  

【解析】解：在直线l的方程中，令可得，则，
由于直线l：与双曲线C的一条渐近线平行，则，解得，
因此，双曲线C的方程为；
因为，所以点M在双曲线C的左支上，故
故答案为：；
求出c的值，根据已知条件得出关于a，b的方程组，解出这两个量的值，可得出双曲线C的方程；判断出点M在双曲线C的左支上，利用双曲线的定义可求得的值．
本题考查双曲线的几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】①③ 

【解析】解：由题意知，函数是定义域为 R上的偶函数，且周期为2，
①，又，所以，故①正确；
②当时，，又函数的定义域不含，
所以原分段函数的值域不含，故②错误；
③由，得，且，，
所以函数在上的解析式为，单调递增，故③正确；
④因为函数为 R上的偶函数，
所以在上的图象与在上的图象关于 y轴对称，
而集合 M为断续的数集，则在上的图象大致如图，

由图可知在上不单调，故④错误．
故答案为：①③．
根据题意和周期函数的定义求出即可判断①；
举例说明即可判断②；
求出函数在上的解析式即可判断③；
作出函数的大致图象，利用数形结合的思想即可判断④．
本题考查了函数的奇偶性、周期性及数形结合思想，属于基础题．
 

16.【答案】解：由频率分布直方图可知，100户居民中，第5组的居民数为，
第6组的居民数为，
故从第5组、第6组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于的概率
前4个矩形的面积之和为，
前5个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第90百分位数为a，
则，解得，
故月均用电量的样本数据的第90百分位数为
前5个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第98百分位数为b，
则，解得，
故w应定为325较合适． 

【解析】由频率分布直方图可知，100户居民中，第5组的居民数为，第6组的居民数为，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合第90百分位数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合第98百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：


，
选条件①②：由于最小正周期为，所以，
所以；
由最大值与最小值之和为0，
，，
故，解得，
所以，
故
由于函数在区间上是增函数，
所以，
即，解得，
故a的最大值为
选条件①③：由于最小正周期为，所以，
所以；
由，则，
故，
故；
由于函数在区间上是增函数，
所以，
即，解得，
故a的最大值为
选条件②③：由最大值与最小值之和为0，
，，
故，解得，
所以，
由，则，
故选②③不合题意，
综上：选条件①②时，，a的最大值为，
选条件①③时，，a的最大值为，
选条件②③时，求不出的值，不合题意． 

【解析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式求查出函数的值；
利用整体思想的应用求出函数的单调区间，进一步求出a的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，是中档题．
 

18.【答案】解：证明：连接OC，AC，四边形ABCD是菱形，，
，为等边三角形，
为AD的中点，，
是等边三角形，O为AD的中点，，
，平面POC，
平面POC，，
，
平面平面ABCD，平面平面，
，平面PAD，平面ABCD，
，以点O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面PAB的法向量，
，，，
由，取，得，
点M到平面PAB的距离
设，，
，
直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，
，
整理得，
由，解得，
存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为， 

【解析】连接OC，AC，证明平面POC，利用线面垂直的性质可得出，再结合，可证明；
推导出平面ABCD，以点O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出点M到平面PAB的距离．
设，，则，由直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，利用向量法能求出结果．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，则，所以，，
因此，曲线在点处的切线方程，
即
解：函数的定义域为R，且，
当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，由，可得，
当时，；当时，，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
证明：由可得，
因为函数有两个不同的零点，且较大的零点为，则，
要证对任意的恒成立，
即证对任意的恒成立，
构造函数，其中，则，
所以函数在上单调递减，所以，
因为，则，即，故原不等式得证． 

【解析】求出，，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
分析可得，将所证不等式等价变形为对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
 

20.【答案】解：由题意知，椭圆过点，，
所以，，所以，
所以椭圆C的方程为：，离心率为；
由题意知，，设点，
得，
所以直线MA的方程为：，直线MB的方程为：，
所以，
所以，
故，
要证，只需证，
只需证，
只需证，
又点在椭圆上，
所以，
即，
所以；
三角形MPQ的面积存在最大值．
由知，，得，

，
令，
则，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以，
即当时，有最大值，且最大值为，无最小值．
所以三角形MPQ的面积存在最大值，无最小值，且最大值为 

【解析】根据椭圆过的点的坐标可得，，进而求出c，即可得出结果；
设点，利用两点坐标求出直线MA、MB的方程，求出点P、Q 的坐标，进而表示出和，利用分析法证明即可；
由可得，进而可得，令，利用导数求出即可得出结果．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合问题，属于难题．
 

21.【答案】解：由题可设，，，，
①时，“等比子列”仅可能为：，，，则，无解；
②时，“等比子列“可能为：，，；，，；，，；
经验证：“等比子列”为，，时无解；
“等比子列“为，，时，前4项为：2，4，6，8，通项为；
“等比子列“为，，时，前4项为：，，，，通项为；
由题可知，
，
为递增的等差数列，
要使公比q最小，则，
即，
，
，
又，
，
解得；
证明：由，有，即，
，
，
即，
解得或
，

要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，
用数学归纳法证明：
①由以上推理及题设知的前三项满足，即，2，3时结论成立；
②假设当时，结论成立，即存在使，
当时，




即是的第项．
故时，结论成立．
由①②可知，总有是中的某一项．
综上所述，数列为数列的“等比子列“． 

【解析】“等比子列”可能为：，，；，，；，，；，，，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式；
要使公比q最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式；
要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明．
本题考查了数列的递推式，新定义“等比子列“以及数学归纳法的应用，属于难题．