2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     复数的虚部为(    )

A.  B. 2 C.  D. 1

4.     在的展开式中，x的系数为(    )

A.  B. 4 C.  D. 6

5.     已知角的终边在第三象限，且，则(    )

A.  B. 1 C.  D.

6.     已知是等差数列，是其前n项和，则“”是“对于任意且，”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.     若函数在上单调递增，则m的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 1

8.     已知圆C过点，，则圆心C到原点距离的最小值为(    )

A.  B.  C. 1 D.

9.     如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是(    )

A. 1：3
B. 2：5
C. 3：5
D. 3：4

10. 已知函数，，若对于图象上的任意一点P，在的图象上总存在一点Q，满足，且，则实数(    )

A.  B.  C. 2 D. 4

11. 双曲线的渐近线方程是__________.
12. 已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是__________.
13. 已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：__________.
14. 若，且，则__________，的最大值为__________.
15. 如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
    ①存在点P，使得；
    ②的面积越来越小；
    ③四面体的体积不变．
    所有正确的结论的序号是__________.

16. 在中，
    求的大小：
    再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积．
    条件①：；
    条件②：；
    条件③：
17. 如图，已知长方体中，，为的中点，平面交棱于点
    求证：；
    求二面角的余弦值，并求点A到平面的距离．

18. 某班组织冬奥知识竞赛活动．规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响．乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成．
    求甲至少正确完成其中2道题的概率；
    设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望EX；
    现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由．
19. 已知点在椭圆C：上．
    求椭圆C的方程和离心率；
    设直线l：其中与椭圆C交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，当的面积为时，求k的值．
20. 函数
    求曲线在点处的切线方程；
    当时，求函数在上的最小值；
    直接写出a的一个值，使恒成立，并证明．
21. 已知n行n列的数表中，对任意的…，，…，，都有
    若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记
    若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
    当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
    求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

解不等式求出集合B，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．

【解答】

解：集合，
，
则
故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

利用抛物线方程求解p，然后推出准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题．

【解答】

解：抛物线，可得，
所以抛物线的准线方程为：
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

先化简复数，然后根据虚部的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．

【解答】

解：因为复数，
则复数的虚部为，
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x的系数．

【解答】

解：的展开式的通项公式为，
令，求得，
可得展开式中x的系数为，
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．

【解答】

解：因为角的终边在第三象限，且，
所以，可得，
所以
故选：

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了充分必要条件的判断，涉及等差数列的性质，属于中档题．
根据充分必要条件的定义进行判断．

【解答】

解：因为是等差数列，设公差为d，
若，即，也即，
如果是正项等差数列，当时，显然不成立，故由“”不能推出“对于任意且，”；
反之，“对于任意且，”可以推出“”，即“对于任意且，”，
理由如下：用反证法说明：如果，则数列为递减数列，时，越来越小，故不能满足对于任意且，”；
如果，则数列为常数数列，假设显然在且时不成立；
故假设不成立，
如果，“对于任意且，”可以推出“”，
所以“”是“对于任意且，”的必要不充分条件，
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．

【解答】

解：由，可得当，时函数单调递增，
即，，
当时，，
又函数在上单调递增，
所以，即m的最大值为
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据题意，设圆心C的坐标为，求出圆心C的轨迹为直线，由点到直线的距离公式分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，设圆心C的坐标为，
圆C过点，，则有，
变形可得：，即圆心C在直线上，
圆心C的轨迹为直线，
则圆心C到原点距离的最小值即原点到直线的距离，则其最小值，
故选：

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解．
本题主要考查体积的计算，立体几何的实际应用等知识，属于基础题．

【解答】

解：因为A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，
将两个杯子看成是圆柱体，
所以底面半径比也是，
所以两个杯子的底面积之比为，
所以B杯容积与A杯容积之比，
故选：

10.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数和对数函数的图象及性质和分类讨论思想，难点在于找出x，y之间的关系，属于难题．
设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到x，y的关系式，分析化简知，代入化简即可得解．

【解答】

解：设点，点，
当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；
当，，由，
知，即，即，
又，知，即，
将式代入，得，
由于，，有，
因此有，即，即，
由于，，所以式可知不满足条件，则有，
代入式得，
所以，故
故选：

11.【答案】 

【解析】

【分析】

渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．

【解答】

解：双曲线标准方程为，
其渐近线方程是，
整理得
故答案为

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
空1，总事件数为8，摸出白球事件数为4，可求解；空2总事件数为8，选出的球是白球，则该球选自甲盒的事件数为3，可求解.

【解答】

解：从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是：，
若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域，以及函数的周期性，考查函数思想和推理能力，属于基础题．
考虑三角函数的值域和周期，可得满足条件的一个函数．

【解答】

解：考虑，
可得的值域为，且的最小正周期为1，
的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合．
故答案为：答案不唯一

14.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
根据向量数量积定义及其运算性质计算，再根据余弦函数最值性求解．

【解答】

解：因为，即，所以，
因为


，
，
，，
当，时，等号成立，所以的最大值是，
故答案为：2；

15.【答案】①②③ 

【解析】

【分析】

本题主要考查立体几何中的探索性问题，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出，选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离h，可以判断四面体的体积不变．

【解答】

解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则，，设，
则，，
令，解得：，
存在点P，使得，①正确；
，，，，
设点P到直线距离为d，
则，
所以，
因为，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，
即m从0逐渐变到2，随着m的变大，变小，的面积越来越小，②正确；
以为底，高为点P到上底面的距离h，
因为底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确．
故答案为：①②③．

16.【答案】解：因为，所以，
由余弦定理知，，
因为，所以
选择条件①②：，，
因为，所以，所以，
所以，
故不存在．
选择条件①③：，，
因为，所以，所以，
由正弦定理知，，即，
所以，
故不存在．
选择条件②③：，，
由正弦定理知，，即，所以，
所以，
所以的面积为 

【解析】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
利用余弦定理，即可得解；
选择条件①②：易知，再由，计算可得，故不存在；
选择条件①③：利用正弦定理可得，与“大边对大角”不符合，故不存在；
选择条件②③：先利用正弦定理求得，再由，计算的值，最后根据，得解．
 

17.【答案】证明：由长方体的性质知：面面，又面，
面，又面面，且面，

解：由题设，构建如下空间直角坐标系，则，，
，，，

，
若面的一个法向量为，则，令，则
，而面的一个法向量为，
，即为所求二面角余弦值．
到平面的距离为 

【解析】本题考查利用向量解决空间角，及距离的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
由面面平行的性质可得面，再由线面平行的性质即可证结论．
构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，再求面、面的法向量及直线AC的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角余弦值及线线角余弦值，进而求A到平面的距离．
 

18.【答案】解：设随机变量Y表示甲正确完成题目的个数，
，，
故甲至少正确完成其中2道题的概率
由题意可知，X所有可能取值为1，2，3，
，，，
故X的分布列为：

由可知，，，
，
乙进入下一轮比赛的可能性较大． 

【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属中档题题．
设随机变量Y表示甲正确完成题目的个数，分别求出，，并求和，即可求解．
由题意可知，X所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
由可知，，，通过比较大小，即可求解．
 

19.【答案】解：将点代入方程，
解得，所以椭圆C的方程为，
又，
所以离心率；
联立，整理得，
恒成立，
设点E，F的坐标分别为，，
由韦达定理得，
直线AE的方程为，
令，得，即，
直线AF的方程为，
令，得，即，
，
所以的面积，
即，
解得或，
所以k的值为0或 

【解析】将点代入即可求解椭圆的方程，再利用离心率公式即可求解；
联立，整理得，结合韦达定理，求出点M，N的坐标，可知代入即可求解．
本题考查了椭圆的方程及离心率，直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
所以且，
所以，
所以曲线在点处的切线方程，
即
当，时，
因为，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为
取，以下证明恒成立，
令，即证恒成立，
当时，有，，
所以，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立；
当时，令，
因为，，所以，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立．
综上，恒成立，所以恒成立． 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题
求出及的导函数，从而可得，利用点斜式方程求解即可；
利用导数求出的单调性，即可求解最小值；
取，证明恒成立，令，利用导数分别证得当和时，即可．
 

21.【答案】解：对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表；
对于数表C，当时总有成立，故数表 C 是典型表．
由题设知：当要存在典型表A使得，则需
要使最小，即典型表A中的“1“最少，又时总有，
让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小．
如典型表，有
不存在典型表 A使得
要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1“尽量少，
当n为偶数时，由知：；
当n为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加n个“1，即可满足典型数列，此时； 

【解析】由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可．
根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在．
结合的分析，讨论n为偶数、奇数情况下的最小值．
本题考查归纳推理，考查学生的运算能力，属于中档题．