2021-2022学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，且，则实数a取值的集合是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     复数的实部是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 3i

3.     在的展开式中，x的系数是(    )

A. 10 B.  C. 5 D.

4.     下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(    )

A. 尺 B. 13尺 C. 尺 D. 尺

6.     已知双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     “”是“直线与圆相交”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.     正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着AB旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为下列说法中正确的是(    )

A. 第5个月时，浮萍面积就会超过
B. 浮萍面积每月的增长率不相等
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则
 

10. 某数学兴趣小组研究曲线：和曲线：的性质，下面是四位同学提出的结论：
    甲：曲线关于原点对称；
    乙：曲线，都关于直线对称；
    丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；
    丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积
    四位同学的结论中错误的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

11. 抛物线的顶点到其准线的距离为______.
12. 在中，，，，则__________，的面积__________.
13. 如图，网格纸上小正方形的边长为从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则__________；的最大值为__________.

14. 无穷数列的前n项和记为若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为______.
15. 设函数，给出下列四个结论：
    ①函数的值域是R；
    ②对，方程都有3个实数根；
    ③，使得；
    ④若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是
    其中所有正确结论的序号是______.
16. 已知函数
    求函数的最小正周期；
    在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求函数在上的最小值．
    条件①：的最大值为1；
    条件②：的一个对称中心为；
    条件③：的一条对称轴为
17. 如图，梯形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直，，，，，，点M为棱BE的中点．
    求证：平面ABCD；
    求二面角的余弦值；
    判断直线AM与平面DCEF是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；
    如果不相交，求直线AM到平面DCEF的距离．

18. 某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：单位：统计后分别制成如图的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．
    
    估计实验园的“大果”率；
    现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为X，求X的分布列和数学期望的；
    以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出n的值只需写出结论
19. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且
    求椭圆E的标准方程；
    设直线l与椭圆E交于M，不与点A，B重合两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，判断直线l是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
20. 已知函数，函数，其中
    如果曲线与在处具有公共的切线，求a的值及切线方程；
    如果曲线与有且仅有一个公共点，求a的取值范围．
21. 若数列：，，⋯，满足，则称为E数列．记
    写出一个满足，且的E数列；
    若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
    对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：集合，，且，
实数a取值的集合为
故选：
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，
故z的实部是3，
故选：
根据复数的运算化简z，求出z的实部即可．
本题考查了复数的运算，考查与复数有关的定义，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：因为的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中含x的项的系数为，
故选：
求出展开式的通项公式，再令x的指数为1，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，是偶函数，在区间上是增函数，不符合题意，
对于B，，是幂函数，是奇函数，不符合题意，
对于C，，是余弦函数，既是偶函数又在上单调递减，符合题意，
对于D，，是偶函数，当时，，在区间上为增函数，不符合题意，
故选：
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设影长依次成等差数列，其公差为由题意可得与，求出d，利用等差数列的通项公式求即可．
【解答】
解：设影长依次成等差数列，其公差为
则，，
，，
，
故选：  

6.【答案】A 

【解析】解：双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，
，解得，，
所以双曲线方程为：
故选：
利用双曲线的焦距以及点在渐近线上，求解a，b，即可得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：若直线与圆相交，
则可得，解得，
又，
故是直线与圆相交的必要不充分条件．
故选：
根据直线与圆的位置关系，求得b的范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性．
本题主要考查直线与圆的位置关系，充分条件与必要条件的判定等知识，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：根据题意，取棱AB中点E，连接EC，ED，
因为正四面体的棱长为1，
则，
所以当正四面体绕着AB旋转时，形成的几何体为两个底面重合的圆锥，
其底面圆的半径为，顶点为A，B点，
顶点A，B到底面圆的距离均为，
故所求几何体的体积为
故选：
取棱AB中点E，连接EC，ED，故，进而得形成的几何体为两个底面重合的圆锥，其底面圆的半径为，顶点为A，B点，顶点A，B到底面圆的距离均为，再计算圆锥的体积即可得答案．
本题考查了立体几何中的旋转问题，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为，
由图可得，函数过点，
故，
对于A，第4个月时，浮萍面积为，就会超过，故A错误，
对于B，，
每月的增长率为2，故B错误，
对于C，第2个月增加了，第三个月增加了，故C错误，
对于D，浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，
，，，
，故D正确．
故选：
根据已知条件，求出函数的解析式，再结合增长率公式，以及对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了简单的合情推理，考查了曲线与方程、曲线与函数的关系，是较难题．
利用曲线的对称性判断甲、乙说法的正误，选择和作为参考，判断丙、丁说法的正误．

【解答】

解：甲说法：若在曲线上，即，所以，即点在曲线上，所以曲线关于原点对称，
故甲说法正确，
乙说法：对曲线，交换x，y得，方程不变，所以关于对称，对曲线，交换x，y得，方程不变，所以关于对称，故乙说法正确，
丙说法：选择作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
对，第一象限均有，，
此时，，等号不能同时取得，所以，
所以时，，且时，，
所以曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，
故丙说法不正确，
丁说法：选择作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
由，得
此时，等号不能同时取得，所以，
所以时，，且时，，
即曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，
故丁说法正确，
故选：

11.【答案】1 

【解析】解：抛物线，
，即，
抛物线的顶点到其准线的距离为
故答案为：
根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 

12.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．

【解答】

解：由余弦定理可得，
则，
，
，

故答案为：4，

13.【答案】0

4

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力，属于基础题．
建立坐标系，求出各个向量的坐标，再求出数量积，进而求解结论．

【解答】

解：建立如图所示坐标系，

则，，，，，，，，，，，，，
，，
，，，，，，，，
故，的最大值为：
故答案为：0；

14.【答案】 

【解析】解：因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造，
故答案为：
根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列．
本题考查数列的单调性，数列的函数特性，是基础题．
 

15.【答案】①③④ 

【解析】解：因为函数，
其图象如下图所示：

对于①，由图可知，其值域是R，故①正确；
对于②，由图可知，当时，方程只有2个实数根，故②不正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数，，满足，
当满足时，由图可知，
即，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
从而可知，
所以，故④正确．
故答案为：①③④．
画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论．
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
 

16.【答案】解：因为

，
故函数的最小正周期
若选择条件①：
由的最大值为1，可知，所以，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
若选择条件②：
由的一个对称中心为，
可知，所以，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
选择条件③：
由的一条对称轴为，实数m的值无法确定，不满足题意. 

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
利用三角恒等变换化简为标准型，再求最小正周期即可；
分别讨论条件①②③对应的m是否唯一确定，在满足题意的情况下求其最小值即可．
 

17.【答案】证明：因为平面平面ABEF，平面平面，
又因为，，所以，所以平面
解：因为，所以，再由知AD、AB、AF两两垂直，
建系如图，，，，，，
，，，
令，，
因为，，所以是平面DFB的法向量，
因为，，所以是平面DFC的法向量，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
解：延长FE、AM交于P点，
因为平面CDFE，所以平面，
因为，M是BE中点，所以，所以，
所以 

【解析】只要证明即可；用向量数量积计算二面角余弦值；延长FE、AM交于P点，即是直线与平面交点，解直角三角求AP即可．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
 

18.【答案】解：由实验园的频率分布直方图可得，，
故估计实验园的“大果”率为
由对照园的频率分布直方图可得，这100个果实中大果的个数为个，
采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个，
从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为X，则X所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列为：

故
由题意可知，，，，
要使最大，则 且，解得，
故 

【解析】根据实验园的频率分布直方图可得，，即可求解．
结合分层抽样可得，X所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：由离心率为，
因为A，B为椭圆的上、下顶点，且，
所以，即，
又，
解得，
所以椭圆E的标准方程为；
直线l经过定点，证明如下：
①当直线l的斜率存在时，设l：，，
由得，
则得，
设，，
则，
则，
解得，经检验，满足，
所以直线l的方程为，
即，
所以直线l经过定点；
②当直线l的斜率不存在时，设l：，，，
则
解得，此时直线l也经过定点，
综上，直线l经过定点 

【解析】根据离心率和，求出，，从而求出椭圆方程；
先考虑直线斜率存在时，设直线l：，，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，求出，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案．
本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
由题意，公共切线的斜率，即，
又因为，所以切线方程为；
设函数，，
曲线与有且仅有一个公共点，等价于函数有且仅有一个零点，
从而，
①当时，
当时，，所以在单调递增，
又因为，所以有且仅有一个零点1，符合题意，
②当时，令，解得，
与的变化情况如下；

所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故有且仅有一个零点，符合题意，
③当时，令，解得，
与的变化情况如下；

所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
因为，，且在上单调递增，
所以，
又因为存在，
使得，
所以存在，使得，
所以函数存在两个零点，1，与题意不符，
综上所述：曲线与有且仅有一个公共点，a的取值范围为 

【解析】曲线与在处具有公共的切线，则在该点处的导数相等，从而求解a的值；
设函数，，则将原问题转化为有唯一解，然后对a进行分类讨论即可．
本题考方程的根，函数的零点，图象与x轴的交点问题，以及导数的综合运用，属中档题．
 

21.【答案】解：0，1，2，1，或0，1，0，1，
证明：必要性：因为E数列是递减数列，
所以，
所以是首项为2022，公差为的等差数列，
所以；
充分性：由于，，⋅⋅⋅，，
所以，即，
因为，所以，
所以数列是递减数列．
综上，结论得证．
解：令，则
因为，，⋯，，
所以


因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即4整除，
亦即或
当时，
E数列的项满足，，时，
有，；
当时，
E数列的项满足，，，时，
有，
当，时，不能被4整除，
所以对任意给定的整数，不存在E数列使得， 

【解析】根据与和可考虑写出0，1交替的数列．
先证必要性，根据E数列是递减数列，可得，进而求得再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可．
设，则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可．
本题主要考查数列中的新定义问题，数列中的推理问题等知识，属于中等题．