2021-2022学年北京市通州区高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年北京市通州区高三上学期期末考试数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     复数在复平面上对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则(    )

A. 31 B. 63 C. 127 D. 255

5.     “直线l与直线m没有公共点”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.     若，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     函数是(    )

A. 奇函数，且最大值为2 B. 奇函数，且最大值为1
C. 偶函数，且最大值为2 D. 偶函数，且最大值为1

8.     北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为(    )

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

9.     经过点的直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C. 10 D.

10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：

为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：

①，②

选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(    )

参考数据：，

A.  B.
C.  D.

11. 抛物线的焦点坐标是__________.
12. 最小正周期为2的函数的解析式可以是__________写出一个即可
13. 如图，圆锥PO的体积为，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则__________.
14. 已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有一个零点；                    ②若则有三个零点；

③，在R上是增函数；             ④，使得在R上是增函数．

其中所有正确结论的序号是__________.

15. 已知平面向量，的夹角为，且，，则的值为__________，的最小值为__________.
16. 在中，，再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：

求角B的大小；

求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：

17. 如图，在长方体中，，

求证：平面；

求平面与平面ABCD夹角的余弦值；

求点B到平面的距离．

18. 人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视度以上、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“”表示否．

分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；

为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为X，求X的分布列及数学期望；

假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率M与该校学生红绿色盲发病率N的大小关系，并说明理由．

注：某种遗传病发病率

19. 已知函数

若，求曲线在点处的切线方程；

求的单调区间与极值．

20. 已知椭圆过点，离心率为

求椭圆C的方程；

直线与椭圆交于A、B两点，过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N，点G为线段MN的中点，F为椭圆C的左焦点．求证：四边形AGNF为梯形．

21. 已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．

若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；

求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；

若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数M，求M的最大值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了交集的运算，属于基础题.
利用交集的定义即可.

【解答】

解：集合，，

故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
本题主要考查了复数的乘法运算及复数的几何意义，属于简答题.

【解答】

解：因为复数，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限，
故选：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的渐近线，属于基础题.
根据双曲线的方程求解.

【解答】

解：因为双曲线方程为，
所以，，
所以其渐近线方程是，
故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比例数列的通项公式以及求和，属于简单题。
根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.

【解答】

解：由题意，设数列的公比为，则，
所以
故选：

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了充要条件的判断，两条直线的位置关系，属于基础题.
由两直线没有公共点时，可能平行，也可能是异面直线，结合充分、必要条件的概念进行判定.

【解答】

解：直线 l与直线m没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，
故“直线l与直线m没有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

由二次函数的单调性判断A选项；
由指数函数的单调性判断B选项；
由对数函数的单调性判断C选项；
由基本不等式判断D选项.
本题主要考查了不等式的基本性质，基本不等式的应用，主要考查了学生的运算及思维能力，属于基础题.

【解答】

解：因为，所以
对于A，因为在单调递减，所以，故A选项不正确；
对于B，因为在R单调递减，所以，故B选项不正确；
对于C，因为在单调递增，又，所以，故C选项不正确；
对于D，，所以，故D选项正确，
故选：

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性以及求正弦型函数的值域或最值，属于基础题.
由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；
利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值.

【解答】

解：由题意，，
，所以该函数为偶函数，
又，
所以当即时，取最大值
故选：

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题.
先将剩余三人分为两组，再分配小李、小明即可得解.

【解答】

解：由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李、小明之外的三人分为两组，有种分法，
再将小李、小明分进两组，有种分法，
再将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，
所以共计有种，
故选：

9.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查三角形面积公式，二次函数的性质，直线与圆的交点的弦长，属于基础题.
根据弦长公式，三角形面积公式，二次函数的性质以及圆的几何性质即可求出．

【解答】

解：设点O到直线AB的距离为d，所以，
而面积，
而，即，所以当时，
故选：

10.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的实际应用，属于中档题.
根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得k和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得x的值，即可做出判断.

【解答】

解：由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6，，，，，   
呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①为更符合实际的模型.
由时，，代入，得，解得

由时，可得，解得，
，
由，得，，
，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为，
故选：

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面几何中抛物线的几何性质属于简单题.
根据抛物线的几何性质即可得到从而得到焦点坐标

【解答】

解：抛物线的焦点在x轴上，且，
所以抛物线的焦点坐标为，
故答案为
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

根据正弦型三角函数的周期公式即可找出.
本题主要考查了三角函数解析式的相关概念及性质，属于简单题.

【解答】

解：根据正弦型三角函数的周期公式，最小正周期为2的函数的解析式可以是
故答案为：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥与圆柱的体积比值的求法，圆柱与圆锥的体积公式，属于基础题.
设圆锥PO的高为2h，底面半径为2r，分别计算圆锥和圆柱的体积即可求解.

【解答】

解：设圆锥 PO的高为2h，底面半径为2r，
则，
因为为PO的中点，所以圆柱的底面半径为r，高为h，
则，
所以
故答案为：

14.【答案】①③ 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点个数，关键在于利用导函数分段讨论函数的单调性.属于中档题.
对于①，当时，则，分段讨论得出函数在R上单调递增，再由，可判断；
对于②，当时，则，分段讨论函数的单调性，再由当时，可判断；
对于③，当，即时，则，分段讨论得出函数在R上单调递增，由此可判断；
对于④，当，即时，则，分段讨论函数的单调性，由此可判断.

【解答】

解：因为函数，所以函数，
对于①，当时，则，
当时，单调递增，
当时，，所以单调递增，
所以函数在R上单调递增，且，，
所以函数有一个零点，故①正确；
对于②，当时，则，
当时，单调递增，且，，
所以在上，函数有且只有一个零点；
当时，令，解得，
所以当时，所以，单调递减；
当时，所以，单调递增，
所以当时，，所以在函数有且只有一个零点，
所以当，函数只有两个零点，故②不正确；
对于③，当，即时，则，
当时，单调递增；
当时，，所以单调递增，所以函数在R上单调递增，
综上得，，在R上是增函数，故③正确；
对于④，当，即时，则，
当时，单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，所以，单调递减；
当时，所以，单调递增，
所以当时，函数在和上单调递增，在 上单调递减，
所以不存在，使得在R上是增函数，故④不正确；
综上得，正确结论的序号是①③，
故答案为：①③.
 

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积及利用数量积求向量的模，属于中档题.
直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值.

【解答】

解：因为平面向量，的夹角为，且，，
所以，



，
所以当时，的最小值为，
故答案为： ；

16.【答案】解：因为，，则
选①：因为，则，则不存在；
选②：因为，则，
由余弦定理可得，，则；
选③：，则，
、，则，，故，从而
由知，，，，
由余弦定理可得，
即，解得，
因此， 

【解析】本题主要考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式，涉及同角三角函数关系式，属于中档题.
选①，利用三边关系可判断不存在；
选②：利用余弦定理可求得角B的值；
选③：利用正弦定理可求得的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；
利用余弦定理可求得c的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．
 

17.【答案】解： 因为，平面，平面，
故平面
如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，

故，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，，即，
易知平面ABCD的一个法向量为，
则，
故平面与平面ABCD所成角的余弦值为
由知，，，
故B到平面的距离为 

【解析】本题考查了线面平行的判定，二面角，点到平面的距离，属于中档题.
由线面平行的判断定理可得答案；
建立空间直角坐标系，平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案；
直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案.
 

18.【答案】解：设该校男生红绿色盲为事件A，女生红绿色盲为事件B，
则；
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以X可能取1，2，则
，
，
所以X的分布列为

所以；
由题意得，
，
所以 

【解析】本题主要考查了古典概型的概率、离散型随机变量的分布列及数学期望、统计的实际运用，属于中档题.
根据表中的数据计算即可，
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以X可能取1，2，然后求出各自对应的概率，从而可得分布和数学期望，
根据表中的数据结合所给公式计算，然后进行比较
 

19.【答案】解：函数定义域为
若，则，
，
所以切线方程为

，
令，
有两根或
①当时，与的情况如下：
 

由表可知，的增区间是，减区间是，，
极大值为，极小值为
②当时，与的情况如下：
 

由表可知，的增区间是，，减区间是，
极大值为，极小值为 

【解析】本题考查了导数的几何意义，及利用导数研究函数的单调区间及极值，属于中档题.
根据导数的几何意义即可求出；
根据分类讨论思想以及函数单调区间与极值的求法即可解出．
 

20.【答案】解：由已知得，解得，
椭圆C的方程
证明：由的结论可知，椭圆的左焦点，
设，则，
，
直线与椭圆交于A、B两点，

由于直线与直线不平行，
四边形AGNF为梯形的充分必要条件是，即，
即，即，
，
上式又等价于，
即
由，得，
，
 
，
成立，
四边形AGNF为梯形. 

【解析】根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.
分析可得四边形AGNF为梯形的充分必要条件是，设，可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.
本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.
 

21.【答案】解： ，
各项和为答案不唯一；
令，取，
则，即，
所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
假设，即对于任意的，存在，使得，
考察数列：，
其中各项满足，，，
于是有：，，
当i为奇数时，，
当i为偶数时，，
即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，
结合第二问结论可知：M的最大值为 

【解析】本题考查了新数列的定义，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法.
列举出一个即可；
根据数列的总和为5050进行证明；
反证法进行证明，结合第二问结论进行求解.