2021-2022学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷     已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D.     在复平面内，复数对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限    在中，若，，，则(    )A.  B. 4 C.  D. 3    若双曲线C：的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 2    如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是(    )A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面    已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.     已知为等比数列，为其前n项和，若，，则A. 7 B. 8 C. 15 D. 31    已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件    按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数．为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的Peukert常数n大约为(    )
参考数据：，A.  B.  C.  D. 2设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为已知，，，⋯，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为(    )A. 14 B. 15 C. 16 D. 18在的展开式中，常数项为______用数字作答已知点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点．则抛物线C的方程为__________；的面积为__________.在长方形ABCD中，，，且，则__________，__________.已知函数是偶函数，则的一个取值为______.在棱长为 1的正方体中，过点A的平面分别与棱，，交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面上的正投影的面积为，四边形AEFG在平面上的正投影的面积为
给出下面有四个结论：
①四边形AEFG是平行四边形；
②的最大值为2；
③的最大值为；
④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为
则其中所有正确结论的序号是______.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且
求证：平面PBD；
求二面角的余弦值．
已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
求函数的解析式；
设函数，若在区间上单调递减，求m的最大值．
条件①：；
条件②：；
条件③：
2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警．中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨．
如表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域．北京密云山东乐陵河北迁西山东庆云北京怀柔河北海兴河北唐山天津渤海
A平台河北丰南山东长清180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望；
在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为试判断，，的大小关系．结论不要求证明已知函数
若，求在点处的切线方程；
若在上恰有一个极小值点，求实数a的取值范围；
若对于任意恒成立，求实数a的取值范围．已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为
求椭圆M的方程；
过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，求与的面积之比．已知数列A：，，⋅⋅⋅，，其中，，⋅⋅⋅，，且
若数列满足，当，3，⋯，时，或，则称为数列A的“紧数列”．
例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，
直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．用关于N的代数式表示
答案和解析 1.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用并集的定义直接求解．
【解答】
解：集合，，

故选：  2.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：，
复数对应的点为，位于第二象限．
故选：  3.【答案】A 【解析】【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理及诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用三角形内角和定理及诱导公式可求的值，进而根据余弦定理即可求解c的值．
【解答】
解：因为，，，
所以，即，
则由余弦定理可得
故选：  4.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，渐近线方程的应用，考查计算能力．
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：由渐近线方程为，得，由此可得
故选：  5.【答案】D 【解析】本题考查线面平行的判定定理，属基础题．
线面平行的判定定理逐项判断即可．
解：在直三棱柱中，可得，平面，平面，
平面，故A正确；
平面ABC，在直三棱柱中，可得平面平面，
所以平面，故B正确；
取中点N，又E是中点，所以，且，
又F是棱BC的中点，所以，
，，
所以四边形BFEN是平行四边形，所以，平面，平面，
平面，故C正确；
因为，但，所以AE所在直线与所在直线相交，从而有AE不平行于，故D错误．
故选：
 6.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查了函数值域的求解，根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围是解决本题的关键，是基础题．
根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可．
【解答】
解：当时，，
则当时，，
要使的值域为R，则只需要，所以，
所以a的取值范围为
故选：  7.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用等比数列前n项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等比数列的前4项和．
【解答】
解：为等比数列，为其前n项和，，，
，
解得，，

故选：  8.【答案】A 【解析】本题考查充分、必要条件的判定，函数的零点存在性，属于基础题．
由可知、、中至少有一个0或2正1负或2负1正，以此可解决此题．
解：由可知、、中至少有一个0或2正1负或2负1正，
由此可得在上存在零点；
若在上存在零点，不一定为
故选：
 9.【答案】B 【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数运算的公式是解本题的关键，属于基础题．
由题意可得，电池的容量C为定值，则，即，再结合对数运算的公式，即可求解．
【解答】
解：由题意可得，电池的容量C为定值，
则，即，
两边取对数可得，，即，
故
故选：  10.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查满足条件的n的最大值的求法，考查非空真子集、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
要想n的值大，则特征值要尽可能小，，，，⋯，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的集合，则，是含有两个相邻正整数的集合，则时，能保证n的值最大，同理得：，以此类推，得到，利用等差数列求和公式列出方程，能求出n的最大值．
【解答】
解：要想n的值大，则特征值要尽可能小，
，，，⋯，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，
不妨令是只有1个元素的集合，则，
是含有两个相邻正整数的集合，
则时，能保证n的值最大，
同理得：，以此类推，得到，
，
解得或舍，
的最大值为
故选：  11.【答案】60 【解析】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，即可求解．
解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的常数项为，
故答案为：
 12.【答案】4 【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
将点A代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解．
【解答】
解：点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，
，解得，
故抛物线C的方程为，
则的面积
故答案为：；  13.【答案】2 【解析】【分析】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
由题可得，结合条件及数量积的运算可得，即可求得结果．
【解答】
解：由题可知，
，
，
，
可得，
，

故答案为：  14.【答案】答案不唯一 【解析】解：是偶函数，
若，则，
则，即，
即即可，
故答案为：答案不唯一
根据偶函数的定义建立方程进行求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程是解决本题的关键，是基础题．
 15.【答案】①③④ 【解析】【分析】
本题考查空间立体几何中的面面位置关系以及空间几何体的面积问题，题目将立体几何问题和函数进行结合，综合性较强，对学生分析和解题能力要求较高，属中档题．
对于①，根据面面平行的性质定理即可判断；建立空间直角坐标系，设，，，然后根据①得到a，b，c的关系，进而判断②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直可判断④．
【解答】
解：对于①：平面AEFG分别与平面，平面，平面，平面交于EF，AG，AE，GF，
易知平面平面，则，平面平面，则，
所以四边形AEFG是平行四边形，故①正确；
以A为原点，AB，AD，分别x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

记点G在平面上的投影为点H，点F，G在平面上的投影为点I，J，
设，，，其中，b，，
则，，，，
所以，，由①知，所以，
则，易得，，所以，故②错误；
，当且仅当，时取等号，故③正确；
，，令，可得，
即，则此时，平行四边形是菱形，
而此时，，
所以，，所以菱形的面积，
当时，故④正确．
故答案为：①③④．  16.【答案】证明：平面ABCD，平面ABCD，
，，
，，，∽，
，又，，PD，平面PBD，
平面
解：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
，，为矩形，，
，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
设平面PCE的一个法向量为，
则，令，则，，
平面PCE的一个法向量为，
平面ABCD，取平面ACE的法向量为，
则，，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 【解析】根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
根据题意和线面垂直的性质可得AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面PCE，ACE的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
 17.【答案】解：由图象知，
若选条件①②，
由条件①：得，得，即，得，
则，
由条件②：，得，，
得，
得
若选条件①③，由①得，即，
若条件③：
得，，，得，
得
若选②③，
得，得，即，得，
则，
，得，，，得，
得
综上

当时，，，
若此时为减函数，则，得，
即m的最大值为 【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．
根据图象和条件，求出A，和的值即可，
求出的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
 18.【答案】解：设“这个区域的降雨量超过135毫米”为事件A，
由统计表格得雨量在135毫米以上的区域共有6个，
这个区域的降雨量超过135毫米的概率为：

由题意得X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为： X 0 1 2 P   
，，的大小关系为： 【解析】由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，由此能求出这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
求出X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
结合方差的意义能求出结果．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方差大小的比较，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 19.【答案】解：若时，，则，
，，
在点处的切线方程为，即
函数，则，
令得，，
①若，则，在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则，与的情况如下：x    + 0- 0+  单调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增若在上恰有一个极小值点，则需满足，
，
即实数a的取值范围为
，可化为，
又，，
即对于任意恒成立，
令，则，

又，，
在上单调递减，，
，
即实数a的取值范围为 【解析】本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，以及恒成立问题，属于较难题．
先求出导函数，再根据导数的几何意义得到切线的斜率及方程．
求导，可得的单调区间和极值，再根据极值点范围可得a的取值范围．
由不等式恒成立可知对于任意恒成立，令，求导可知在上单调递减，所以，从而求出a的取值．
 20.【答案】解：由题设，，所以，
又因为，，
所以
解得，，
所以椭圆M的方程为
由题意可知，直线l斜率存在，设直线l的方程为，
由，得，
设，，
则，
因为轴，所以
直线BD方程为，所以，
因为轴，所以，
，






所以C，A，E三点共线．
因为，
所以，
所以，
所以：： 【解析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
用待定系数法求出椭圆的标准方程；
设直线l的方程为用“设而不求法”表示出进而得到，由，得到C，A，E三点共线．所以，即可得到：：
 21.【答案】解：
依题意，对任意，3，⋯，，
有或，或，
因为均为递增数列，所以，，即同时满足：
①，②，③，④．
因为A为递增数列，因此①和②恒成立．
又因为A为整数数列，对于③，也恒成立．
对于④，一方面，由，得，即
另一方面，，
所以，
即A从第2项到第项是连续的正整数，
所以，，
因此，
故共有种不同取值，即所有符合条件的数列A共有个．
记，依题意，
对任意，3，⋯，，有或，
注意到，即对任意，
若，则，即；
若，则，即，
即对任意，3，⋯，，或者，或者
所以，所以不能成立．
记，
，
则，且
注意到：若存在且，即，则
否则，若，则，不合题意．
因此集合，有以下三种情形：
①，
对任意，有，
则，
当且仅当：，，
即A：0，2，4，⋯，，时，等号成立，
此时存在“强紧数列”：0，1，3，⋯，，
故此情形下，的最小值为；
②，，其中，3，⋯，
对任意，有，对任意，有


故此情形下，的最小值不小于；
③，
对任意，有，

故此情形下，的最小值不小于
综上，的最小值为 【解析】利用“紧数列”的定义求解；
由A均为递增数列，得到，进而转化为证明：，，，即可；
记，且，根据“强紧数列”的定义求解．
本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．