2021-2022学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷

1.     (    )

A.  B.  C.  D.

2.     若向量，，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.     设集合A，B，C均为非空集合，(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4.     若为圆的弦MN的中点，则直线MN的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知为偶函数，且函数在上单调递减，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在A，B两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试满分100分，这20名学生得分的散点图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是(    )
    

A. A校学生分数的平均分大于B校学生分数的平均分
B. A校学生分数的众数大于B校学生分数的众数
C. A校学生分数的中位数等于B校学生分数的中位数
D. A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差

7.     已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于点对称 D.

8.     为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线曲线AB与曲线为某双曲线离心率为的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，则(    )

A.  B.  C. 38cm D.

9.     若，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为(    )

A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形

11. 已知为曲线上一动点，则(    )

A. 的最小值为1
B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C. P到直线的距离的最小值小于
D. 的最小值为6

12. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则(    )

A.  B. 数列为等比数列
C. 数列单调递增 D. 数列的前n项和恒小于4

13. 的最小值为__________.
14. 函数的图象在点处的切线的斜率为__________.
15. 某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A，B，C三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为__________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有__________种．
16. 如图，DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线，将沿DE折起，使得点A与P重合，平面平面BCDE，则四棱锥外接球的表面积是__________.
     
17. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与现测得，，在点C测得塔顶A的仰角为
    求B与D两点间的距离结果精确到；
    求塔高结果精确到
     
18. 在数列中，，且数列是公差为2的等差数列．
    求数列的通项公式；
    设，求数列的前n项和
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面底面ABCD，且，，
    证明：；
    若，求二面角的余弦值．
     
20. 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为300元．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数m的分布列为

X表示2台设备使用期间需更换的零件数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．
求X的分布列；
以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？

21. 已知函数
    若，讨论在上的单调性；
    若函数在上的最大值小于，求m的取值范围．
22. 已知椭圆经过，，，四个点中的三个．
    求E的方程．
    若M，N为E上不同的两点，O为坐标原点，且与垂直，试问E上是否存在点异于点，使得？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．

【解答】

解：
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标表示，涉及垂直，平行，数量积，求模公式等，是基础题．
利用平面向量的垂直判断A；利用平面向量的平行判断B；利用平面向量的数量积运算判断C；利用平面向量的求模公式判断

【解答】

解：，，
对于A：若，则，，错误，
对于B：若，则，，正确，
对于C：若，则，当时，，错误，
对于D：若，则，不成立，错误，
故本题选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，集合的运算，集合包含关系的判断，属于基础题．
举反例判断ABD；对于C，由，可得，从而可得

【解答】

解：对于选项A，若，，，满足，但，故A错误；
对于B，若，，，满足，但，故B错误；
对于C，由于，已知，所以，则成立，故C正确；
对于D，若，，，满足，但是，故D错误．
故本题选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直于弦MN所在的直线是解本题的关键．
由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．

【解答】

解：圆化为标准方程为，圆心，半径为4，
为圆的弦MN的中点，
圆心与点P确定的直线斜率为，
弦MN所在直线的斜率为，
弦MN所在直线的方程为，即
故本题选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由题意可得为奇函数，且在R上单调递减，原不等式可化为，即为，解不等式可得所求解集．

【解答】

解：由为偶函数，可得函数为奇函数，
由在上单调递减，可得在上单调递减，
可得在R上单调递减，
不等式即为，
即有，
由在R上单调递减，可得，
解得，
则原不等式的解集为
故选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了利用散点图中的数据判断两组数据的平均数、众数、中位数和方差大小的应用问题，是基础题．
根据散点图中的数据，分别求出A校学生、B校学生分数的平均分、众数、中位数和方差，再比较大小即可．

【解答】

解：对于A，A校学生分数的平均分为，
B校学生分数的平均分为，
所以选项A正确；
对于B，A校学生分数的众数是76，B校学生分数的众数是65，
所以选项B正确；
对于C，A校学生分数从小到大排列为：50，51，60，63，65，69，74，76，76，78，所以中位数是，
B校学生分数从小到大排列为：53，55，56，61，63，64，65，65，67，73，所以中位数是，
所以选项C错误；
对于D，A校学生分数的方差为，
B校学生分数的方差为，
所以选项D正确．
故选：

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图像和性质，对数的比较大小，属于拔高题.
根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A，C是否正确；当时，易得再根据，即可判断B是否正确；由函数的单调性，可知在上单调递增，再根据，由单调性即可判断D是否正确．

【解答】

解：对于函数，它的最小正周期为，故A错误；
当时，，
所以
所以而，
所以，故B错误；
若的图象关于点对称，则，
又，
，
所以，故C错误；
由于函数的图象是将函数在x轴下方的图象翻折到x轴上方，
所以可知在上单调递增，
令，，
所以在区间，上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，故D正确．
故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程求解，考查双曲线的性质，数形结合思想，属于中档题．
依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线方程为，根据已知求得a，将A点纵坐标代入计算即可得到其横坐标．

【解答】

解：以双曲线的对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为双曲线的离心率为2，不妨设双曲线方程为，
由题意可知，则，即双曲线方程为，
因为，所以A的纵坐标为18，代入可得，
故，
故本题选
 

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
由题意知，再根据两角差的正切公式，可知，进而求得，由此即可得到，对k取值，逐项判断即可得到结论．

【解答】

解：由，可知，
当，即时，，显然不成立，故，
所以，则，
所以，即，
当时，；当时，；当时，，
令，得，故的值不可能为
故本题选

10.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查平面的基本性质，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
根据题意，由正方体的几何结构分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为四边形和六边形，如图所示：

故本题选

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查轨迹方程的应用，抛物线的定义及其应用等知识，属于中等题．
由，化简可得，可得曲线为抛物线的右半部分含原点，利用抛物的定义及距离公式依次判断各选项即可得出结果．

【解答】

解：由，得，则曲线为抛物线的右半部分含原点

因为抛物线的焦点为，准线为l：，则P到定点的距离等于P到定直线l：的距离，故B正确；
，当且仅当P点为原点O时，等号成立，故A正确；
原点到直线的距离为，数形结合可知，原点到直线的距离是最短距离，故C错误；
设点到准线l：的距离为d，P到准线l：的距离为，
则，故D正确．
故本题选

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算，数列的单调性，及利用错位相减法求数列的和，属于难题．
根据欧拉函数的定义结合对数的运算判断A；由欧拉函数定义结合等比数的通项公式判断B；根据欧拉函数求出判断C；由欧拉函数求出，再由数列的错位相减法求和可判断

【解答】

解：因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，⋯，，共有个，
所以，故A正确；
因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故B正确；
因为，，，所以数列不是单调递增数列，故C错误；
因为，所以
设数列的前n项和为，
所以，
则，
所以，
所以，
从而数列的前n项和为，故D正确．
故本题选

13.【答案】9 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用问题，是基础题．
对函数变形，再利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：由题意可得，
当且仅当，取得最小值，
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，熟记基本初等函数的求导公式是关键，是基础题．
求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，则答案可求．

【解答】

解：由，得，
，
即函数的图象在点处的切线的斜率为
故答案为

15.【答案】

540

【解析】

【分析】

本题考查排列组合及古典概型，考查学生的运算能力，属于中档题．
先由排列组合知识得出分配方案的种数、每个入口都有女志愿者的分配方案种数，结合古典概型概率公式求解即可．

【解答】

解：由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，
分配方案共有种，
3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，
故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，
每个入口都有女志愿者的分配方案共有种．
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：四棱锥体和球体的关系，球的半径和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
设H是四边形DEBC外接圆的圆心，面DEBC，F是等边的外心，面PED较OH于O，即O是四棱锥体外接球的球心，利用折叠问题的应用及几何体和球体的关系，首先求出球的半径，进一步求出球的表面积．

【解答】

解：在四棱锥体中，，，
设H是四边形DEBC外接圆的圆心，面DEBC，F是等边的外心，面PED较OH于O，即O是四棱锥体外接球的球心，如图所示：

由，设，
由勾股定理得，解得
由，所以，
则，
故
故答案为

17.【答案】解：在中，，
由正弦定理得，
则
在中，由正弦定理得，
则
在中，塔高 

【解析】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
在中，利用正弦定理求解即可，
在中利用正弦定理求出BC，再在中可求出
 

18.【答案】解：由，
可得，
即，；
由可知，，，
，
所以

 

【解析】本题考查等差数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由等差数列的通项公式，计算可得所求；
求得，再由数列的裂项相消求和化简可得所求和．
 

19.【答案】解：证明：底面ABCD为平行四边形，，，
又，，，即，
平面底面ABCD，且平面底面，平面ABCD，
平面PCD，得；
取CD的中点O，连接PO，
，，
又平面底面ABCD，且平面底面，
平面ABCD，取AB中点E，
以O为坐标原点，分别以OE、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面ABP的一个法向量为，
由，取，得；
设平面PBC的一个法向量为，
由，取，得

由图可知，二面角为钝角，
二面角的余弦值为
 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
由已知可得，结合平面底面ABCD，由平面与平面垂直的性质得平面PCD，进一步得到；
取CD的中点O，连接PO，可得，则平面ABCD，取AB中点E，以O为坐标原点，分别以OE、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABP与平面PBC的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
 

20.【答案】解：的可能取值为10，11，12，13，14，
，
，
，
，
，
则X的分布列为：

记为当时购买零件所需费用，
元，
元，
元，
元，
元，
记为当时购买零件所需费用，
元，
元，
元，
元，
显然，所以应选择 

【解析】本题考查离散性随机变量的分布列及期望方差，考查学生的运算能力，属于中档题．
由每台设备需更换零件个数的分布列求出 X 的所有可能值，并求出对应的概率即可得解．
分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答．
 

21.【答案】解：，则，
令，解得：；令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
①时，在上单调递减，
②时，在上单调递减，在上单调递增；
，
，
①时，，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，，不合题意；
②时，，在上单调递增，，
故，无解，不合题意
③时，，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
故或，
若是最大值，则，此时，则，故；
若是最大值，则，故，
故；
④时，，
故在上单调递减，，符合题意；
综上：m的取值范围是 

【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出在上的最大值，得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
 

22.【答案】解：，关于坐标原点对称，
则B、C要么都在椭圆E上，要么都不在，
而椭圆E经过，，，四个点中的三个，
、C都在椭圆上，则D不在，A在椭圆上，
，则，得，
则椭圆方程为；
，N为E上不同的两点，O为坐标原点，且与垂直，
则的角平分线与x轴垂直，可得BM所在直线的斜率与BN所在直线的斜率互为相反数，
设BM：，则BN：，
联立，得，
，则，同理可得，
则，
，

若E上存在点异于点，使得，则AG：，
联立，得，解得或，
当时，；当时，
又点G异于点A，
上存在点异于点，使得，点G的坐标为 

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得B、C，A在椭圆上，可得a值，再把B的坐标代入求得b，则椭圆方程可求；
由题意可得的角平分线与x轴垂直，可得BM所在直线的斜率与BN所在直线的斜率互为相反数，设BM：，则BN：，联立直线方程与椭圆方程，求得M、N的坐标，可得MN的斜率，写出过点A且与MN平行的直线方程，与椭圆方程联立即可求得满足条件的点G的坐标．