2021-2022学年吉林省双辽一中、大安一中、通榆一中等重点高中高三（上）期末数学试卷（文科）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省双辽一中、大安一中、通榆一中等重点高中高三（上）期末数学试卷（文科）

1.     已知，，则(    )

A. B B.  C.  D.

2.     若复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     已知两个不重合的平面，和直线l，若，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     若点为圆的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知实数x，y满足约束条件则的最大值为(    )

A. 2 B.  C.  D.

6.     新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车、纯电动汽车包括太阳能汽车、燃料电池电动汽车、其他新能源如超级电容器、飞轮等高效储能器汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.   若实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.   函数的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则的最小值是(    )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 12

9.   在数列中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为(    )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

11. 定义在R上的偶函数满足，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是(    )

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，，则C的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E是线段AB上的一点．且，则______.
14. 若，则__________.
15. 已知数列，均为等比数列，前n项和分别为，，若，则______.
16. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是2，则球O的表面积是______.
17. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，
    求的值；
    求AD的长度．

18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11：13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
    完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一次是女生的概率．
附：

19. 如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为
    若平面平面，证明：；
    求三棱锥的表面积．

20. 函数
    若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
    求证：当时，
21. 如图所示，已知抛物线C：，过点的直线l交C于不同的A，B两点点A在P，B之间，记点A，B的纵坐标分别为，，过A作x轴的垂线交直线OB于点为坐标原点
    求证：；
    求的面积的最大值．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求C的普通方程；
    已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．
23. 已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：
故选
根据，，求的两直线的交点坐标，就是集合的元素．
此题属于基础题．考查交集及其运算，准确理解集合的意义是解题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：因为复数z满足为虚数单位，
则，
则z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：
由已知化简求出z的关系式，由此即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到求解复数对应点所在的象限，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，由，可得或；
反之，，由，可得或或l与相交，相交也不一定垂直．
若，则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：点在圆C；的内部，
点P是弦AB的中点，
，
弦AB的斜率，
弦AB所在直线的方程是，
即：，
故选：
利用圆心和弦的中点的连线与弦垂直，可求出弦AB的斜率，用点斜式写出弦AB所在直线的方程，并化为一般式．
本题考查直线和圆相交的性质，求直线方程，利用圆心和弦的中点的连线与弦垂直来确定弦的斜率．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由，解得，得，即，
化目标函数为，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：由表中数据可的，，
，
线性回归方程为，
，解得
故选：
根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由题意得，，，，
所以
故选：
结合指数与对数的相互转化及对数函数单调性即可比较大小．
本题主要考查了对数函数单调性在比较函数值大小中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象与原函数的图象关于x轴对称，
则最小时，的图象与平移后所得函数的图象相差半个周期，即，求得，
故选：
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得的最小值．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：，
，
数列是等差数列，设公差为d，
则，又，
，
，
，
故选：
由可得，所以数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出，从而求出，再令即可求出结果．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的定义和通项公式，属于中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：设内切圆的半径为r，则，，

过点M作于点A，于点B，于点 C，
则由的内切圆圆心为，知，
，，，
故，得，
故，
故选：
根据条件可得，根据双曲线的定义求得a，进而可得结果．
本题考查了双曲线的定义和简单几何性质，属于中档题．
 

11.【答案】A 

【解析】解：如图所示，与在区间上一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线对称，
所以在区间上的所有零点的和是
故选：
数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和．
本题考查了三解函数、偶数函数、指数函数的性质及数形结合思想，作出图象是解答本题的关键点，属于基础题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，在中，，，
，，，
，
，
在中，由正弦定理有，
，

故选：
由题知，，，进而结合正弦定理有，可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故，
所以
故答案为：
先计算，代入计算，再计算，即得结果．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，进而根据诱导公式，二倍角的正切公式即可求解．

【解答】

解：因为，
所以，可得，
所以
故答案为：

15.【答案】 

【解析】解：设等比数列、的公比分别为、，
当时，有，则，
当时，有，则①，
当时，，则②，
联立①②解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
所以
故答案为：
设等比数列、的公比分别为、，分别令、，、求出与之间的关系及与的关系即可求出
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，
如图所示：

设三棱柱的底面边长为a，由于直线与底面所成的角是，
所以棱柱的高为，
若正三棱柱的体积是2，
故，
整理得
所以，进一步求出，
，
设外接球的半径为R，则；
所以
故答案为：
首先利用线面的夹角和直三棱柱的体积公式求出底面的边长和三棱柱的高，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三棱柱和球体的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，因为，，，
由余弦定理可得，
所以，
又由正弦定理可得，
所以，
所以
由，又为锐角，
可得，
在中，根据余弦定理可得，
所以 

【解析】在中，由已知利用余弦定理可求得AC的值，又由正弦定理可得的值，根据二倍角公式即可求解的值．
由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，在中，根据余弦定理即可求解AD的值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是
可得男生有人，女生有人，
又由冰壶运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有200人，
因为女生中有75人对冰壶运动没有兴趣，所以男生有兴趣的有150人，无兴趣的有125人，
女生有兴趣的有250人，
得到如下列联表：

因为，
所以有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
对冰壶运动有兴趣的一共有400人，
从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，
记3名男生分别是a，b，c，5名女生分别是A，B，C，D，E，
则从中选出2人的基本事件是：ab，ac，aA，aB，aC，aD，aE，
bc，bA，bB，bC，bD，bE，cA，cB，cC，cD，cE，AB，AC，
AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共28个，
选出的2人至少有一位是女生的事件有25个，
所以选出的2人至少有一位是女生的概率 

【解析】本题主要考查独立性检验公式，以及列举法的应用，属于中档题．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及列举法，即可求解．
 

19.【答案】解：证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，
因为平面PAB，平面PAB，所以平面
又因为平面平面，平面PEF，所以
因为AC，BC，PC两两垂直，，AC，平面ABC，
所以平面ABC，即PC是四棱锥的高．
因为，，，所以
因为E，F分别是AC，BC的中点，，
所以，即
所以，，，
所以的面积为
所以三棱锥的表面积 

【解析】由中位线性质得到，根据线面平行的判定定理得到平面PAB，再由线面平行的性质可得结论；
根据线面垂直的判定可知PC是四棱锥的高，根据长度和垂直关系依次求得各个面的面积，相加即可得到三棱锥的表面积．
本题主要考查空间中的平行关系，锥体表面积的计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：因为，所以，
又在上单调递增，所以在上恒成立，
因为，，所以在上恒成立，即，
因为在上单调递减，
所以，
所以，即a的取值范围是
证明：由知，时，在上单调递增，
令，其中，则，
所以，即，也即，
所以，，，…，，
以上各式累加得，，即，
所以 

【解析】求导，通过参变分离法，可将问题转化为在上恒成立，再利用反比例函数的单调性，求得在上的最大值，即可；
由知，时，在上单调递增，取，其中，此时，再结合单调性与累加法，即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，理解函数的单调性与导数之间的联系，掌握参变分离法和累加法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
 

21.【答案】证明：由题意，直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为，
联立方程组，可得，
所以，所以
解：由可得，解得且
因为点A在P，B之间，所以，
所以，直线OB：
设点，由点D在直线上可得，
所以的面积
因为，所以，
又，所以，
令，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以，当且仅当时取最大值．
即的面积的最大值是 

【解析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可得证；
由，可得k的范围，点A在P，B之间，可得，求得D的坐标，运用三角形的面积公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得所求最大值．
本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，
所以C的普通方程是
由题意，切线的斜率一定存在，
设切线方程为，即，
所以，解得
所以切线方程是或，
将，代入，
化简得或 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用和转换关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，，
①当时，，解得，所以，
②当时，，无解，
③当时，，解得，所以，
综上，不等式的解集是
因为，
若，不等式恒成立，只需
当时，，解得，
当时，，此时满足条件的a不存在，
综上，实数a的取值范围是 

【解析】通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间上的x的范围，取并集即可．
利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得a的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．