2021-2022学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷     设全集，集合，，则(    )A.  B.  C.  D.     ，“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件    函数在区间上的图象大致是(    )A.  B.
C.  D.     若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )A.  B.  C.  D.     设，、，则a，b，c的大小关系为(    )A.  B.  C.  D.     某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间单位：百万元内，将其分成5组：并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为(    )
A. 16 B. 22 C. 64 D. 88    已知直线l过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若l过抛物线的焦点，则p的值为(    )A. 12 B.  C. 2 D. 4    已知函数给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是(    )A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③    已知，函数若恰有2个零点，则a的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. i是虚数单位，复数______.展开式中的常数项为______.已知直线和圆相切，则实数a的值为______.盒中装有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球．若从中取2个球，恰好都是黑球的概率是______；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数X的数学期望______.已知，，且，则的最小值为______.如图，在四边形ABCD中，，，，，，则______；设，则______.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，BC的面积为
求a的值；
求的值；
求的值．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为棱CD的中点．
求直线PD与平面PBE所成角的正弦值；
为直线PA上一点，且满足平面PBE，求线段DM的长．
已知椭圆的一个顶点为，离心率为
求椭圆的方程：
过椭圆右焦点且斜率为的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于其中O为原点，证明直线l过定点．已知数列的前n项和，是公比大于n的等比数列，且满足，
求和的通项公式；
若数列的前n项和为，求证：；
对任意的正整数n，设数列求已知函数，
求曲线在处的切线方程；
若在区间上单调递减，求a的取值范围：
若，存在两个极值点，，证明：
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：设全集，
集合，，
，
则
故选：
先求出，由此能求出
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】B 【解析】解：由题，“”不一定得出“”，如时，“不成立
由可得，即，故“”可得出“”
综上知，“”是“”的必要不充分条件
故选：
由题意，可判断命题若“”则“”与命题若“”则“”的真假，再作出判断得出正确选项
本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是理解充分条件必要条件的定义，由定义作出判断，本题考查了判断推理的能力
 3.【答案】A 【解析】解：，则是奇函数，排除B，D，
当时，，排除C，
故选：
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，是基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：长方体的体对角线的长度为，
因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为4，
故表面积为
故选：
算出长方体的体对角线的长后可得球的半径，从而可求球的表面积．
本题考查了长方体的外接球的表面积计算，属于基础题．
 5.【答案】A 【解析】解：，，，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 6.【答案】C 【解析】解：由频率分布直方图得内的频率为：
，
估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为：

故选：
由频率分布直方图求出内的频率，由此能估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数．
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 7.【答案】D 【解析】解：双曲线的左焦点为，双曲线C的一条渐近线方程为
直线l的方程为，
抛物线的焦点恰好在直线l上，
，
故选：
求出直线l的方程，将抛物线的焦点坐标代入，即可求出结论．
本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
 8.【答案】C 【解析】解：函数；
对于①，的最小正周期为，故①错误；
对于②，当时是的最大值，故②正确；
对于③，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象，故③正确．
故选：
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 9.【答案】B 【解析】解：若是一个零点，
则只有一个零点，
即有，且此时当时，只有一个实根，
而，
解方程根得，易得，
即当时，恰有2个零点，，，.
若不是函数的零点，则为函数的2个零点，于是
，解得：
综上：
故选：
讨论是函数的零点和不是函数的零点两种情况，然后结合二次函数零点分布求得答案．
本题考查了分段函数的零点及分类讨论思想，关键点是对是否为零点的讨论，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：
故答案为：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
故答案为：
求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：由，得，
则圆心坐标为，半径为1，
由直线和圆相切，
可得，解得
故答案为：
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式列式求解．
本题考查圆的切线方程和点到直线距离公式，是基础题．
 13.【答案】  【解析】解：从中取2个球，恰好都是黑球的概率为，
X所有可能取值为1，2，3，
，，，

故答案为：；
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及期望公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，以及期望公式的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为，，且，
所以
；
当且仅当，即，时，等号成立
所以的最小值为
故答案为：
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式，求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 15.【答案】0 6 【解析】解：因为，，，，，，
所以，
又，
则，
又，
所以，
即，
则；
又，
又，，，
则，
则，
则，
解得：，
即，
故答案为：0；
由平面向量数量积运算求解即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属中档题．
 16.【答案】解：由，由正弦定理得，又的面积为
，解得，；
由余弦定理有，，
由正弦定理有，；
，，又由知，，
，，
 【解析】由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；
由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出；
根据求出，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值，
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．
 17.【答案】解：底面ABCD，，
以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，

可得，，，，，
为CD中点，

设为平面PBE的法向量，则，即，
解得，
，

直线PD与平面PBE所成角的正弦值为
设M坐标为，则
平面PBE，
，
，即，

，
线段DM的长为 【解析】利用坐标法，可求平面PBE的法向量，利用线面角的向量求法即得；
由题设M坐标为，利用条件可得，利用模长公式即求．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：依题意，，
，
又，，
，，
椭圆的标准方程为
证明：由知右焦点坐标为，设直线m方程为，，，
由得，，
，
，，
直线OP的斜率，
直线l的斜率，令得点E坐标为，
直线l的方程为，即，
直线l恒过定点 【解析】由题可得，然后利用离心率即求；
设直线m方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线l的方程为，即证．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
 19.【答案】解：当时，，
，又，
当时，，
设数列的公比为q，
，
解得，
；
证明：，

，
当时，，
，
即；
解：由题意，，
设，
即，①
由得，②
由①②得，
从而，
 【解析】利用与的关系可求，利用等比数列的基本量运算可得；
利用裂项相消法即得；
利用错位相乘法即得．
本题考查了数列的通项，裂项相消和错位相减求和，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意知：定义域为，
，又，
曲线在处的切线方程为；
，又在区间上单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，，
，即实数a的取值范围是；
证明：由知：，满足，，
不妨设，则，

，

则要证，即证，
即证，也即证成立，
设函数，则，
在单调递减，又，
当时，，
，即 【解析】利用导数的几何意义即可求得切线方程；
根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，由可得结果；
设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论．
本题考査导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题．