2021-2022学年吉林省白山市高三（上）期末数学试卷（文科）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省白山市高三（上）期末数学试卷（文科）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数的实部与虚部的和为12，则(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.     已知向量，，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     若x，y，z为非零实数，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.     北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，⋯，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则(    )

A. 189 B. 252 C. 324 D. 405

6.     已知，则关于x的方程有解的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8.     已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.     某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(    )

A. 18
B. 36
C. 54
D. 108

10. 某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是(    )

A. 2020年第四季度的销售额为380万元
B. 2020年上半年的总销售额为500万元
C. 2020年2月份的销售额为60万元
D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元

11. 已知四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，，，，则四棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(    )

A. 双曲线C的离心率为
B. 若，且，则
C. 以线段，为直径的两个圆外切
D. 若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为4

13. 已知是奇函数，且当时，若，则__________.
14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
15. 函数的图象在点处的切线的斜率为__________.
16. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则__________.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，
    求a；
    若，求
18. 已知等差数列满足，数列的前n项和为，且
    求数列与的通项公式；
    令，求数列的前n项和
19. 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项，整理数据后得到如下统计表：

能否有的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
从本校随机抽取的120名参与了问卷调查的女生中用分层抽样的方法，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，现从这6人假设所有的人年龄不同中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率．
附：，其中

20. 如图，AB是圆O的直径，圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点，，
    证明：平面平面PBC；
    若，求三棱锥的体积．

21. 已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为
    求椭圆C的方程；
    设C的左、右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率．
22. 已知函数
    当时，求的单调区间；
    若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：集合，，
则
故选：
求出集B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的定义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．
先利用复数的乘法运算求出复数z的代数形式，然后由复数的定义得到实部和虚部，列出等式求解即可．
【解答】
解：，
所以复数z的实部与虚部分别为，，
则，得
故选：  

3.【答案】A 

【解析】解：因为，，
又因为，，所以，，，，所以，
故选：
用向量数量积定义计算两向量夹角问题．
本题考查了向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：x，y，z为非零实数，
“”“”，
“”推导不出来“”，例如，，，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：
“”“”，举例说明“”推导不出来“”，由此能求出结果．
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为数列为等差数列，，，
所以，
所以，，
则
故选：
由已知结合等差数列的性质可先求出公差及首项，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：关于x的方程有解，
已知，则关于x的方程有解的概率为：，
故选：
由判别式大于等于0求得a的范围，再由测度比是长度比求解结论．
本题考查几何概型概率的求法，考查一元二次方程存在实根的条件，是基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设M的纵坐标为，由抛物线的方程可得准线方程为：，
由题意可得，两式相减可得，即，
故选：
设P的纵坐标，由抛物线的性质可得到焦点的距离代入到准线的距离，由题意可得，两式相减可得p的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数关系式的应用及齐次式的应用，属于基础题．
由同角三角函数关系式化简得，代入求解即可．

【解答】

解：


故选：

9.【答案】C 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为底面腰长为的等腰直角三角形，高为6的三棱柱体；
如图所示：

故
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】

【分析】
根据第一季度的销售额和销售额占总销售额的百分比求出总销售额，即可选出答案．
本题考查双层饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：设全年总销售额为x万元，则，
故，
选项A：第四季度销售额为万元，故A错误．
选项B：上半年销售额度为万元，故B错误．
选项C：2月份的销售额为万元，故C错误．
选项D：由图易知销售额占比为的月份最多，故月销售额的众数为万元，故D正确．
故选：  

11.【答案】D 

【解析】解：四棱锥的底面是矩形，取PC中点O，连接AC，OA，OB，OD，如图，

因为平面ABCD，平面ABCD，
则，而，，AB，平面PAB，
则有平面PAB，
又平面PAB，
即有，
同理有，
而，
因此有，
于是得四棱锥外接球的球心为O，半径为OA，
矩形ABCD中，，
从而得，
即球半径，
所以四棱锥外接球的表面积为
故选：
根据给定条件确定四棱锥外接球的球心位置，计算出球半径，代入球的表面积公式计算即可．
本题考查了四棱锥的外接球问题，属于中档题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：对于A，设，则，
因为，，直线与的斜率率之积等于3，
所以，得，故A错误；
对于B：因为，所以，
而P为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，
又，且，则，
由，可得，
即，解得，故B错误；
对于C：设 的中点为，O为坐标原点，则为的中位线，
所以，
则以线段为直径的圆，圆心为，半径，
以线段为直径的圆，圆心为O，半径，
所以，故两个圆外切，故C正确；

对于D：因为点到C的一条渐近线的距离为，所以，
又由前面的推理可知，所以，故C的实轴长为，故D错误．
故选：
设，则，根据两点坐标求斜率的方法求得以，可得，可判断A；由，可得，根据双曲线的定义可得，可得，，可得出a的值，可判断B；设 的中点为，O为坐标原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系可判断C；由点到C的一条渐近线的距离为，可得，又，可得a，可判断
本题考查双曲线的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，是奇函数，且，
则，
又由当时，，则有，
解可得，
故答案为

14.【答案】3 

【解析】

【分析】
本题考查了线性规划的应用，考查了学生的数形结合能力，属于基础题．
利用约束条件画出可行域，然后利用数形结合即可求解．
【解答】
解：x，y满足约束条件，
则x，y满足的可行域如图所示：三角形ABC边界及内部，
联立方程，解得，
由图可得在点A处取得最大值，即，
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的概念及其几何意义，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，则答案可求．

【解答】

解：由，得，

即函数的图象在点处的切线的斜率为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的单调性应用问题，也考查了转化思想与运算能力，是中档题．
根据函数在上单调递减得出的取值范围，再根据函数的最大值即可求得的值．

【解答】

解：因为函数在上单调递减，
所以，且，
解得，即，
又因为在上的最大值为，
所以，
即，，
解得，；
所以时，
故答案为：

17.【答案】解：因为，
由余弦定理得，，
因为
整理得，，，
若，
所以，
所以，
由B为三角形内角得，，
由正弦定理得，，
所以，
因为A为三角形内角且，
所以或 

【解析】由已知结合余弦定理进行化解可求b，进而可求a；
由已知结合余弦定理及三角形面积公式化简可求，进而可求B，然后结合正弦定理可求，进而可求
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：等差数列满足，，
设公差为d，
则，解得，
所以，解得，
所以，，
数列的前n项和为，且①，
当时，，
当时，②，
①-②得，时也满足此式，
所以，
由得，
所以①，
②，
①-②得：
，
整理得： 

【解析】本题考查等差数列的通项公式，错误相减法求和，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
设数列的公差为d，根据等差数列的通项公式求出d，即可得到；利用可得的通项公式；
利用的结论，进一步利用错位相减法求和即可．
 

19.【答案】解：由表中数据可得，
，
则没有的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
由题意可得，在抽取的6人中，其中环境保护占 人，社会援助占人，
故抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率
 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】证明：圆O所在的平面，即面ABC，
而面ABC，，
又AB是圆O的直径，C为圆周上一点，
故，且，
面PAC，又面PAC，
则，
在直角三角形ACB中，由可得，
又，
所以，
又D为PC中点，
所以，
又，
所以面PBC，
又平面ABD，
所以平面平面PBC；
因为，
所以，，，
所以，
所以，
因为D为PC中点，
所以 

【解析】根据条件证明面PBC，从而由面面垂直的判定定理可证明结论；
由D为PC中点可知三棱锥的体积是三棱锥体积的一半，计算三棱锥的体积可得最终结果．
本题考查了面面垂直的证明以及三棱锥的体积问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：易知，
因为的面积为，所以
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以
联立方程组，解得所以椭圆C的方程为
显然直线l的斜率不为0，由知，
设l：，，，
联立方程组，消去x，得，
由韦达定理，可得，
所以
由，化简得，解得，
所以直线l的斜率为 

【解析】求出，，通过三角形底面积，原点O到直线AB的距离为，求解a，b，得到椭圆方程．
设l：，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过三角形的面积，推出直线斜率即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；
当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数的，
，
令，即，解得：或舍去，
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以，
当 时，即时，，在上单调递增，
，
得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，
，即，不符合题意；
综上得，实数a的取值范围为 

【解析】当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调性和最小值，结合，从而得出实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题，属于难题．