2021-2022学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷     若全集，，，则(    )A.  B.  C.  D.     设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件    函数的图象可能是(    )A.  B.  C.  D.     对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300h的电子元件的个数为(    )
A. 800 B. 750 C. 700 D. 650    设，，，则a，b，c的大小关系为.(    )A.  B.  C.  D.     设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为(    )A.  B.  C.  D.     设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则下列结论正确的是(    )A. 的图象过点 B. 在上是减函数
C. 的一个对称中心是 D. 的一个对称中心是    已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为(    )A.  B.  C. 2 D.     函数的所有零点之和为(    )A. 10 B. 11 C. 12 D. 13设i为虚数单位，计算__________.二项式的展开式中的常数项为______.若直线l：与圆交于A，B两点，则__________.对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为__________；在3轮测试中，通过的次数X的期望是__________.已知，，则的最小值为__________.在四边形ABCD中，，，，则__________；若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，则当时，的取值范围是__________.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，
求角B；
求a，c；
求的值．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且
求证：平面PBC；
求证：平面BDE；
求平面AEB与平面AED的夹角的大小．
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为
求椭圆C的方程；
设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为
求的取值范围；
若PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．在等比数列中，已知，且，，依次是等差数列的第2项，第5项，第8项．
求数列和的通项公式；
设数列的前n项和为
求；
求证：已知函数，
当时，求函数的单调区间；
若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；
是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．
答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了集合的运算关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
先求出全集的元素，然后再求出集合A的补集，再根据交集的定义即可求解．【解答】解：由已知可得全集，
所以，
则，
故选：  2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属于基础题．
解不等式，可得或，由集合的关系可得答案．【解答】解：由，可解得或，
由或，不能推出，故“”是“”的不充分条件，
由，不能够推出或，故“”是“”的不必要条件，
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：  3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和
当时，函数的值为0，故排除
故选  4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了统计概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用频率分布直方图即可计算出样本中不少于300小时的频率，即可解出结果．【解答】解：样本中不少于300小时的频率为：，
元件的个数为：，
故选：  5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．属于基础题.
利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：，且，，即，
又，即，

故选：  6.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查锥体外接球的相关计算，球的体积公式等知识，属于基础题．依题意可知球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，根据三棱锥的体积求出PC，从而求出球的半径，最后利用球的体积公式计算可得其体积．【解答】解：，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，
则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，
因为，，三棱锥的体积为18，
所以，
即，
所以，所以，所以，
故球O的体积，
故选：  7.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性和周期性，单调性，属于中档题.
根据周期求出，根据函数图象关于直线对称求出，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确．【解答】解：由题意，，得
又的图象关于直线对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以，，故A错误;
当时，，
在区间[，]上不单调，故B错误;
，则点是函数的图象的一个对称中心，故C正确;
，所以D错误.
故选  8.【答案】B 【解析】解：设直线方程为，联立双曲线方程可得：
，
则，，
可得，
以线段PQ为直径的圆过右焦点F，可得，
即有为等边三角形，可得，
，
化为，
解得，
由，可得，
则
故选：
设直线方程为，联立双曲线方程，可得Q的坐标，由题意，即有为等边三角形，可得，再由a，b，c和e的关系式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 9.【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
由题意画出函数图象，再判断零点个数，再求和即可．【解答】解：令可得，
作出和的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象有8个交点，
又两函数图象均关于直线对称，
的8个零点之和为
故选：  10.【答案】 【解析】【分析】
复数的分母实数化，化简为的形式即可．
本题考查复数的基本运算，复数的分母实数化是解题的关键．【解答】解：
故答案为：  11.【答案】112 【解析】解：展开式的通项为，
令得，
所以展开式中的常数项为
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出二项式展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线的距离d即可．【解答】解：由圆得，
可得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则由圆的性质可得，，
即
故答案为：
   13.【答案】  【解析】【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题．【解答】解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率，
故在一轮测试中，通过的概率为，
在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即

故答案为：；  14.【答案】8 【解析】【分析】先利用完全平方公式对已知式子进行变形，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意等号成立条件的检验，属于中档题．【解答】解：，，
则，
根据基本不等式可得，，
当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
同理，，当时取等号，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值
   15.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的运算法则，是中档题．
由已知可得四边形ABCD为等腰梯形，，，再利用平面向量的运算法则求出，求出，，的值，结合平面向量的运算法则求得，即可求出的范围．【解答】解：在四边形ABCD中，，，，
四边形ABCD为等腰梯形，，，
，，

，，，
，，，
，，
，
，，
解得或，
，，
的取值范围是，
故答案为：，  16.【答案】解：由于，
利用正弦定理：，
由于，所以，所以
所以，由于，
所以
利用余弦定理，且，
整理得，
解得，
故；
利用正弦定理，整理得，
因为，所以，
所以，
所以；
，

 【解析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，三角函数的倍角公式，属于中档题．
直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果；
利用余弦定理的应用求出结果；
利用正弦定理和三角函数关系式中倍角公式的应用求出结果．
 17.【答案】证明：因为底面ABCD，，所以AB、AD、AP两两垂直，
建系如图，，，，，，
，，，
因为，，所以平面
证明：因为，
，，，
令，
因为，，所以是平面BDE的法向量，
因为，又平面BDE，所以平面
解：因为，，，
令，，
因为，，所以是平面ABE的法向量，
因为，，所以是平面ADE的法向量，
设平面AEB与平面AED的夹角的大小为，
，所以 【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．
只要证明，即可；
只要证明平面BDE的法向量与的数量积为零即可；
用向量数量积计算两平面夹角的余弦值．
 18.【答案】解：由题意可得：，，又，
联立解得：，，，
椭圆C的方程为：
由知，而直线不垂直于y轴，
设直线PQ的方程为，
由，消去x，并整理得：，
设，，则，，
，
，，
的取值范围为；
设线段PQ的中点为，则，，
，
的垂直平分线交y轴于点，则，
否则，M与重合，此时点T与原点重合，
，，
，，
整理得，解得，
直线PQ的斜率为或 【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设出椭圆C的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得．
设直线的方程，与椭圆C的方程联立，求出弦PQ长，由此能求出的取值范围．
求出PQ中点M的坐标，借助向量垂直列式计算，能求出直线PQ的斜率．
 19.【答案】解：设等比数列的公比为q，
而等差数列的第2项，第5项，第8项成等差数列，则
，即，
解得，
又因为，所以，
显然有，，
则等差数列公差，
所以，
所以数列和的通项公式分别是，
由得，……
……

由得，，
所以…
 【解析】本题考查等差数列、等比数列、分组求和、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
设出等比数列的公比，根据已知条件列出方程求出此公比及等差数列的公差，再列式即可作答．
由的结论结合分组求和方法即可计算；
利用和的结论，借助裂项相消法求出即可作答．
 20.【答案】解：时，，，
令，解得：，令，解得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
恒成立，
即恒成立，
令，
，
时，，，在上单调递增，
，
关于x的不等式不能恒成立，
时，，令，得，
时，，时，，
故函数在递增，在递减，
故函数的最大值是，
令，则在递减，
，，
时，，故整数a的最小值是2；
假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，
不妨，则处切线的方程为：，
处切线的方程为：，
，为同一直线，，
整理得，
消去得，，①
令，由与，得，
记，则，
为上的单调减函数，则，
从而①式不可能成立，
假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属于拔高题．
代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为恒成立，令，求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的最小值即可；
假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，分别求出处切线的方程，处切线的方程，得到，①利用导数证明该式不可能成立，说明假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的点．