高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.3 两条直线的位置关系同步测试题

2.3　两条直线的位置关系

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定

A级必备知识基础练

1.下列各组直线中,互相垂直的一组是(　　)

A.2x-3y-5=0与4x-6y-5=0

B.2x-3y-5=0与4x+6y+5=0

C.2x+3y-6=0与3x-2y+6=0

D.2x+3y-6=0与2x-3y-6=0

2.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是(　　)

A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)

B.y=2x

C.2x-y+5=0

D.2x+y-3=0

3.(多选题)(2022山东五莲高二期中)已知直线l:x-2y-2=0,(　　)

A.直线x-2y-1=0与直线l平行

B.直线x-2y+1=0与直线l平行

C.直线x+2y-1=0与直线l垂直

D.直线2x+y-2=0与直线l垂直

4.(2022四川成都七中高二入学测试)已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C且与线段AB平行的直线方程为(　　)

A.3x+2y-5=0

B.3x-2y-1=0

C.2x-3y+1=0

D.2x+3y-5=0

5.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　)

A. B.a

C.- D.-或不存在

6.(2022河北唐山五十九中高二月考)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为　　　　　. 

7.若直线l1,l2的斜率是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,若直线l1,l2垂直,则t=　. 

8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(n-1,3),C(-1,3-n).

(1)若∠A是直角,求实数n的值;

(2)求过坐标原点,且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程.

B级关键能力提升练

9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是(　　)

A.-2 B.-7 C.3 D.1

10.(2022广州大学附属中学高二月考)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(　　)

A.-10 B.-2 C.0 D.8

11.(多选题)(2022山东济南山师附中高二期中)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是(　　)

A.若l1∥l2,则m=-1或m=3

B.若l1∥l2,则m=-1

C.若l1⊥l2,则m=-

D.若l1⊥l2,则m=

12.(多选题)(2022湖北荆州高二期末)已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有(　　)

A.直线l2的斜率为-

B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18

C.直线l1倾斜角的正切值为3

D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2

13.点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为　　　　　　　,线段MH的垂直平分线的方程为　　　　　　　. 

14.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标.

15.若△ABC的顶点A的坐标为(2,3),三角形其中两条高所在的直线方程为x-2y+3=0和x+y-4=0,试求此三角形的边AB,AC所在直线的方程.

C级学科素养创新练

16.已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

17.(多选题)(2022河北高二学情监测)已知直线l1:xsin α+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则下列结论中正确的是(　　)

A.直线l1与直线l2可能相交

B.直线l1与直线l2可能重合

C.直线l1与直线l2可能垂直

D.直线l1与直线l2可能平行

参考答案

2.3　两条直线的位置关系

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定

1.C　对于A,k1k2=≠-1,因此l1与l2不垂直;

对于B,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直;

对于C,k1k2==-1,因此l1⊥l2;

对于D,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直.故选C.

2.ABC　与直线2x-y-3=0平行的直线都可以化为2x-y+m=0(m≠-3)的形式,因此选项A,B,C符合,故选ABC.

3.ABD　直线l:x-2y-2=0的斜率k=,在y轴上截距为-1.

对于A,直线x-2y-1=0的斜率为,在y轴上截距为-,∴直线x-2y-1=0与直线l平行,故A正确;

对于B,直线x-2y+1=0的斜率为,在y轴上截距为,∴直线x-2y+1=0与直线l平行,故B正确;

对于C,直线x+2y-1=0的斜率为-,∴直线x+2y-1=0与直线l不垂直,故C错误;

对于D,直线2x+y-2=0的斜率为-2,∴直线2x+y-2=0与直线l垂直,故D正确.

故选ABD.

4.B　由题可知,kAB=,则过点C且与线段AB平行的直线的斜率为.又该直线过点(1,1),则该直线方程为y-1=(x-1),整理得3x-2y-1=0.

5.D　当a≠0时,由l1⊥l2得k1·k2=a·k2=-1,解得k2=-;当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y轴平行或重合,故直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为-或不存在.

6.-　由题可得kAB=.

设AB边上高线的斜率为k,则k·kAB=-1,

即k·=-1,解得k=-.

所以AB边上的高所在直线的斜率为-.

7.-1　设直线l1,l2的斜率分别是k1,k2.因为k1,k2是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,则k1·k2=t.又直线l1,l2垂直,所以k1·k2=-1.故可得t=-1.

8.解(1)当n=2时,∠A不是直角,不合题意;

当n≠2时,∵∠A是直角,∴kAB·kAC=-1,

即=-1,解得n=.

综上所述,实数n的值为.

(2)∵直线l与△ABC的高AD垂直,∴直线l与直线BC平行或重合.

∵B,C不重合,∴n≠0,∴直线l的斜率k=kBC==1,

又直线l过坐标原点,∴直线l的方程为x-y=0.

9.C　由题知直线+y=1的斜率为-,则直线MN的斜率为2,即kMN==2,解得m=3.

10.A　由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,分别设为k1,k2,k3.

因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.

因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即(-2)×-=-1,解得n=-2.所以m+n=-8+(-2)=-10.故选A.

11.AD　若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,解得m=3或m=-1,故A正确,B不正确;

若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C不正确,D正确.故选AD.

12.BD　当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;

当直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0,解得m=-18,故B正确;

由题知,直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;

当直线l1平行于直线l2,则-3=-,且3≠-,解得m=2,故D正确.

故选BD.

13.x-y+5=0　x-y+3=0　由题得,kMH==-1.

又点M在直线l上的射影是点H,则直线l与直线MH垂直,所以直线l的斜率为k=1.故直线l的方程为y-4=x+1,整理得x-y+5=0.

由于线段MH的垂直平分线过MH的中点.

由题知,线段MH的中点为(0,3),且垂直平分线的斜率等于直线l的斜率,所以垂直平分线的方程为y-3=x,整理得x-y+3=0.

14.解设D(x,y),则kAB==1,kBC==-,kCD=,kDA=.

因为AB⊥CD,AD∥BC,

所以kAB·kCD=-1,kDA=kBC,即

解得故点D的坐标为(10,-6).

15.解因为点A的坐标不满足所给的两条高所在直线的方程,所以所给的两条直线方程是过顶点B,C的高所在直线的方程.又所给两条直线的斜率分别为,-1,若kAB=-2,则kAC=1,则直线AB的方程为y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0,直线AC的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0.

同理,若kAC=-2,则kAB=1,则直线AC的方程为2x+y-7=0,直线AB的方程为x-y+1=0.

16.C　当cos2α≠0时,k1=-.

∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,∴k2=.

∵0<cos2α≤1,∴k2=.

设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),

则tanθ≥,∴≤θ<;

当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0.

∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角θ=.

综上,直线l2的倾斜角的取值范围为.

故选C.

17.ABD　由题知,直线l1:xsinα+y=0的斜率为k1=-sinα,过定点(0,0),直线l2:x+3y+c=0斜率为k2=-,过点(-c,0).

若直线l1与直线l2相交,则sinα≠,而-1≤sinα≤1,即sinα≠成立,故选项A正确;

若直线l1与直线l2重合,则c=0,且sinα=,而-1≤sinα≤1,故选项B正确;

若直线l1与直线l2垂直,则k1k2=sinα=-1,则sinα=-3,与-1≤sinα≤1矛盾,则直线l1与直线l2不可能垂直,故选项C错误;

若直线l1与直线l2平行,则sinα=且c≠0,而-1≤sinα≤1,可以有sinα=,故选项D正确.

故选ABD.