高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题

3.1.2　椭圆的简单几何性质

A级必备知识基础练

1.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

2.(2022天津三中高二期中)椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1的关系为(　　)

A.有相同的长轴长与短轴长

B.有相同的焦距

C.有相同的焦点

D.有相同的离心率

3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,面积为2π,且短轴长为2,则C的标准方程为(　　)

A.+y2=1 B.=1

C.=1 D.=1

4.(2022广东人大附中深圳学校高二期中)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)

A.=1 B.+y2=1

C.+y2=1 D.x2+=1

5.以椭圆=1的长轴端点作为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆的焦距是(　　)

A.16 B.12 

C.8 D.6

6.(多选题)(2022河北唐县一中高二期中)若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论正确的有(　　)

A.m=2 B.C的长轴长为

C.C的短轴长为 D.C的离心率为

7.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为　　　　　. 

8.已知椭圆C的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,C的离心率为,且点P(1,1)到C的一个焦点的距离为,求C的标准方程.

B级关键能力提升练

9.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为(　　)

A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.10 cm

10.(2022浙江宁波北仑中学高二月考)若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

11.(2022吉林田家炳高级中学高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在椭圆上,且∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,则椭圆的离心率等于(　　)

A.-1 B.-1 

C. D.

12.如图,椭圆的中心在原点O,顶点是A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.0, B.,1 

C.0, D.,1

13.(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

14.如图,椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该椭圆的离心率为　　　　　. 

15.已知椭圆E的中心为原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围.

C级学科素养创新练

16.(2022浙江宁波高二期中)如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长PF2与椭圆交于点Q.若|PF1|=4|QF2|,则直线PF2的斜率为(　　)

A.-2 B.-1 C.- D.1

参考答案

3.1.2　椭圆的简单几何性质

1.A　由题意知2a=8,解得a=4.

又e=,即,解得c=3.

所以b2=a2-c2=7.

又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为=1.

故选A.

2.D　椭圆x2+2y2=2可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为2,焦距为2,离心率为,且焦点在x轴上;2x2+y2=1可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为,焦距为,离心率为,且焦点在y轴上.可得A,B,C不正确,D正确.故选D.

3.B　由题意可得解得

因为椭圆C的焦点在x轴上,所以C的标准方程为=1.故选B.

4.A　根据题意,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),若右焦点到短轴端点的距离为2,则c2+b2=4,即a2=4,则a=2.

又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=1,则b2=a2-c2=4-1=3.

故椭圆的标准方程为=1.故选A.

5.D　因为椭圆=1的长轴端点为(0,±3),所以可设所求的椭圆的标准方程为=1.

∵椭圆经过点(-4,1),∴=1,解得a2=18,则c=3.

因此,所求椭圆的焦距为6.故选D.

6.AD　由已知可得=1,解得m=2或m=-1(舍去),∴椭圆C的标准方程为=1.

∴长轴长为2,短轴长为2,离心率为.

故选AD.

7.　∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,∴=2,∴m=.

8.解①当焦点F在x轴上时,设F(m,0),则|PF|=,

解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.

当c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时C的标准方程为=1;

当c=2时,由,得a=4时,则b2=a2-c2=12,此时,C的标准方程为=1.

②当焦点F在y轴上时,设F(0,m),则|PF|=,

解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.

当c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时,C的标准方程为=1;

当c=2时,由,得a=4,则b2=a2-c2=12,此时C的标准方程为=1.

综上,C的标准方程为=1或=1或=1或=1.

9.B　设小椭圆的长半轴长为a小.

因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以,

所以小椭圆的长轴长为20cm.故选B.

10.A　因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,所以2b=2c,即b=c.

A中,因为a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;

B中,因为a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3;

C中,因为a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2;

D中,因为a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6.

故选A.

11.B　∵∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,

∴△PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=c.

∵由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

∴c+c=2a,∴e=-1.故选B.

12.D　因为∠B1PA2为钝角,所以<0,

即(-c,-b)·(a,-b)<0,整理可得b2<ac⇒a2-c2-ac<0,

可得e2+e-1>0,解得e>或e<.

又e∈(0,1),所以<e<1.故选D.

13.BC　假设椭圆上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,

即|PF2|=,|PF1|=.

因为|PF2|≥a-c,所以≥a-c,即a≤3c.

经检验,A,D不满足要求,B,C满足要求.故选BC.

14.　根据题意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=2c.

在直角三角形QF1O中,因为|QF1|=2c,|F1O|=c,所以∠QF1O=60°,

所以|PF1|=2×2c×cos30°=2c,所以|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,

所以e=.

15.解(1)由题意可得,c=1,a=2,∴b=.

∴所求椭圆E的标准方程为=1.

(2)设M(x0,y0)(x0≠±2),则=1. ①

=(t-x0,-y0),=(2-x0,-y0),

由MP⊥MH可得=0,

即(t-x0)(2-x0)+=0. ②

由①②消去y0,整理得t(2-x0)=-+2x0-3.

∵x0≠2,∴t=x0-.

∵-2<x0<2,∴-2<t<-1.

∴实数t的取值范围为(-2,-1).

16.A　连接PF1,QF1,∵点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,

∴PF1⊥PF2.

设|QF2|=m(m>0),∵|PF1|=4|QF2|,

∴|PF1|=4m.

∴|PF2|=2a-|PF1|=2a-4m,|QF1|=2a-|QF2|=2a-m.

∴|PQ|=2a-4m+m=2a-3m.

在△PF1Q中,∠F1PQ=90°,∴|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2,

即(2a-m)2=(4m)2+(2a-3m)2,

解得a=3m,∴|PF2|=2m.

∴tan∠PF2F1==2.

∴直线PF2的斜率为k=tan(180°-∠PF2F1)=-2,故选A.