湘教版(2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂检测题
展开3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
A级必备知识基础练
1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-2x B.y2=2x
C.x2=2y D.x2=-2y
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,4)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.(2022重庆八中高二期中)若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y
6.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P到焦点的距离与到x轴的距离之差为1,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点Ax0,在C上,点B的坐标为0,-,若|AB|=5,则C的焦点坐标为 .
8.已知抛物线的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的标准方程.
B级关键能力提升练
9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,则p=( )
A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.1
10.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为( )
A.x=-1 B.x=-2
C.y=-1 D.y=-2
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为 ( )
A.1 B. C. D.
12.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 .
13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求实数λ的值.
C级学科素养创新练
14.(2022浙江宁波效实中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,2),P为抛物线上一点且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为 .
参考答案
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
1.B 由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax(a>0),则=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.
2.B 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
3.B 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.
4.D 由题意可得3x0=x0+,即x0=,则(4)2=2p·,解得p=8(负值舍去).故选D.
5.D ∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,
∴p=4,∴点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.
6.B 由抛物线的方程可得准线的方程为y=-,设P的纵坐标为n,由抛物线的性质,则n+-n=1,解得p=2,故选B.
7.0, ∵点Ax0,在C上,
∴=2p·,解得x0=±p.
又点B的坐标为0,-,
∴=5,解得p=5.
故抛物线C的焦点坐标为0,.
8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.
故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.
∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,
∴c=1,即a2+b2=1.
故双曲线的标准方程为=1.
∵点在双曲线上,
∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).
故所求双曲线的标准方程为=1.
9.B 设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,所以代入抛物线方程可得8=2p3-,整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B.
10.A 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,0,
∵M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,
∴M,p或M.
又|OM|=,∴2+p2=5,
解得p=2或p=-2(舍),则=1,
∴抛物线的准线方程为x=-1,故选A.
11.C 如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PE⊥QM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=,直线PQ的斜率为.故选C.
12.,0 (方法1)将x=2代入抛物线y2=2px(p>0),可得y=±2.
设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,
由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,
即=-1,解得p=1.
所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为,0.
(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的交点为D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p>0),
可得4=4p,解得p=1.
所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为,0.
13.解(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px(p>0)联立,可得4x2-5px+p2=0,Δ=9p2>0,故x1+x2=.
由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.
故抛物线的标准方程为y2=8x.
(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,
则y1=-2,y2=4.
故A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
14.5+ 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=.
过点P向准线作垂线,垂足为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.
过点A向准线作垂线,垂足为D0,交抛物线于点P0,
根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时,
|PA|+|PD|取最小值,为|AD0|=5.
故△PAF周长的最小值为5+.
高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习: 这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习,共5页。试卷主要包含了已知点A在抛物线C,已知抛物线C等内容,欢迎下载使用。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线精练: 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线精练,共8页。试卷主要包含了 对抛物线,下列描述正确的是等内容,欢迎下载使用。
高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品练习题: 这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品练习题,共3页。试卷主要包含了3 抛物线,已知抛物线C,抛物线y2=2px,已知点P是圆C,设抛物线C等内容,欢迎下载使用。