高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程练习题

第3章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线-x2=1的渐近线方程是(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0 

C.2x±y=0 D.x±2y=0

2.若抛物线x2=2my的焦点与椭圆=1的下焦点重合,则m的值为(　　)

A.4 B.2 C.-4 D.-2

3.(2022四川绵阳一中高二期中)平面上满足到定点F(0,-1)和定直线l:2x+3y+3=0距离相等的点P(x,y)的轨迹是(　　)

A.圆 B.双曲线 

C.直线 D.抛物线

4.(2022山西怀仁高二期中)与椭圆=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程是(　　)

A.-y2=1 B.-y2=1 

C.=1 D.x2-=1

5.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|=|F1F2|,则C的离心率为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M的纵坐标为-4,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=-16x B.y2=8x或y2=4x

C.y2=-8x D.y2=16x或y2=8x

7.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆的上顶点,直线AF1交椭圆于另一点P,若|PF2|=|PA|,则椭圆的离心率为              (　　)

A. B. C. D.

8.已知焦点在x轴上的椭圆=1(a>0),且a,2,c成等差数列,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为              (　　)

A.8 B.10 C.12 D.16

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则(　　)

A.x0=3 B.y0=2 

C.|OM|= D.F的坐标为(0,1)

10.(2022吉林东北师大附中高二期中)已知关于x,y的方程mx2+ny2=1(其中m,n为参数)表示曲线C,下列说法正确的是(　　)

A.若m=n>0,则曲线C表示圆

B.若mn>0,则曲线C表示椭圆

C.若mn<0,则曲线C表示双曲线

D.若mn=0,m+n>0,则曲线C表示四条直线

11.(2022浙江瑞安中学高二期中)已知双曲线C过点(),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　)

A.双曲线C的离心率为 

B.左焦点到渐近线的距离为

C.双曲线的实轴长为1

D.过右焦点被双曲线C截得弦长为6的直线只有三条

12.(2022山东嘉祥一中高二期中)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,则下列结论正确的有(　　)

A.椭圆的标准方程为=1

B.椭圆的焦距为

C.椭圆上存在2个点Q,使得=0

D.直线l的方程为8x-9y+25=0

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2022河南名校联盟高二期中)已知椭圆的面积等于,其中l是椭圆长轴长与短轴长的乘积,则椭圆=1的面积为　　　　　. 

14.如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7 m,高为0.7 m.根据图中的坐标系,则这条抛物线的方程为　　　　　　　　　. 

15.双曲线=1(b>0)的离心率为,则b=　　　　　;过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|=　　　　　. 

16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且△PF1F2是直角三角形,这样的点P有　　　　　个. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①双曲线E的焦点在x轴上,②双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.

已知双曲线C的对称轴为坐标轴,且C经过点A(0,),B(1,3).

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同,　　　　　,且E的焦距为4,求双曲线E的实轴长. 

注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.

19.(12分)(2022河北唐县一中高二期中)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为,记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)若直线l:y=x-3和曲线C相交于E,F两点,求|EF|.

20.(12分)已知椭圆C:=1.

(1)求C的四个顶点围成的菱形的面积;

(2)若直线y=kx+1与C交于P,Q两点,M(5,0),△MPQ的面积为,求k的值.

21.(12分)(2022广东华南师大附中高二期中)如图,在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池,水池边缘由两个半椭圆=1(x≤0)和=1(x≥0)组成,其中a>b>9,“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).

(1)求“挞圆”的方程;

(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值.

22.(12分)(2022山东临沂兰山高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设点Q在线段AE上,若|FQ|=c,求直线FQ的斜率.

参考答案

第3章测评

1.C　∵双曲线的标准方程为-x2=1,∴渐近线方程为-x2=0,即y=±2x.

故选C.

2.D　∵椭圆=1的下焦点坐标为(0,-1),即抛物线x2=2my的焦点坐标,∴=-1,∴m=-2.故选D.

3.C　依题意得,点F(0,-1)在直线l上,所以点P的轨迹是过点F且与l垂直的直线.故选C.

4.B　椭圆=1的焦点坐标是(±,0).

设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

因为双曲线过点P(2,1),所以=1,

又a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线的标准方程是-y2=1.故选B.

5.B　e==2.故选B.

6.D　∵抛物线的准线方程是x=-,而点M到准线的距离为6,∴点M的横坐标是6-.

将点M6-,-4的坐标代入y2=2px,得32=2p6-,解得p=8或p=4,故该抛物线的标准方程为y2=16x或y2=8x.

故选D.

7.A　因为A是上顶点,所以|AF1|=|AF2|=a.

由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

又|PF2|=|PA|,则可得|PF1|=,|PF2|=.

则由余弦定理可得cos∠APF2=,

则整理可得a2=3c2,则离心率e=.故选A.

8.C　因为椭圆=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.

又a,2,c成等差数列,所以4=a+c.

联立解得所以椭圆的标准方程为=1,左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).

设P(x0,y0),则=1,所以=81-,

=(-x0-1,-y0)·(-x0+3,-y0)=-2x0-3+-2x0-3+8--2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],

当x0=-3时,最大,为12.故选C.

9.AC　由题可知F(1,0),由|MF|=x0+1=4,=4x0,可得x0=3,y0=±2.

则|OM|=.故选AC.

10.ACD　若m=n>0,则x2+y2=>0,C表示圆,故A正确;

若m<0,n<0,满足mn>0,但C不表示椭圆,故B错误;

若mn<0,则C表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故C正确;

若mn=0,m+n>0,则m>0,n=0或m=0,n>0,则x=±或y=±,C表示四条直线,故D正确.故选ACD.

11.BD　由已知设双曲线的方程为x2-=λ,因为双曲线过点(),所以2-=λ,λ=1,双曲线的标准方程为x2-=1,a=1,b=,所以c=2,离心率为e==2,故A错误;左焦点为(-2,0),一条渐近线方程是x-y=0,左焦点到渐近线的距离为d=,故B正确;双曲线实轴长是2,故C错误;双曲线两顶点间的距离为2a=2,又=6,即通径长为6,因此过右焦点被双曲线截得弦长为6的直线有3条,两个交点在同一支上的只有一条,即双曲线的通径所在直线,另两条与双曲线的两支各有一个交点,故D正确.故选BD.

12.AD　因为PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=,所以c=,a=(|PF1|+|PF2|)=3,则b=2,所以椭圆的标准方程为=1,椭圆的焦距为2,故A正确,B错误;

由=0知∠F1QF2=90°,所以点Q在以F1F2为直径的圆上,因为c>b,所以圆与椭圆有4个交点,故C错误;

因为过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,

所以点M(-2,1)为弦AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-4,y1+y2=2,联立两式相减得直线AB的斜率为kAB==-,所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0,故D正确.故选AD.

13.4π　因为a2=8,b2=2,所以a=2,b=,所以椭圆=1的面积为πab=4π.

14.x2=y　设抛物线方程为x2=2py(p>0),

因为B,所以=2×p,

解得p=,

所以抛物线的方程为x2=y.

15.1　2　由e=,得b=1.

由双曲线的渐近线为y=±x可知,|OA|2=|OF|2-|AF|2=c2-b2=a2=4,所以|OA|=2.

16.6　当P不是直角顶点时,P为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点,易知这样的点有4个;当P是直角顶点时,点P在以F1F2为直径的圆上,c=,

故圆的标准方程为x2+y2=6,联立解得这样的点P有两个.综上所述,共有6个点满足条件.

17.解(1)设双曲线C的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

则解得

所以双曲线C的标准方程为=1.

(2)双曲线C的渐近线方程为y=±x.

若选①,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),

则解得

所以双曲线E的实轴长为2.

若选②,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),

则解得所以双曲线E的实轴长为2.

18.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点M的横坐标为=2,即x1+x2=4.

(1)|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2.

故抛物线的标准方程为y2=4x.

(2)由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1,0),故设直线方程为y=k(x-1),k≠0,

联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0,则x1+x2==4.

解得k=±,故直线l的方程为x±y-=0.

19.解(1)由题意可得AM,BM的斜率分别为k1=(x≠-2),k2=(x≠2),

由已知得(x≠±2),化简得=1(x≠±2),

即曲线C的方程为=1(x≠±2),曲线C是一个双曲线(不包含左、右顶点).

(2)联立消去y整理得x2-12x+22=0,

设E(x1,y1),F(x2,y2),Δ=56>0,则x1+x2=12,x1x2=22,

|EF|=·|x1-x2|==4.

20.解(1)由题意,可得a2=4,b2=3,所以a=2,b=,

所以C的四个顶点围成的菱形的面积为×2a×2b=2ab=4.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,Δ=36k2+36(4+3k2)=144(k2+1)>0,则x1+x2=-,x1x2=-,

可得|PQ|=.

又由点M到直线y=kx+1的距离d=,

所以△MPQ的面积S=|PQ|×d=·|5k+1|=,即,

解得k=1或k=.

21.解(1)易知b=15,a=34-9=25,所以“挞圆”的方程为=1(x≤0)和=1(x≥0).

(2)设A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形水箱在第一、二象限内的顶点,

则可得x2=-x1,

所以网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t×x1=15×34×2×≤510×=510,当且仅当时,等号成立.

故网箱所占水域面积的最大值为510平方米.

22.解(1)由已知,可得(c+a)c=.

又由b2=a2-c2可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.

又因为0<e<1,解得e=.

所以,椭圆的离心率为.

(2)(方法1)依题意,设直线FQ的方程为x=my-c(m>0),则直线FQ的斜率为.

由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,

与直线FQ的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=c,有+c2+2=2,

整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),即直线FQ的斜率为.

(方法2)依题意,设直线FQ的斜率为k(k>0),则直线FQ的方程为y=k(x+c).

由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0.

联立解得

∴点Q坐标为,

由已知|FQ|=c,有+c2+2=c2,

整理得4k=3,即k=,即直线FQ的斜率为.