高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

培优课　直线与椭圆的位置关系

A级必备知识基础练

1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)

A.1 B.1或2 C.2 D.0

2.直线y=x+1被椭圆=1截得的弦的中点的坐标是(　　)

A. B. 

C.- D.-,-

3.(2022四川成都蓉城名校联盟高二期中)直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为(　　)

A.± B.±1 C.± D.±2

4.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:=1(a>b>0)截得的弦长为2 023,则下列直线被椭圆C截得的弦长一定为2 023的有(　　)

A.y=2x-3 B.y=2x+1

C.y=-2x-3 D.y=-2x+3

5.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为　　　　　　　　. 

6.若P,Q是椭圆C:=1上的动点,则|PQ|的最大值为　　　　　. 

B级关键能力提升练

7.已知椭圆=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为5,则b的值是(　　)

A.1 B. C. D.

8.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.经过椭圆+y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则等于　　　　　. 

10.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为　　　　　. 

11.(2022云南昆明一中高二期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距是2,长轴长是4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点F1(-,0)作斜率为的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(,0)是椭圆的右焦点,求△F2MN的面积.

C级学科素养创新练

12.(2022四川阆中中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知直线l:x-y+2=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?

参考答案

培优课　直线与椭圆的位置关系

1.C　因为直线过定点(3,-1)且<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.

2.C　联立消去y整理得3x2+4x-2=0.

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),

则x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,

故中点坐标为-.

3.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立整理可得3x2+4mx+2m2-2=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

所以弦长|AB|=,由题意可得|AB|=,解得m=±1,故选B.

4.ACD　∵椭圆C:=1(a>b>0)关于原点、x轴、y轴对称,

直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,

∴选项A,C,D中的直线被椭圆C:=1(a>b>0)截得的弦长一定为2023,故选ACD.

5.=1　设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),则c=1.

因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以.

又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为=1.

6.4　由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.

7.D　由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.

∵|AF2|+|BF2|的最大值为5,

∴|AB|的最小值为3.

当且仅当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值,此时两交点坐标为-c,,-c,-,

代入椭圆方程可得=1,利用c2=4-b2,0<b<2,解得b=.

8.B　依题意可得F(-1,0),设P(x,y),

则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为+y2=1,

所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,

故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.

9.-　依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.

将y=x-1代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.

所以两个交点坐标为(0,-1),,所以=(0,-1)·=-.

10.-9　易知直线l的斜率存在且不为0,

设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,

得xM==-,yM=kxM+b=,

故直线OM的斜率kOM==-,

则kOM·k=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.

11.解(1)因为所以

所以椭圆C的标准方程为=1.

(2)由题意可知直线MN的方程为y=(x+),设M(x1,y1),N(x2,y2),

联立直线方程与椭圆方程可得5x2+8x+4=0,

所以x1+x2=-,x1x2=.

所以|MN|=.

又因为F2(,0)到直线MN的距离d=,

所以△F2MN的面积为S=.

12.解(1)由题意可得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)设平行于直线l的直线l'的方程为x-y+m=0.

联立消去y得3x2+4(x+m)2=12,

即7x2+8mx+4m2-12=0,

由Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=0,

解得m1=-或m2=.

结合图象(图略)可知当m1=-时,直线l':x-y-=0与椭圆的交点是椭圆C上到直线l的距离最远的点,此时直线l'与直线l间的距离为d=,

所以在椭圆C上存在点到直线l的距离最大,最大距离为.