【高考一轮复习，二级结论高效解题】专题1 子集、交集、并集、补集之间的关系式

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【结论阐述】若一个集合含有（）个元素，则集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集.
理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.
对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集､真子集､子集､非空真子集之间的联系有区别.
【典例指引1】
（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测）
1．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【典例指引2】
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【针对训练】
（2023·河南·开封市东信学校模拟预测）
3．集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）
4．设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
（2022·新疆·三模）
5．已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
（2023·浙江台州一中模拟）
6．已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．8D．16
7．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
二级结论2：子集､交集､并集､补集之间的关系
【结论阐述】
（其中为全集）.
（1）当时，显然成立；
（2）当时，图如图所示，结论正确.
这个结论通过集合的交､并､补运算与集合的包含关系的转换解决问题.
【典例指引1】
8．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例指引2】
9．已知集合，或.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【针对训练】
10．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）
11．已知，且，则满足条件的x有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021·辽宁沈阳·三模）
12．已知集合，若，则实数（ ）
A．B．1C．D．或
（2023·重庆八中模拟预测）
13．已知集合，，且，则a的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）
14．已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若且，求实数m的值．
二级结论3：德·摩根定律
【结论阐述】.
这两个公式是把交集的补集转化为补集的并集，或把并集的补集转化为补集的交集，这是集合运算的一条运算律，利用它们可以简化运算.
【典例指引1】
16．已知全集，集合，，则______.
【典例指引2】
17．设全集，，，则___________，___________.
【针对训练】
（2023·吉林·东北师大附中模拟预测）
18．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
（2023·辽宁·高三月考）
19．若全集，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
（2023·浙江绍兴·模拟预测）
20．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
（2023·天津·南开中学模拟预测）
21．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知全集为，集合，则___________，___________.
参考答案：
1．C
【分析】化简集合A，B，根据条件 确定集合的个数即可.
【详解】因为，,
且
所以集合C的个数为
故选：C
2．A
【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数
【详解】解：集合，
所以集合中的元素个数为9，
故其真子集的个数为个，
故选:
3．B
【分析】根据真子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
4．D
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．
【详解】由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
5．C
【分析】根据题意先求得集合，再求子集的个数即可.
【详解】由，得集合
所以集合A的子集有个，
故选： C
6．C
【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.
【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
7．B
【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.
【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，
故选：B.
8．B
【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合，然后由题意得，从而建立不等式组求得的范围.
【详解】解不等式，得，所以.
由，得，
∴，解得﹒
故选：B
9．（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意及，可得，即可求得答案；
（2）由，可得，由题意得，所以或，即可解得答案.
【详解】（1）因为集合，或，且，
所以，解得；
（2）因为，所以，
因为恒成立，所以，
所以或，
解得或.
【点睛】解题的关键是根据，可得集合的包含关系，且A集合含有参数，需分析A集合是否为空集，再进行求解，属基础题.
10．D
【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.
11．C
【分析】根据集合的包含关系，结合集合元素的性质，求解即可.
【详解】因为，所以，
所以或，解得或，
所以满足条件的x有，共3个．
故选：C．
12．A
【分析】根据交集定义，结合集合中元素的互异性求解．
【详解】由得，
时，不合题意，时，也不合题意，
时，，满足题意．
故选：A．
13．D
【分析】由集合补运算求，再根据集合交运算的结果求参数a的取值范围.
【详解】由题设，，又，，
∴.
故选：D
14．D
【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.
【详解】，
当时，，满足，只有D选项符合.
当时，，
要使，则或或，即或或，
所以实数a的所有值构成的集合是.
故选：D
15．(1).
(2)m=或1.
【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解.
（2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解.
【详解】（1）由，知．
①当时，，解得；
②当时，有，解得．
所以实数m的取值范围为．
（2）因为，，，且，则
①当时，有，解得，
则，此时，满足题意；
②当时，有，解得，
则，此时，不满足题意，舍去；
③当时，有，解得，
此时，，满足题意．
综上，实数m的值为或1．
16．
【分析】本题首先可以根据题意求出以及中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】因为全集，，，
所以，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查补集以及交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，是简单题.
17． 或 或
【分析】可以根据交并补的关系——和计算即可；也可以通过画数轴的方式分析.
【详解】，，，，，
或，或.
故答案为：或;或
【点睛】本题考查集合的并集与补集运算.关于范围的交､并､补一般利用数轴法解.
18．A
【分析】求出，根据交集的运算即可求得答案.
【详解】由题意得
故，
故选：A
19．D
【分析】根据集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.
【详解】因为，
所以，，所以选项AB不符合题意；
又因为，
所以，
，
因此选项C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D
20．D
【分析】由题意，根据补集与交集的混合运算性质，可得答案.
【详解】，，，
，
故选：D.
21．A
【分析】按照交集，并集和补集运算法则进行计算.
【详解】，，，，
所以
故选：A
22．
【分析】解一元一次不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．
【详解】由已知，解得，∴，又，
∴.
故答案为：；．