第01讲 绝对值的重难点突破（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第1讲 绝对值的重难点突破（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 绝对值的定义典例1（2021春•交城县期末）若|2a﹣7|＝7﹣2a，则a的取值范围为 　    　．针对训练11．（江阴市校级月考）绝对值不大于4的整数有　      　类型二 绝对值的代数意义典例2（2021秋•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7（1）若x＜y，求x﹣y的值；（2）若xy＞0，求x+y的值；  针对训练22．（2020秋•韩城市月考）已知：|a|＝8，|b|＝5．（1）若a＞b，求a﹣b的值；（2）若ab＜0，求a+b的值．   类型三 化简绝对值典例3 （2021秋•九龙县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，b﹣a　 　0，c﹣a　 　0．（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．
针对训练33．如图，数轴上的点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等．（1）化简|a﹣c|﹣|b﹣a|﹣|b﹣d|．（2）若|a|＝|c|，b﹣d＝﹣4，求a的值．     类型四  根据绝对值的非负性求值典例4（2021秋•任丘市期末）已知（a+1）2与|b﹣2|互为相反数，求（a+b）2019+a99的值．    针对训练44．已知|a+2|+|b+3|＝0，求a+b的值．   类型五 绝对值与分类讨论思想典例5（2021秋•黔西南州期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论“的数学思想，下面是运用“分类讨论“的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，的值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，　0　；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．    针对训练55．阅读下列材料：|x|，即当x＞0时，；当x＜0时，．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．（2）已知a、b、c是有理数，当abc≠0时，求的值．（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
类型6 绝对值几何意义的应用典例6（2020春•重庆期末）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程|x|＝4．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．例3：解不等式|x﹣1|＞3．在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝5的解为　      　；（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为　           　；（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围． 针对训练66．综合应用题：|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．（1）|x|的几何意义是数轴上表示 　的点与　 　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）；（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　．（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　　的点与表示　　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　．（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7这样的整数是　              　．第二部分   专题提优训练1．（2021•奉贤区三模）当x＜1时，化简：|x﹣1|＝　 　．2．（2021秋•松桃县期末）已知|a|＝3，|b|＝5，且a＞b，求b﹣2a的值．3．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝　    　；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝　   　．4．（潢川县期中）（1）我们知道当x＝　 　时，|x|有最小值是0，所以3﹣|x+1|的最大值是 　；（2）我们知道|x|＝2，则x＝±2，请你运用“类比”的数学思想求出式子|x+3|＝2中x的值．  5．（2020秋•江岸区期末）化简并填空：（1）当x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|；（2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为　 　．    6．（2021秋•谷城县期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|b|﹣|a﹣c|﹣|c|+|a+b|+|b﹣c|．  7．（2022春•宝山区校级月考）若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．   8．（2015秋•临汾校级月考）综合应用题：|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．（1）|x|的几何意义是数轴上表示　 　的点与　  　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）；（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　  　．（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　   　．（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7这样的整数是　                　． 9．（2020秋•恩施市月考）已经知道|x|的几何意义是数轴上数x所对应的点与原点之间的距离，即|x﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x与数0之间的距离，这个结论可以推广为，|x1﹣x2|表示数x1与数x2对应点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x的值为2或者﹣2．例2：已知|x﹣1|＝2，求x的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x的值为3或者﹣1．根据两个例子，求解：（1）|x﹣1|＝5，求x．（2）|x+1|＝5，求x．（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．   10．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．问题（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　    　（用含绝对值的式子表示）．问题（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　  　．②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　 　；当x的值取在　   　的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是　 　．问题（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值．问题（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，求a的最大值．问题（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值．问题（6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值．     11．（2019秋•市中区期末）认真阅读下面的材料，完成问题．材料1：绝对值的几何含义：例如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两个点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．材料2：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值．分析：|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|＝（|x﹣3|+|x﹣1|）+|x﹣2|，要使|x﹣3|+|x﹣1|的值最小，借助数轴可知x的值只要取1到3之间（包括1，3）的任意一个数；要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即可．利用上述材料方法求|x﹣7|+|x﹣3|+|x﹣1|+|x+1|的最小值为　 　．       12．（2021秋•南召县期中）在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 　 　；数轴上表示数a的点与表示﹣2的点之间的距离表示为 　 ；（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是  ；（3）a、b、c、d在数轴上的位置如下图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于 　 　；（4）数轴上任一点表示的数为a，试求|a+1|+|a﹣3|+|a+8|的最小值及此时a的取值范围．     13．已知a、b、c、d是有理数，abcd≠0，求 的值．