第11讲 与整式有关的应用（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第11讲 与整式有关的应用（原卷版）

第一部分   典例剖析+针对训练

类型一 整式的实际应用

题型1 代数应用

典例1 （崇川区校级期末）设A，B是四次多项式，且A+B仍是一个多项式，其次数为（　　）

A．八次 B．四次 C．不低于四次 D．不高于四次

典例2 （2022•南京模拟）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．

典例3 在一条笔直的河道上某船由A地顺流而下到B地时，接到通知立即逆流而上返回C地，在B地调转方向不慎落入水中一个救生圈，船转弯时间忽略不计，救生圈漂流而下．已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流速度来2.5千米/时，如果AB两地间距离为10千米，此船由A地到C地共用了4小时，那么船到C地时船与救生圈的距离是多少？

针对训练1

1．两个5次多项式相加，结果一定是（　　）

A．5次多项式 

B．10次多项式 

C．不超过5次的多项式或单项式 

D．无法确定

2．某同学做一道数学题，误将求“A﹣B”看成求“A+B”，结果求出的答案是3x2﹣2x+5．已知A＝4x2﹣3x﹣6，请正确求出A﹣B．

3．（2022秋•庐阳区校级期中）某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可任选其一

（A）计时制：0.05元/分；

（B）包月制：40元/月（限一部个人住宅电话上网）

此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分，

（1）某用户某月上网的时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用：

（2）若某用户估计一个月上网时间是50小时，他应该选择哪一种方式．

题型二 数字问题

典例4（2010春•雨花区校级期中）一个三位数，十位数字为x，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数表示为　 　．

针对训练2

5．（2020秋•思明区校级期中）小明和小勇一起玩猜数游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘以2；②加上2；③乘以5；④加上第二个数；⑤减去1；⑥乘以10；⑦加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个一位数．”小勇表示不相信，但试了几次，小明都猜对了，请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”并回答当“最后的得数”是568时，小勇最初选定的三个一位数分别是（　　）

A．5，6，8 B．4，7，8 C．5，6，7 D．4，6，7

题型三 几何问题

典例5（2021秋•越城区校级月考）一个四边形的周长是60厘米，已知第一条边长为a厘米，第二条边长比第一条边的2倍多3厘米，第三条边长是第一、二两条边长之和，求第四条边长为多少厘米？

针对训练3

6．（2021秋•宝鸡校级期中）小红和小兰房间窗户（宽为b，高为a）的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）．

（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少（窗框面积忽略不计）？

（2）若a＝3，b＝2分别求出各窗户中能射进阳光的部分的面积（π取3）．

类型二 规律探索

题型一 数式规律

典例7探索研究：

（1）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　 　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　；

（2）如果要求1+3+32+33+…+320的值，可令S＝1+3+32+33+…+320①．

将①式两边同乘以3，得②　    　．

由②减去①，得S＝　    　．

典例8（2021秋•惠山区校级期中）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…）在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（　　）

A．139 B．94 C．59 D．16

7．（驿城区校级期中）（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是　 　；

（2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是　 　，根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　．

（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为　 　，第n个单项式为　 　．

8．（2022•曾都区一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正三角形数”．设第n个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为a和b．若a＝42，则的值为（　　）

A．190 B．210 C．231 D．253

题型二 图形规律

典例9（2021秋•凤翔县期末）用棋子摆成如图所示的“T”字图案．

（1）摆成第一个“T”字需要多少枚棋子，第二个呢？按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要多少枚棋子？

（2）第n个需多少枚棋子？

针对训练9

9．（2020秋•驿城区校级期中）如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）．

（1）把表格补充完整；

（2）说明原正方形能否被分割成2021个三角形．

题型三 操作类规律

典例10（2015秋•镇江期中）如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n﹣1）×（n﹣1）的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止．

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2．

①当n＝2时，求S1：S2的值；

②用含n的代数式表示S2．

针对训练10

11．（2020•深圳模拟）如图，“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（　　）

A．192 B．243 C．256 D．768

题型四 新定义运算

典例11 如果a，b是任意两个不等于零的数，定义运算“⊕”如下（其余符号意义如常）a⊕b＝b（2a﹣3b），求[（n+1）⊕2⊕3]﹣[（n+1）⊕（2⊕3）]的值．

针对训练11

11．（2022春•新余期末）我们定义：若整式M与N满足M+N＝k（k为整数）则称M与N为关于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我们称2x与3y为关于4的平衡整式．

（1）若2a﹣5与4a+9为关于1的平衡整式，求a的值；

（2）若2x﹣9与y为关于2的平衡整式，3x与4y+1为关于5的平衡整式，求x+y的值．

第二部分 专题提优训练

1．（2021秋•梁溪区期中）已知21个连续整数的和是m，那么紧接在这21个整数后面的那21个整数的和用含m的代数式表示为 　 　．

2．（2022秋•宜阳县期末）长方形的一边长为（3a+b），另一边比它小（a﹣b），则这个长方形的周长为　 　．

3．（2021秋•三元区期中）按照下列步骤做一做：

（1）任意写一个两位数．

（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数：求这两个两位数的和．

（3）再写几个两位数并重复上面的过程，这些和有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？为什么？

4．某校初二年级有A、B、C三个课外活动小组，各组人数相等，但A中的女生比B中的女生多4名，B中的女生比C中的女生多1名．如果从A调10人去B中，再从B调10人去C中，最后从C调10人回A中，结果各组的女生人数都相等．已知从C调入A的学生中只有2名女生．问分别从A，B调出的人数中各有几名女生？

5．（2022秋•嘉定区期中）已知ABCD是长方形，以DC为直径的圆弧与AB只有一个交点，且AD＝a．

（1）用含a的代数式表示阴影部分面积；

（2）当a＝10cm时，求阴影部分面积（π取3.14，保留两个有效数字）．

6．（2022秋•上杭县期中）观察下面行数：

①﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…

②﹣6，6，﹣30，78，﹣246，…

③﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…

（1）第①行数有什么规律？

（2）第②行数与第①行数有什么关系？

（3）第③行数与第①行数有什么关系？

（4）取每行数的第6个数，计算这三个数的和．

7．观察下图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　    　；⑤　     　．

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式；

（3）你能算出13+23+33+43+••+103的值吗？

8．（2017秋•蜀山区校级期中）如图①，图②，图③，图④，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是　 　，第n个“广”字中的棋子个数是　 　．

9．（2015秋•东海县期末）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：

（1）当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐 　    人；

第二种摆放方式能坐 　  　人；（结果用含n的代数式直接填空）

（2）一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由．

10．（2020秋•溧阳市期中）定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则

经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为（　　）

A．4159 B．6419 C．5179 D．6174