第12讲 规律探究性问题（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第12讲 规律探究性问题（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 数的规律

典例1 （康巴什校级期中）观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是　．

针对训练1

1．（2020秋•津南区期中）观察下面一列有规律的数：，，，，…根据规律可知，第5个数是　　，第n个数是　   ．

2．下面是按一定规律排列的一列数：，，，，，，…那么第n个数是      　

典例2归纳猜想题：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…．

（1）通过观察发现2n的个位上的数字是由 　 　种数字组成的，它们分别是 　   　．

（2）用你所发现的规律写出89的末位数字是 　 　．

（3）22020的末位数字是 　   ．

针对训练2

3．（2016秋•柳江县期中）观察下列算式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…通过观察，用你发现的规律，写出72004的末位数字是  　．

典例3（2020秋•岫岩县期中）观察下面三行数：

﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；

﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…；

1，﹣3，9，﹣27，81，…．

（1）第一行数按什么规律排列？

（2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？

（3）取每行第6个数计算他们的和．

针对训练3

4．观察下列三行数：

第一行：1，﹣3，9，﹣27，81，…

第二行：0，﹣4，8，﹣28，80，…

第三行：﹣2，6，﹣18，54，﹣162，…

解答下列问题：

（1）第一行数按什么规律排列？

（2）第二、三行的数与第一行数分别有什么关系？请用第一行的数分别表示第二、三行的数．

（3）取这三行数中每行的第6个数，并计算这三个数的和．

类型二  式的规律

典例4（2022•镇海区校级模拟）已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（　　）

A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009

针对训练4

5．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：

解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100①

在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101②

②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1

即S＝2101﹣1

即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1

【理解运用】计算

（1）1+3+32+33+…+399+3100

（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．

典例5 （2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（　　）

A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2

针对训练5

6．（2021秋•濮阳期末）一组单项式：﹣x2，3x4，﹣5x6，7x8，……，按照此规律，则第8个单项式是 　   ．

7．（2022•五华区模拟）有规律地排列着这样一些单项式：﹣xy2，x2y4，﹣x3y6，x4y8，﹣x5y10，x6y12…，则第n个单项式（n≥1整数）可表示为 　    ．

典例6（2021秋•咸丰县期末）九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为　 　（用含a的式子表示）

针对训练6

8．（2022春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．

例如：43×47＝2021，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209

设其中一个数的十位数字为m，个位数字为n，请用含m，n的算式表示这个规律 　    　．

类型三 图形的规律

典例7（2021春•北碚区校级期末）如图1是由两个实心点组成，图2由五个实心点组成，图3由十个实心点组成，依此类推，则前六个图形共有实心点的个数为（　　）

A．37 B．57 C．77 D．97

针对训练7

9．（2021秋•西城区校级期中）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第5个图案中有 　　个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．

典例8（2021•山西模拟）如图所示的是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“×”图案组成的，依此规律，第n个图案中有　 　个“×”图案（用含n的代数式表示）．

针对训练8

10．如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第（n）幅图形中所有正三角形的个数比第（n﹣1）幅图形中所有正三角形的个数多　　个．

第二部分专题提优训练

1．（2022•耿马县二模）已知A53＝5×4×3＝60，A52＝5×4＝20，A63＝6×5×4＝120，A94＝9×8×7×6＝3024，……，观察并找规律，计算A73的结果是（　　）

A．42 B．120 C．210 D．840

2．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）

A．253 B．255 C．257 D．259

3．（2022•兴隆县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；

（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．

利用以上规律计算：f（2014）﹣f（）等于（　　）

A．2013 B．2014 C． D．

4．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　）

A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010

5．（2020秋•莱州市期末）观察下列各单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，16a5，﹣32a6，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（　　）

A．﹣29a10 B．29a10 C．210a10 D．﹣210a10

6．（2021秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　）

A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n

多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．

7．（2021秋•思明区校级期中）为了庆祝六一儿童节，某一幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆N个金鱼需要用火柴棒的根数为（　　）

A．2+6n B．6n+8 C．8n D．4n+4

8．（2019春•西湖区校级月考）观察下列关于x的单项式，探究其规律：2x，4x2，6x3，8x4，10x5，12x6，…按照上述规律，第2017个单项式是（　　）

A．2017x2016 B．2017x2017 C．4034x2016 D．4034x2017

9．（2022春•九龙坡区校级期末）有依次排列的3个整式：x，x+7，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：

①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；

②整式串3共17个整式；

③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；

④整式串2021的所有整式的和为3x﹣4037；

上述四个结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：

①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；

②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；

③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；

④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……

利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　 　．

9．（2021秋•上饶期中）已知3×2＝6，5×4×3＝60，5×4×3×2＝120，6×5×4×3＝360，…，观察上述等式，利用其规律计算的结果为 　　．

10．（2021秋•秀洲区校级月考）某一电子昆虫落在数轴上的原点，从原点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到K1，第2次由K1向右跳2个单位长度到K2，第3次由K2向左跳3个单位长度到K3，第4次由K3向右跳4个单位长度到K4…依此规律跳下去，当它跳第2009次落下时，电子昆虫在数轴上的落点K2009表示的数是 　　．

11．（2021秋•滨城区期中）设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]＝1，[﹣1.02]＝﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]＝　　．

12．（2020秋•渝中区校级月考）观察＝﹣15，＝﹣2，＝﹣6的规律，则的值为 　 　．

13．（2021秋•互助县期中）有一列按规律排列的单项式：，，，，则第7个单项式是 　　．

14．（2021•官渡区一模）观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是　 　．

15．（2022春•丰县月考）观察以下一系列等式：

①21﹣20＝2﹣1＝20；

②22﹣21＝4﹣2＝21；

③23﹣22＝8﹣4＝22；

④　            ；

…

（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：　     　；

（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：　   　；

（3）请利用上述规律计算：20+21+22+…+21000．

16．（2021秋•景德镇期中）【探究】

（1）当a＝5，b＝3，分别代入求代数式①a2﹣2ab+b2；②（a﹣b）2的值；

（2）当a，b，分别代入求代数式①a2﹣2ab+b2；②（a﹣b）2的值．

【归纳】

（3）观察（1）、（2）题中代数式的值，猜想a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2有何关系？

【应用】

（4）利用你发现的规律，求174.62﹣2×174.6×74.6+74.62的值．

17．（2021秋•长丰县期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答下列问题：

【初步感知】

（1）根据表中信息可知a＝　 　；b＝　 　；

【总结规律】

（2）表中﹣2x+4的值的变化规律：x的值每增加1，﹣2x+4的值就减少2，类似地，3x﹣5的值的变化规律：　          　；

【问题解决】

（2）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为6．

18．（2021秋•泗水县期中）定义一种新运算：

例如：1☆3＝1×2+3＝5

3☆（﹣1）＝3×2﹣1＝5

5☆4＝5×2+4＝14

4☆（﹣2）＝4×2﹣2＝6

（1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝　   　；

（2）若a≠b，那么a☆b　 　b☆a（填“＝”或“≠”）；

（3）若（3a）☆（﹣2b）＝﹣6，则3a﹣b＝　 　；并求（3a﹣2b）☆（3a+b）的值．

减﹣化简求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

19．（2022春•金东区期末）小玲想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为a（cm），宽为b（cm），则图2的小正方形的边长可用关于a和b的代数式表示为 　 　；小玲随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为 　 　．

20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，以此类推，则第2019次输出的结果是多少？

21．（2020秋•温州月考）如图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．

如果图1中的圆圈共有12层，

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 　　；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

22．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　　；数﹣201是第　　行从左边数第　　个数．

23．（2020秋•广南县期末）定义一种新运算：

2△3＝2×3﹣3＝3，3△5＝3×5﹣5＝10，2△（﹣1）＝2×（﹣1）﹣（﹣1）＝﹣1，

（1）观察上列式子规律，可知：a△b＝　 　；

（2）计算：﹣2△5；

（3）若a△（﹣8）＝4△a，求a的值．

24．（2021秋•邗江区校级期中）定义一种新运算，规律如下：

2⊗3＝2×5﹣3＝7；

3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；

（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．

（1）请你想一想：a⊗b＝　 　．

（2）请计算：（﹣2）⊗8＝　 　．

（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．

25．（2021春•建平县期末）探索发现：1；；

根据你发现的规律，回答下列问题：

（1）　　，　    ；

（2）利用你发现的规律计算：．

26．如图是一幅“斜阳正方形”，最大正方形的边长为a米，第二个正方形的边长是米，第三个正方形的边长是米，…以此类推．

①求第一个正方形到第四个正方形的周长的和与面积的和．

②当a＝16米时，求①中的周长的和与面积的和．