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第22讲 与线段中点有关的计算（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）
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这是一份第22讲 与线段中点有关的计算（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版），文件包含第22讲与线段中点有关的计算解析版docx、第22讲与线段中点有关的计算原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
第22讲 与线段中点有关的计算（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 单中点模型
典例1（2022•南京模拟）如图，点B，D都在线段AC上，AB＝18，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，求AC的长．
思路引领：首先根据AB＝18，点D是线段AB的中点，求出线段BD的长度是多少；然后根据BD＝3BC，求出线段BC的长度是多少，进而求出AC的长是多少即可．
解：∵AB＝18，点D是线段AB的中点，
∴BD＝18÷2＝9；
∵BD＝3BC，
∴BC＝9÷3＝3，
∴AC＝AB+BC＝18+3＝21．
解题秘籍：此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
针对训练1
1．（2022春•龙口市期末）如图，点C把线段MN分成两部分，其比为MC：CN＝5：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，求MN的长．
思路引领：设MC＝5xcm，CN＝4xcm，然后表示出MN，再根据线段中点的定义表示出PN，再根据PC＝PN﹣CN列方程求出x，从而得解．
解：因为MC：CN＝5：4，
所以设MC＝5xcm，CN＝4xcm，
所以MN＝MC+CN＝5x+4x＝9x（cm），
因为点P是MN的中点，
所以PN=12MN=92x，
因为PC＝PN﹣CN，
所以92x﹣4x＝2，
解得x＝4，
所以MN＝9×4＝36（cm）．
答：MN的长为36cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，根据线段之间的关系得出等量关系列方程是解题的关键．
2．（2022春•南岗区期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝15，BC＝11．
（1）求线段AM的长；
（2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝5：6，求线段MN的长．
思路引领：（1）先求出AC＝4，由中点得到AM＝2；
（2）由中点得到MC＝2，根据CN：NB＝5：6求出CN的值，从而得到答案．
解：（1）∵点C在线段AB上，AB＝15，BC＝11，
∴AC＝AB﹣BC＝15﹣11＝4，
∵点M是AC的中点，
∴AM=12AC=12×4＝2．
（2）∵M是AC的中点，
∴MC=12AC＝2，
∵点N在线段BC上，BC＝11，
∴CN+NB＝BC＝11，
又∵CN：NB＝5：6，
∴CN=55+6BC=511×11＝5，
∴MN＝MC+CN＝2+5＝7．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差是解题关键．
3．（2022春•文登区校级期中）如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC＝3：2，点D为AB的中点，AB＝30，求线段CD的长；
思路引领：根据题意易得到AD＝BD=12AB＝15，BC=25AB＝12，再根据线段之间的和差关系求解即可．
解：∵D是线段AB的中点，
∴BD=12AB=12×30＝15，
∵AC：BC＝3：2
∴BC=25AB＝12，
∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3，
故线段CD的长为3．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段的比例关系以及线段中点性质得出各线段的值．
类型二 双中点模型
典例2（2022春•新泰市期末）如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
思路引领：（1）先根据BE求出CE＝8cm，则BC＝16cm，已知AC＝10cm，则AB＝26cm，则AD＝BD＝13cm，从而求出CD和DE长度；
（2）因为点A、C之间的最短距离为10cm，故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
解：（1）∵点E是CB的中点，EB＝8cm，
∴CE＝BE＝8cm，
∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），
∵AC＝10cm，
∴AB＝26cm，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝13cm，
∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），
DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；
（2）不存在，
∵两点之间线段最短，
∴点A、C之间的最短距离为10cm，
故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）存在，
∵两点之间线段最短，
∴线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”．
针对训练2
4．（2022春•钢城区期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．
（1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的长；
（2）如果MN＝8cm，求AB的长．
思路引领：（1）先根据点M是线段AC的中点得出AC＝2AM，再由AB＝14cm求出BC的长；
（2）根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点可知NC=12BC，CM=12AC，由MN＝NC+CM即可得出结论．
解：（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝5cm，
∴AC＝2AM＝10cm，
∵AB＝14cm，
∴BC＝AB﹣AC＝14﹣10＝4cm；
（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
∴NC=12BC，CM=12AC，
∴MN＝NC+CM=12（BC+AC）=12AB，
∵MN＝8cm，
∴12AB＝8，
∴AB＝16cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
5．（2021秋•孝南区期末）如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
思路引领：（1）先求出线段BD，然后再利用线段中点的性质求出AE，BF即可；
（2）利用线段中点的性质证明EF的长度不会发生改变．
解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm，
∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC＝2cm，DF=12BD＝3cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm；
故答案为：7；
（2）不改变，
理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC，DF=12BD，
∴CE+DF=12AC+12BD＝5cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm．
解题秘籍：本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
6．（2021秋•大名县期末）如图所示，点C、D在线段AB上，点E、F分别是AC、DB的中点．
（1）设EF＝7cm，CD＝4cm，求线段AB的长；
（2）设AB＝a，EF＝b，用a，b表示线段CD的长．
思路引领：（1）根据线段的中点求出AE＝EC，DF＝FB，根据线段的和差求出AE+FB，即可求出AB长；
（2）根据线段的中点求出EC+DF，即可求出CD的长．
解：（1）∵点E、F分别是AC、DB的中点，
∴AE＝EC，DF＝FB，
∵EF＝7cm，CD＝4cm，而EF＝EC+CD+DF，
∴EC+DF＝3cm，
∴AE+FB＝3cm，
∴AB＝AE+EF+FB＝3+7＝10cm，
即AB＝10cm；
（2）∵AB＝a，EF＝b，AB＝AE+EF+FB，
∴AE+FB＝a﹣b，
∴EC+DF＝a﹣b，
∵EF＝EC+CD+DF＝b，
∴CD＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，
即CD＝2b﹣a．
解题秘籍：本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能求出AE+FB的长是解此题的关键．
7．（2022春•文登区校级期中）已知：点C在直线AB上，AC＝10，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
思路引领：分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．
解：当点C在线段AB上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=12×10＝5，CN=12BC=12×8＝4，
由线段的和差，得MN＝MC+CN＝5+4＝9；
当点C在线段AB的延长线上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=12×10＝5，CN=12BC=12×8＝4．
由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝5﹣4＝1；
即线段MN的长是9或1．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
类型三 分类讨论模型
典例3（2022春•东营区校级月考）已知线段AB＝8cm，在直线AB上有一点C，且AC＝4cm，点M是线段BC的中点，求线段BM的长．
思路引领：根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案，注意分情况讨论．
解：①当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝8﹣4＝4（cm），
∵点M是线段BC的中点，
∴BM=12BC=12×4＝2（cm）；
②当点C在线段的反向延长线上时，BC＝AB+AC＝8+4＝12（cm），
∵点M是线段BC的中点，
∴BM=12BC=12×12＝6（cm），
综上，线段BM的长为2cm或6cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用线段的和差、线段中点的性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
针对训练3
8．（2021秋•龙沙区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 ．
思路引领：此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．
解：∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB＝15，BN=12BC＝5，
如图，点C在线段AB上时，
MN＝BM﹣BN＝15﹣5＝10，
如图，点C在线段AB的延长线上时，
MN＝BM+BN＝15+5＝20；
故答案为：10或20．
解题秘籍：此题考查了两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键．
13．（2020秋•偃师市期末）A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB＝7cm，点M为线段AB的中点，线段BC＝3cm，点N为线段BC的中点，请你画出图形，求线段MN的长．
思路引领：根据题意分当点C在点B的左侧时和当点C在点B的右侧时两种情况画出图形进行讨论，再根据线段中点的意义推出BM=12AB，BN=12BC，从而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
解：当点C在点B的左侧时，如图1，
∵AB＝7cm，点M为线段AB的中点，
∴BM=12AB=72（cm），
又BC＝3cm，点N为线段BC的中点，
∴BN=12BC=32（cm），
∴MN＝BM﹣BN=72−32=2（cm）；
当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AB＝7cm，点M为线段AB的中点，
∴BM=12AB=72（cm），
又BC＝3cm，点N为线段BC的中点，
∴BN=12BC=32（cm），
∴MN＝BM+BN=72+32=5（cm），
综上，MN的长为2cm或5cm．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是格局题意画出图形进行分类讨论讨论，根据线段中点的意义推出BM=12AB，BN=12BC，注意运用数形结合的思想方法进行求解．
10．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且BE=13BD，求线段AE的长．
思路引领：（1）根据中点定义，求得BC的长，再由线段的和差计算结果；
（2）分两种情况：①当点E在点B的右侧时，②当点E在点B的左侧时，分别根据线段的和差中点定义计算即可．
解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝8cm，
∴BC=12AB＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm）；
（2）①当点E在点B的右侧时，如图：
∵BD＝3cm，BE=13BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB+BE＝8+1＝9（cm）；
②当点E在点B的左侧时，如图：
∵BD＝3cm，BE=13BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝7（cm）；
综上，AE的长为9cm或7cm．
解题秘籍：此题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义是解决此题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•福山区期末）如图，B是线段AC的中点，P是BC上一点，若PA＝m，PC＝n，则线段PB的长是（ ）
A．m﹣n B．12(m−n) C．2m﹣3n D．13(2m−n)
思路引领：由图可知AC＝AP+PC＝m+n，得出BC=12AC=12（m+n），再进一步由PB＝BC﹣PC整理得出答案即可．
解：∵B是线段AC的中点，
∴BC=12AC=12（m+n），
∴PB＝BC﹣PC=12（m+n）﹣n=12（m﹣n）．
故选：B．
解题秘籍：此题考查线段的和与差以及线段中点的意义；结合图形理解题意，是解决问题的关键．
2．（2022春•保山期末）如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（ ）
A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm
思路引领：根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN＝DN=12BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
解：∵点M是AB的中点，
∴BM＝AM=12AB=12×6＝3（cm），
∵BC＝10cm，CD＝8cm，
∴BD＝BC+CD＝10+8＝18（cm），
∵点N是BD的中点，
∴BN＝DN=12BD=12×18＝9（cm），
∴MN＝MB+BN＝3+9＝12（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
3．（2022春•红河州期末）如图，点D为线段AC的中点，BC＝2BD，若BC＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：根据BC＝2BD，若BC＝2求出BD＝1，则CD＝3，再根据点D为线段AC的中点求出AC，AB＝AC﹣BC，代数计算即可．
解：∵BC＝2BD，若BC＝2，
∴BD＝1，
∴DC＝DB+BC＝1+2＝3，
∵点D为线段AC的中点，
∴AC＝2DC＝2×3＝6，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
4．（2022春•桓台县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm．如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（ ）
A．0.5cm B．1cm C．2.5cm D．3.5cm
思路引领：根据题意求出AC，根据线段中点的性质求出OC，计算即可．
解：∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB+BC＝7cm，
∵点O是线段AC的中点，
∴OC=12AC＝3.5cm，
∴OB＝OC﹣BC＝3.5﹣3＝0.5（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解题意、正确线段中点的性质是解题的关键．
5．（2022春•张店区期末）如图，在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm．如果点D是线段AC的中点，那么线段DB的长度为（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
思路引领：根据题意可知AC＝AB+BC＝4+3＝7cm，根据点D是线段AC的中点可得到AD＝3.5cm，然后利用DB＝AB﹣AD进行计算．
解：∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB+BC＝4+3＝7（cm），
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=12AC=12×7＝3.5（cm），
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3.5＝0.5（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离：两点间的连线段的长度叫这两点间的距离．能正确表示线段之间的和差倍数关系是解题的关键．
6．（2022春•芝罘区期末）如图，AB＝12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且CD：CB＝2：3，则DB的长度为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
思路引领：根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，结合图形计算即可．
解：∵AB＝12cm，C为AB的中点，
∴AC＝BC=12AB＝6cm，
∵CD：CB＝2：3，
∴AD：CB＝1：3，
∴AD＝2cm，
∴DC＝AC﹣AD＝4（cm），
∴DB＝DC+BC＝10（cm），
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
7．（2022春•莱芜区期末）如图，已知D是线段AB的中点，CD＝5cm，BC＝3cm，则AC的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
思路引领：由BD＝CD﹣BC即可算出BD的长，再根据线段中点的性质可得AD＝BD，由AC＝AD+CD代入计算即可得出答案．
解：∵CD＝5cm，BC＝3cm，
∴BD＝CD﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∵点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝2+5＝7（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2022春•北碚区校级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB＝16，DE=13AE，则线段EC的长（ ）
A．7 B．203 C．6 D．5
思路引领：应用两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案．
解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD=12AB=12×16=8，
∵AD＝AE+DE，DE=13AE，
∴AE+13AE=8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD=12BD=12×8=4，
∴CE＝DE+CD＝2+4＝6．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2022春•周村区期中）如图，点C在线段AB上，点D是线段AB的中点，AB＝10，AC＝7，则CD＝（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
思路引领：首先利用线段的中点的性质求出AD，然后利用线段的和差求出CD．
解：∵D是线段AB的中点，AB＝10，
∴AD=12AB＝5，
而AC＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝7﹣5＝2．
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查了线段的和差及线段的中点的性质，比较简单．
10．（2022•驿城区校级开学）有两根木条，一根木条AB长为90cm，另一根木条CD长为140cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，AB、CD抽象成线段，M、N抽象成两个点），将它们的一端A和C重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（ ）
A．115cm B．35cm
C．115cm或15cm D．115cm或25cm
思路引领：根据题意画图形，分情况讨论即可．
解：本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN＝CN﹣AM=12CD−12AB＝70﹣45＝25（cm）；
（2）当B、C（或A、D）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN＝CN+BM=12CD+12AB＝70+45＝115（cm）．
故两条线段的小圆孔之间的距离MN是115cm或25cm．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
11．（2021秋•邹平市校级期末）已知线段MN＝10cm，点P是直线MN上一点，NP＝4cm，若E是线段MP的中点，则线段ME的长度为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm或7cm D．2cm或8cm
思路引领：根据题意分两类情况，①点P在线段MN上，由已知条件可计算出MP的长，再根据点E是线段MP的中点，即可得出答案；②点P在线段MN的延长线上，由已知条件可计算出MP的长，再根据点E是线段MP的中点，即可得出答案．
解：①如图，点P在线段MN上，
∵MN＝10cm，NP＝4cm，
∴MP＝MN﹣NP＝10﹣4＝6（cm），
∵点E是线段MP的中点，
∴ME=12MP=12×6＝3（cm）；
②如图，
∵MN＝10cm，NP＝4cm，
∴MP＝MN+NP＝10+4＝14（cm），
∵点E是线段MP的中点，
∴ME=12MP=12×14＝7（cm）．
综上所述，ME的长为3cm或7cm．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离及分类讨论的方法进行求解是解决本题的关键．
12．（2022春•闵行区期末）如图，点M、N分别是线段AC、BC的中点，且点C是线段MB的中点，线段MN＝12cm，则线段BN＝ cm．
思路引领：已知点M、N分别是线段AC、BC的中点，所以AC＝2CM，BC＝2CN，由于MN＝12cm，可求出CM+CN＝12cm，C是线段MB的中点，则MC＝BC，设BN＝x，则MN＝3x，求出x即可．
解：∵点M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴AC＝2CM，BC＝2CN，
∵MN＝12cm，
∴CM+CN＝12（cm），
∵C是线段MB的中点，
∴MC＝BC，
∴BN＝CN＝xcm，
∴BC＝MC＝2xcm，
∴MN＝3xcm，
∴3x＝12，
解得x＝4，
∴BN＝4cm．
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
13．（2022春•东营期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝24cm，BC=13AB．点O是线段AC的中点，则线段OB长 cm．
思路引领：根据BC=13AB，AB＝24，可求出BC＝8cm，进而求出AC和OC，再进一步求出OB即可．
解：∵BC=13AB，AB＝24cm，
∴BC=13×24=8cm，
∴AC＝AB+BC＝24+8＝32（cm），
∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝16cm，
∴OB＝OC﹣BC＝16﹣8＝8（cm）．
故答案为：8．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．利用方程的思想解决有关线段的计算是解决问题的关键．
14．（2022春•环翠区期末）两根木条，一根长8cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm．
思路引领：根据题意分两类情况，①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点D是AB的中点，点E是AC的中点，可得AE＝6cm，AD＝4cm，再由ED＝AE+AD即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点D是AB的中点，点E是AC的中点，可得AE＝6cm，AD＝4cm，再由ED＝AD﹣AE即可得出答案．
解：根据题意，①如图1，
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴AE=12AC=12×12=6（cm），AD=12BC=12×8=4（cm），
∴ED＝AE+AD＝6+4＝10（cm）；
②如图2，
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴AE=12AC=12×12=6（cm），AD=12BC=12×8=4（cm），
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣4＝2（cm）；
综上所述：两根木条的中点之间的距离为2cm或10cm．
故答案为：2或10．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离及线段的和差，熟练掌握两点的距离计及线段的和差算的方法进行计算是解决本题的关键．
15．（2022春•乳山市期末）如图，点C将线段AB分成1：2的两部分，点D是AB的中点，若CD＝2，则线段AB的长度是 ．
思路引领：根据已知条件得到AC=13AB，由点D是线段AB的中点，得到AD=12AB，根据线段的和差，可得关于AB的方程，根据解方程，可得到结论．
解：由题意，得
AC=13AB，AD=12AB．
由线段的和差，得
CD＝AD﹣AC，
即12AB−13AB＝2，
解得AB＝12，
故答案为：12．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，也考查了同学们的准确识图能力，是基础题．
16．（2022•丰南区一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）C、D两站的距离为 ；
（2）若a＝3，C为AD的中点，b＝ ．
思路引领：（1）根据两点间的距离CD＝BD﹣BC，代入计算即可得出答案；
（2）根据线段中点的性质可得AC＝CD，即可得出（a+b）+（2a﹣b）＝a+3b，代入计算即可得出答案，
解：（1）根据题意可得，
CD＝BD﹣BC＝（3a+2b）﹣（2a﹣b）＝a+3b．
故答案为：a+3b；
（2）∵C为AD的中点，
∴AC＝CD，
∴（a+b）+（2a﹣b）＝a+3b，
∴2a＝3b，
∵a＝3，
∴b＝2．
故答案为：2．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离及整式的加减，熟练掌握两点间的距离及整式的加减法则进行求解是解决本题的关键．
17．（2022春•海淀区校级期中）如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，E，F分别为AC，DB的中点，EF＝2.4cm，则AB＝ cm．
思路引领：首先设AC＝2xcm，则线段CD＝3xcm，DB＝4xcm，然后根据E、F分别是线段AC、DB的中点，分别用x表示出EC、DF，根据EF＝2.4cm，求出x的值，即可求出线段AB的长是多少．
解：设AC＝2x，
则线段CD＝3x，DB＝4x，
∵E、F分别是线段AC、DB的中点，
∴EC=12AC＝x，DF=12DB＝2x，
∵EF＝EC+CD+DF＝x+3x+2x＝2.4，
∴x＝0.4，
∴AB＝9x＝9×0.4＝3.6（cm），
故答案为：3.6．
解题秘籍：此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
18．（2022•南关区校级开学）如图，C是线段AD的中点，AC＝1.5，BC＝2.2，则BD的长为 ．
思路引领：根据点C是线段AD的中点，得到AD＝2AC，可求出AD，代入BD＝AB﹣AD即可求出BD．
解：∵点C是线段AD的中点，
∴AD＝2AC，
∵AC＝1.5，
∴AD＝3，
∵AC＝1.5，BC＝2.2，
∴AB＝AC+BC＝3.7，
又∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3.7﹣3＝0.7．
故答案为：0.7．
解题秘籍：本题考查了两点之间的距离，关键是掌握中点的性质．
19．（2021秋•花溪区期末）A，B，C三点在直线AB上，且线段AB＝10cm，BC＝4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为 ．
思路引领：由题意点C在线段AB之内时，根据题意可列式计算，即可得出答案．
解：当点C在线段AB上，
∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB=12×10=5（cm），BN=12BC=12×4=2（cm），
∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3（cm）；
当点C在线段AB的延长线上，
∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB=12×10=5（cm），BN=12BC=12×4=2（cm），
∴MN＝BM+BN＝5+2＝7（cm）．
综上，M，N两点之间的距离为3cm或7cm．
故答案为：3cm或7cm．
解题秘籍：本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离的计算方法是解决本题的关键．
20．（2021秋•巴彦县期末）如图，已知线段AB＝20cm，点M在AB上，AM：BM＝1：4，P，Q分别为AM，AB的中点，则PQ的长为 ．
思路引领：根据已知条件得到AM＝4cm，BM＝16cm，根据线段中点的定义，即可得到AP和AQ的长，进而根据PQ＝AQ﹣AP得到PQ的长．
解：由题意得，∵AM：BM＝1：4，AB＝20cm，
∴AM=15AB=15×20＝4（cm），BM＝20﹣4＝16（cm），
∵P，Q分别为AM，AB的中点，
∴AP=12AP=12AM=12×4＝2（cm），AQ=12AB＝10（cm），
∴PQ＝AQ﹣AP＝10﹣2＝8（cm），
故答案为：8cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离．解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
21．（2021秋•华容县期末）如图，线段AB＝3cm，延长AB至点C，使得BC＝3AB，D为BC的中点，则BD＝ cm．
思路引领：先根据题目的等量关系得到BC，再根据中点的性质即可求出BD．
解：∵AB＝3cm，
∴BC＝3AB＝9cm，
∵D为BC的中点，
∴BD=12BC=92cm．
故答案为：92．
解题秘籍：本题考查线段的和差倍分问题和线段的中点性质，结合图像分析线段之间的等量关系即可．
22．（2021秋•龙泉驿区校级期末）如图在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD＝2：3：4，若AB的中点M与CD的中点N的距离为15cm，则AB的长是 ．
思路引领：根据线段的比例设未知数，再根据中点的性质得到MB和CN，利用MN＝15的等量关系列方程，即可解决．
解：设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
∵M是AB中点，N是CD中点，
∴BM＝x，CN＝2x，
∴MN＝MB+BC+CN＝x+3x+2x＝15，
解得x=52，
∴AB＝5cm．
故答案为：5cm．
解题秘籍：本题主要考查线段的和差倍分，根据比例设未知数时解题的关键．
23．（2021秋•任丘市期末）已知：如图，线段AB＝6cm，延长AB到C，使得BC=23AB，D为AC中点．则BD＝ cm．
思路引领：由已知条件可知，BC=23AB＝4cm，则AC＝AB+BC，又因为D为AC的中点，故BD=12AC﹣BC可求．
解：∵BC=23AB，AB＝6cm，
∴BC=23AB=23×6＝4cm，AC＝AB+BC＝6+4＝10（cm），
∵D为AC的中点，
∴BD=12AC﹣BC＝5﹣4＝1（cm）．
故答案为：1．
解题秘籍：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
24．（2021秋•诸暨市期末）如图，两根木条的长度分别为7cm和12cm，在它们的中点处各打一个小孔M、N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN＝ cm．
思路引领：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、M、N四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．
解：本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN＝CN﹣AM=12CD−12AB，
＝6﹣3.5＝2.5（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN＝CN+BM=12CD+12AB，
＝6+3.5＝9.5（厘米）．
故两根木条的小圆孔之间的距离βMN是2.5cm或9.5cm，
故答案为：2.5或9.5．
解题秘籍：此题考查两点之间的距离问题，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
25．（2021秋•禹州市期末）已知线段AB＝6，延长AB到C，使BC＝4AB，若点D为AC的中点，则BD的长为 ．
思路引领：根据BC＝4AB求出BC，根据线段中点的定义求出AD，根据线段的和差计算即可．
解：∵BC＝4AB，
∴BC＝4×6＝24，
∴AC＝AB+BC＝6+24＝30，
∵点D是AC的中点，
∴AD=12AC＝15，
∴BD＝AD﹣AB＝15﹣6＝9．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、线段的计算是解题的关键．
26．（2021秋•南昌县期末）已知线段AB＝6，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ．
思路引领：要先找到点P的位置，分类讨论
解：有两种情况
①当P在线段AB上时，如图所示
∵AP＝2PB且AB＝6
∴AP＝4，BP＝2
∵Q是PB中点
∴PQ＝1
∴AQ＝AP+PQ＝5
②当P不在线段AB上时，如图所示
∵AP＝2PB∴B是AP中点
∴BP＝AB＝6
∵Q是PB中点
∴BQ＝QP＝3
∴AQ＝AB+BQ＝9
综上所述，AQ的长为5或9
解题秘籍：主要考查线段的和差倍分，线段的中点以及作图
27．（2021秋•吐鲁番市期末）如图，D、E分别为AB、BC的中点，若AB＝8，BC＝3，则DE＝ ．
思路引领：根据线段中点的定义可得DB＝4，BE＝1.5，再根据DE＝DB+BE可得答案．
解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DB=12AB＝4，BE=12BC＝1.5，
∴DE＝DB+BE＝4+1.5＝5.5．
故答案为：5.5．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．
28．（2021秋•广水市期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝19，BE﹣DE＝5，C是AD的中点，则AE﹣AC的值为 ．
思路引领：由AB＝19，得到BE＝19﹣AE，由BE﹣DE＝5，得到DE＝14﹣AE，根据线段的和差及中点的定义即可得到结论．
解：设AE＝m，
∵AB＝19，
∴BE＝AB﹣AE＝19﹣m，
∵BE﹣DE＝5，
∴19﹣m﹣DE＝5，
∴DE＝14﹣m，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE
＝19﹣（19﹣m）﹣（14﹣m）
＝19﹣19+m﹣14+m
＝2m﹣14，
∵C为AD中点，
∴AC=12AD=12×（2m﹣14）＝m﹣7．
∴AE﹣AC＝m﹣（m﹣7）＝7，
故答案为：7．
解题秘籍：此题考查了两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解本题的关键．
29．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是线段AB上一点，且BE=12BD，求线段AE的长．
思路引领：（1）先计算BD，再算CD．
（2）先算BE，再算AE．
解：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴BC=12AB＝5（cm）．
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣4＝1（cm）．
（2）如图：
∵BE=12BD＝2（cm），
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8（cm）．
解题秘籍：本题考查求线段的长度，将所求线段转化为其它线段的和或差是求解本题的关键．
30．（2021秋•巫溪县期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，AB＝48．点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE＝16，线段DE在线段AB上移动．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，当AD＝5CE时，求BE的长．
思路引领：（1）根据AC＝2BC，AB＝48．求出BC的长度，再利用线段差求出AD的长度．
（2）根据DC＝AC﹣AD＝32﹣AD，DC＝DE﹣CE＝16﹣CE，得出AC﹣AD＝DE﹣CE，再利用等式的性质得出答案．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝48，
∴BC=13AB＝16，AC=23AB＝32，
∵E为BC中点，
∴BE=12BC＝8，
∵DE＝16，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE＝48﹣8﹣16＝24．
（2）∵AC＝32，DE＝16，
∴DC＝AC﹣AD＝32﹣AD，DC＝DE﹣CE＝16﹣CE，
∴32﹣AD＝16﹣CE，
又AD＝5CE，
∴32﹣5CE＝16﹣CE，
∴CE＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝16﹣4＝12．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，熟练掌握各线段之间的和、差及倍数之间的关系是解答此题的关键．
31．（2021秋•二七区校级期末）如图是一种盛装葡萄酒的瓶子，已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2：3，且标签底部DE=12AB，C是BD的中点，又量得AE＝330mm，求标签CD的高度．
思路引领：设DE的长为xmm，得到AB＝2DE＝2xmm，根据线段中点的定义得到BC＝CD＝3xmm，根据题意列方程即可得到结论．
解：设DE的长为xmm，
∵DE=12AB，得AB＝2DE＝2xmm，
由AB：CD＝2：3，AB＝2xmm，得CD＝3xmm，
∵C是BD的中点，
∴BC＝CD＝3xmm，
∵AE＝330mm，
∴AB+BC+CD+DE＝2x+3x+3x+x＝330，
∴x=1103，
∴标签CD的高度为110mm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
32．（2021秋•武功县期末）如图，点B在线段AD上，且BD＝3AB，点C是线段BD的中点，若CD＝6cm，求线段AC的长．
思路引领：设未知数建立方程计算．
解：∵BD＝3AB，
∴设AB＝x，BD＝3x，
∵点C是线段BD的中点，
∴BC＝CD=12BD=32x＝6，
∴32x＝6，
∴x＝4．
∴AC＝AB+BC＝x+32x=52x＝10（cm）．
答：线段AC的长为10cm．
解题秘籍：本题考查求线段的长，充分利用中点性质和比例建立方程是求解本题的关键．
33．（2021秋•霸州市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
思路引领：（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP=14AB=92（cm）．
解题秘籍：本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
34．（2021秋•滨海县期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC=34AC，且AC＝16cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．
思路引领：（1）①由已知同加BC即得答案；
②求出BC和AB，根据AB＝CD得到CD，即可得到AD；
（2）设AM＝BM＝xcm，根据已知得x+3x+2x＝18，即可求出AD＝9x＝27cm．
解：（1）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵BC=34AC，AC＝16cm，
∴BC＝12cm，
∴AB＝AC﹣BC＝4cm，
∵AB＝CD，
∴CD＝4cm，
∴AD＝AC+CD＝20cm；
故答案为：20；
（2）如图：
设AM＝BM＝xcm，
根据已知得：AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝4xcm，
∴AD＝9xcm，CN＝DN=12CD＝2xcm，
∵MN＝18，
∴BM+BC+CN＝18，即x+3x+2x＝18，
解得x＝3，
∴AD＝9x＝27（cm）．
答：AD的长是27cm．
解题秘籍：本题考查线段中点及线段的和差，解题的关键是根据已知，用方程思想解决问题．
35．（2021秋•濮阳期末）如图，点C、D是线段AB上两点，AC：BC＝3：2，点D为AB的中点．
（1）如图1所示，若AB＝30，求线段CD的长．
（2）如图2所示，若E为AC的中点，ED＝4，求线段AB的长．
思路引领：（1）根据题意易得到AD＝BD=12AB＝20，BC=25AB＝16，再根据线段之间的和差关系求解即可；
（2）根据题意可推出AC=25AB，AD=12AB，AE=12AC=12×35AB，再根据线段之间的和差关系求解即可．
解：（1）∵D是线段AB的中点，
∴BD=12AB=12×30＝15，
∵AC：BC＝3：2
∴BC=25AB＝12，
∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3；
（2）∵AC：BC＝3：2，AC+BC＝AB，
∴AC=35AB，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE=12AC=310AB，
∵点D为AB的中点，
∴AD=12AB，
∴ED＝AD﹣AE=15AB，
∵ED＝4，
∴AB＝20．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段的比例关系以及线段中点性质得出AC=35AB，AD=12AB，AE=12AC=12×35AB，应充分将题干与图形相结合进行求解．
36．（2021秋•雨花区校级期末）如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm，BC=23AC，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
思路引领：（1）根据线段的和差倍分即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
解：（1）∵AB＝25cm，BC=23AC，
∴BC=25AB=25×25＝10（cm），
∵E是AB的中点，
∴BE=12AB＝12.5cm，
∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；
（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），
∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴AE=12AB=12×25=12.5（cm），AD=12AC=12×15=7.5（cm），
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
37．（2021秋•南昌县期末）如图，已知线段AB＝10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ CO；BO＝ DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
思路引领：（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得CO=12AO，DO=12BO，根据线段的和差，可得答案；
（3）O是AB延长线上的一点，由C、D分别是线段AO，BO的中点可得出CO，DO分别是AO，BO的一半，因此，CO，DO的差的一半就等于AO，BO差的一半，因为CD＝CO﹣DO，AB＝AO﹣BO，根据上面的分析可得出CD=12AB．因此结论是成立的．
解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点
∴AO＝2CO；BO＝2DO；
故答案为：2；2．
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO=12AO，DO=12BO，
∴CD＝CO+DO==12AO+12BO=12AB＝5；
（3）仍然成立，
如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO=12AO，DO=12BO，
∴CD＝CO﹣DO=12AO−12BO=12（AO﹣BO）=12AB=12×10＝5．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案．
38．（2021秋•玉屏县期末）已知线段AB＝15cm，直线AB上有一点C，BC＝3cm，M是线段AC的中点，求AM的长．
思路引领：根据题意分为两种情况，①如图，点C在点B的右边，②如图，点C在点B的左边，根据两点间距离的计算方法进行求解即可得出答案．
解：①如图，点C在点B的右边
因为AB＝15cm，BC＝3cm，
所以AC＝18cm，
因为M是线段AC的中点
所以AM=12AC=12×18=9cm；
②如图，点C在点B的左边
因为AB＝15cm，BC＝3cm，
所以AC＝15﹣3＝12cm，
因为M是线段AC的中点
所以AM=12AC=12×12=6cm．
综上所述：AM的长为9cm或6cm．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
39．（2021秋•攸县期末）已知点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M为线段AC中点．
（1）如图1，若点N为线段CB的中点，求线段MN的长；
（2）如图2，若点N为线段CB上的点，且满足2CN＝3NB，求线段MN的长．
思路引领：（1）根据线段中点的定义可得MC＝4cm，CN＝3cm，再根据MN＝MC+CN可得答案；
（2）根据线段的中点的定义和线段的比例可得MC＝4cm，CN＝3.6cm，再根据MN＝MC+CN可得答案．
解：（1）∵点M为线段AC中点，点N为线段CB的中点，
∴MC=12AC=12×8＝4cm，CN=12BC=12×6=3cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3＝7cm；
（2）∵点M为线段AC中点，
∴MC=12AC=12×8＝4cm，
∵2CN＝3NB，
∴CN=35BC＝3.6cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3.6＝7.6cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
第22讲 与线段中点有关的计算（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 单中点模型
典例1（2022•南京模拟）如图，点B，D都在线段AC上，AB＝18，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，求AC的长．
思路引领：首先根据AB＝18，点D是线段AB的中点，求出线段BD的长度是多少；然后根据BD＝3BC，求出线段BC的长度是多少，进而求出AC的长是多少即可．
解：∵AB＝18，点D是线段AB的中点，
∴BD＝18÷2＝9；
∵BD＝3BC，
∴BC＝9÷3＝3，
∴AC＝AB+BC＝18+3＝21．
解题秘籍：此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
针对训练1
1．（2022春•龙口市期末）如图，点C把线段MN分成两部分，其比为MC：CN＝5：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，求MN的长．
思路引领：设MC＝5xcm，CN＝4xcm，然后表示出MN，再根据线段中点的定义表示出PN，再根据PC＝PN﹣CN列方程求出x，从而得解．
解：因为MC：CN＝5：4，
所以设MC＝5xcm，CN＝4xcm，
所以MN＝MC+CN＝5x+4x＝9x（cm），
因为点P是MN的中点，
所以PN=12MN=92x，
因为PC＝PN﹣CN，
所以92x﹣4x＝2，
解得x＝4，
所以MN＝9×4＝36（cm）．
答：MN的长为36cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，根据线段之间的关系得出等量关系列方程是解题的关键．
2．（2022春•南岗区期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝15，BC＝11．
（1）求线段AM的长；
（2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝5：6，求线段MN的长．
思路引领：（1）先求出AC＝4，由中点得到AM＝2；
（2）由中点得到MC＝2，根据CN：NB＝5：6求出CN的值，从而得到答案．
解：（1）∵点C在线段AB上，AB＝15，BC＝11，
∴AC＝AB﹣BC＝15﹣11＝4，
∵点M是AC的中点，
∴AM=12AC=12×4＝2．
（2）∵M是AC的中点，
∴MC=12AC＝2，
∵点N在线段BC上，BC＝11，
∴CN+NB＝BC＝11，
又∵CN：NB＝5：6，
∴CN=55+6BC=511×11＝5，
∴MN＝MC+CN＝2+5＝7．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差是解题关键．
3．（2022春•文登区校级期中）如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC＝3：2，点D为AB的中点，AB＝30，求线段CD的长；
思路引领：根据题意易得到AD＝BD=12AB＝15，BC=25AB＝12，再根据线段之间的和差关系求解即可．
解：∵D是线段AB的中点，
∴BD=12AB=12×30＝15，
∵AC：BC＝3：2
∴BC=25AB＝12，
∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3，
故线段CD的长为3．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段的比例关系以及线段中点性质得出各线段的值．
类型二 双中点模型
典例2（2022春•新泰市期末）如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
思路引领：（1）先根据BE求出CE＝8cm，则BC＝16cm，已知AC＝10cm，则AB＝26cm，则AD＝BD＝13cm，从而求出CD和DE长度；
（2）因为点A、C之间的最短距离为10cm，故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
解：（1）∵点E是CB的中点，EB＝8cm，
∴CE＝BE＝8cm，
∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），
∵AC＝10cm，
∴AB＝26cm，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝13cm，
∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），
DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；
（2）不存在，
∵两点之间线段最短，
∴点A、C之间的最短距离为10cm，
故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）存在，
∵两点之间线段最短，
∴线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”．
针对训练2
4．（2022春•钢城区期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．
（1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的长；
（2）如果MN＝8cm，求AB的长．
思路引领：（1）先根据点M是线段AC的中点得出AC＝2AM，再由AB＝14cm求出BC的长；
（2）根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点可知NC=12BC，CM=12AC，由MN＝NC+CM即可得出结论．
解：（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝5cm，
∴AC＝2AM＝10cm，
∵AB＝14cm，
∴BC＝AB﹣AC＝14﹣10＝4cm；
（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
∴NC=12BC，CM=12AC，
∴MN＝NC+CM=12（BC+AC）=12AB，
∵MN＝8cm，
∴12AB＝8，
∴AB＝16cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
5．（2021秋•孝南区期末）如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
思路引领：（1）先求出线段BD，然后再利用线段中点的性质求出AE，BF即可；
（2）利用线段中点的性质证明EF的长度不会发生改变．
解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm，
∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC＝2cm，DF=12BD＝3cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm；
故答案为：7；
（2）不改变，
理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC，DF=12BD，
∴CE+DF=12AC+12BD＝5cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm．
解题秘籍：本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
6．（2021秋•大名县期末）如图所示，点C、D在线段AB上，点E、F分别是AC、DB的中点．
（1）设EF＝7cm，CD＝4cm，求线段AB的长；
（2）设AB＝a，EF＝b，用a，b表示线段CD的长．
思路引领：（1）根据线段的中点求出AE＝EC，DF＝FB，根据线段的和差求出AE+FB，即可求出AB长；
（2）根据线段的中点求出EC+DF，即可求出CD的长．
解：（1）∵点E、F分别是AC、DB的中点，
∴AE＝EC，DF＝FB，
∵EF＝7cm，CD＝4cm，而EF＝EC+CD+DF，
∴EC+DF＝3cm，
∴AE+FB＝3cm，
∴AB＝AE+EF+FB＝3+7＝10cm，
即AB＝10cm；
（2）∵AB＝a，EF＝b，AB＝AE+EF+FB，
∴AE+FB＝a﹣b，
∴EC+DF＝a﹣b，
∵EF＝EC+CD+DF＝b，
∴CD＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，
即CD＝2b﹣a．
解题秘籍：本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能求出AE+FB的长是解此题的关键．
7．（2022春•文登区校级期中）已知：点C在直线AB上，AC＝10，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
思路引领：分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．
解：当点C在线段AB上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=12×10＝5，CN=12BC=12×8＝4，
由线段的和差，得MN＝MC+CN＝5+4＝9；
当点C在线段AB的延长线上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC=12AC=12×10＝5，CN=12BC=12×8＝4．
由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝5﹣4＝1；
即线段MN的长是9或1．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
类型三 分类讨论模型
典例3（2022春•东营区校级月考）已知线段AB＝8cm，在直线AB上有一点C，且AC＝4cm，点M是线段BC的中点，求线段BM的长．
思路引领：根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案，注意分情况讨论．
解：①当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝8﹣4＝4（cm），
∵点M是线段BC的中点，
∴BM=12BC=12×4＝2（cm）；
②当点C在线段的反向延长线上时，BC＝AB+AC＝8+4＝12（cm），
∵点M是线段BC的中点，
∴BM=12BC=12×12＝6（cm），
综上，线段BM的长为2cm或6cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用线段的和差、线段中点的性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
针对训练3
8．（2021秋•龙沙区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 ．
思路引领：此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．
解：∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB＝15，BN=12BC＝5，
如图，点C在线段AB上时，
MN＝BM﹣BN＝15﹣5＝10，
如图，点C在线段AB的延长线上时，
MN＝BM+BN＝15+5＝20；
故答案为：10或20．
解题秘籍：此题考查了两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键．
13．（2020秋•偃师市期末）A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB＝7cm，点M为线段AB的中点，线段BC＝3cm，点N为线段BC的中点，请你画出图形，求线段MN的长．
思路引领：根据题意分当点C在点B的左侧时和当点C在点B的右侧时两种情况画出图形进行讨论，再根据线段中点的意义推出BM=12AB，BN=12BC，从而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
解：当点C在点B的左侧时，如图1，
∵AB＝7cm，点M为线段AB的中点，
∴BM=12AB=72（cm），
又BC＝3cm，点N为线段BC的中点，
∴BN=12BC=32（cm），
∴MN＝BM﹣BN=72−32=2（cm）；
当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AB＝7cm，点M为线段AB的中点，
∴BM=12AB=72（cm），
又BC＝3cm，点N为线段BC的中点，
∴BN=12BC=32（cm），
∴MN＝BM+BN=72+32=5（cm），
综上，MN的长为2cm或5cm．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是格局题意画出图形进行分类讨论讨论，根据线段中点的意义推出BM=12AB，BN=12BC，注意运用数形结合的思想方法进行求解．
10．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且BE=13BD，求线段AE的长．
思路引领：（1）根据中点定义，求得BC的长，再由线段的和差计算结果；
（2）分两种情况：①当点E在点B的右侧时，②当点E在点B的左侧时，分别根据线段的和差中点定义计算即可．
解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝8cm，
∴BC=12AB＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm）；
（2）①当点E在点B的右侧时，如图：
∵BD＝3cm，BE=13BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB+BE＝8+1＝9（cm）；
②当点E在点B的左侧时，如图：
∵BD＝3cm，BE=13BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝7（cm）；
综上，AE的长为9cm或7cm．
解题秘籍：此题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义是解决此题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•福山区期末）如图，B是线段AC的中点，P是BC上一点，若PA＝m，PC＝n，则线段PB的长是（ ）
A．m﹣n B．12(m−n) C．2m﹣3n D．13(2m−n)
思路引领：由图可知AC＝AP+PC＝m+n，得出BC=12AC=12（m+n），再进一步由PB＝BC﹣PC整理得出答案即可．
解：∵B是线段AC的中点，
∴BC=12AC=12（m+n），
∴PB＝BC﹣PC=12（m+n）﹣n=12（m﹣n）．
故选：B．
解题秘籍：此题考查线段的和与差以及线段中点的意义；结合图形理解题意，是解决问题的关键．
2．（2022春•保山期末）如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（ ）
A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm
思路引领：根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN＝DN=12BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
解：∵点M是AB的中点，
∴BM＝AM=12AB=12×6＝3（cm），
∵BC＝10cm，CD＝8cm，
∴BD＝BC+CD＝10+8＝18（cm），
∵点N是BD的中点，
∴BN＝DN=12BD=12×18＝9（cm），
∴MN＝MB+BN＝3+9＝12（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
3．（2022春•红河州期末）如图，点D为线段AC的中点，BC＝2BD，若BC＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：根据BC＝2BD，若BC＝2求出BD＝1，则CD＝3，再根据点D为线段AC的中点求出AC，AB＝AC﹣BC，代数计算即可．
解：∵BC＝2BD，若BC＝2，
∴BD＝1，
∴DC＝DB+BC＝1+2＝3，
∵点D为线段AC的中点，
∴AC＝2DC＝2×3＝6，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
4．（2022春•桓台县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm．如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（ ）
A．0.5cm B．1cm C．2.5cm D．3.5cm
思路引领：根据题意求出AC，根据线段中点的性质求出OC，计算即可．
解：∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB+BC＝7cm，
∵点O是线段AC的中点，
∴OC=12AC＝3.5cm，
∴OB＝OC﹣BC＝3.5﹣3＝0.5（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解题意、正确线段中点的性质是解题的关键．
5．（2022春•张店区期末）如图，在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm．如果点D是线段AC的中点，那么线段DB的长度为（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
思路引领：根据题意可知AC＝AB+BC＝4+3＝7cm，根据点D是线段AC的中点可得到AD＝3.5cm，然后利用DB＝AB﹣AD进行计算．
解：∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB+BC＝4+3＝7（cm），
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=12AC=12×7＝3.5（cm），
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3.5＝0.5（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离：两点间的连线段的长度叫这两点间的距离．能正确表示线段之间的和差倍数关系是解题的关键．
6．（2022春•芝罘区期末）如图，AB＝12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且CD：CB＝2：3，则DB的长度为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
思路引领：根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，结合图形计算即可．
解：∵AB＝12cm，C为AB的中点，
∴AC＝BC=12AB＝6cm，
∵CD：CB＝2：3，
∴AD：CB＝1：3，
∴AD＝2cm，
∴DC＝AC﹣AD＝4（cm），
∴DB＝DC+BC＝10（cm），
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
7．（2022春•莱芜区期末）如图，已知D是线段AB的中点，CD＝5cm，BC＝3cm，则AC的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
思路引领：由BD＝CD﹣BC即可算出BD的长，再根据线段中点的性质可得AD＝BD，由AC＝AD+CD代入计算即可得出答案．
解：∵CD＝5cm，BC＝3cm，
∴BD＝CD﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∵点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝2+5＝7（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2022春•北碚区校级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB＝16，DE=13AE，则线段EC的长（ ）
A．7 B．203 C．6 D．5
思路引领：应用两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案．
解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD=12AB=12×16=8，
∵AD＝AE+DE，DE=13AE，
∴AE+13AE=8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD=12BD=12×8=4，
∴CE＝DE+CD＝2+4＝6．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2022春•周村区期中）如图，点C在线段AB上，点D是线段AB的中点，AB＝10，AC＝7，则CD＝（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
思路引领：首先利用线段的中点的性质求出AD，然后利用线段的和差求出CD．
解：∵D是线段AB的中点，AB＝10，
∴AD=12AB＝5，
而AC＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝7﹣5＝2．
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查了线段的和差及线段的中点的性质，比较简单．
10．（2022•驿城区校级开学）有两根木条，一根木条AB长为90cm，另一根木条CD长为140cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，AB、CD抽象成线段，M、N抽象成两个点），将它们的一端A和C重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（ ）
A．115cm B．35cm
C．115cm或15cm D．115cm或25cm
思路引领：根据题意画图形，分情况讨论即可．
解：本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN＝CN﹣AM=12CD−12AB＝70﹣45＝25（cm）；
（2）当B、C（或A、D）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN＝CN+BM=12CD+12AB＝70+45＝115（cm）．
故两条线段的小圆孔之间的距离MN是115cm或25cm．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
11．（2021秋•邹平市校级期末）已知线段MN＝10cm，点P是直线MN上一点，NP＝4cm，若E是线段MP的中点，则线段ME的长度为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm或7cm D．2cm或8cm
思路引领：根据题意分两类情况，①点P在线段MN上，由已知条件可计算出MP的长，再根据点E是线段MP的中点，即可得出答案；②点P在线段MN的延长线上，由已知条件可计算出MP的长，再根据点E是线段MP的中点，即可得出答案．
解：①如图，点P在线段MN上，
∵MN＝10cm，NP＝4cm，
∴MP＝MN﹣NP＝10﹣4＝6（cm），
∵点E是线段MP的中点，
∴ME=12MP=12×6＝3（cm）；
②如图，
∵MN＝10cm，NP＝4cm，
∴MP＝MN+NP＝10+4＝14（cm），
∵点E是线段MP的中点，
∴ME=12MP=12×14＝7（cm）．
综上所述，ME的长为3cm或7cm．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离及分类讨论的方法进行求解是解决本题的关键．
12．（2022春•闵行区期末）如图，点M、N分别是线段AC、BC的中点，且点C是线段MB的中点，线段MN＝12cm，则线段BN＝ cm．
思路引领：已知点M、N分别是线段AC、BC的中点，所以AC＝2CM，BC＝2CN，由于MN＝12cm，可求出CM+CN＝12cm，C是线段MB的中点，则MC＝BC，设BN＝x，则MN＝3x，求出x即可．
解：∵点M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴AC＝2CM，BC＝2CN，
∵MN＝12cm，
∴CM+CN＝12（cm），
∵C是线段MB的中点，
∴MC＝BC，
∴BN＝CN＝xcm，
∴BC＝MC＝2xcm，
∴MN＝3xcm，
∴3x＝12，
解得x＝4，
∴BN＝4cm．
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
13．（2022春•东营期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝24cm，BC=13AB．点O是线段AC的中点，则线段OB长 cm．
思路引领：根据BC=13AB，AB＝24，可求出BC＝8cm，进而求出AC和OC，再进一步求出OB即可．
解：∵BC=13AB，AB＝24cm，
∴BC=13×24=8cm，
∴AC＝AB+BC＝24+8＝32（cm），
∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝16cm，
∴OB＝OC﹣BC＝16﹣8＝8（cm）．
故答案为：8．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．利用方程的思想解决有关线段的计算是解决问题的关键．
14．（2022春•环翠区期末）两根木条，一根长8cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm．
思路引领：根据题意分两类情况，①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点D是AB的中点，点E是AC的中点，可得AE＝6cm，AD＝4cm，再由ED＝AE+AD即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点D是AB的中点，点E是AC的中点，可得AE＝6cm，AD＝4cm，再由ED＝AD﹣AE即可得出答案．
解：根据题意，①如图1，
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴AE=12AC=12×12=6（cm），AD=12BC=12×8=4（cm），
∴ED＝AE+AD＝6+4＝10（cm）；
②如图2，
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴AE=12AC=12×12=6（cm），AD=12BC=12×8=4（cm），
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣4＝2（cm）；
综上所述：两根木条的中点之间的距离为2cm或10cm．
故答案为：2或10．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离及线段的和差，熟练掌握两点的距离计及线段的和差算的方法进行计算是解决本题的关键．
15．（2022春•乳山市期末）如图，点C将线段AB分成1：2的两部分，点D是AB的中点，若CD＝2，则线段AB的长度是 ．
思路引领：根据已知条件得到AC=13AB，由点D是线段AB的中点，得到AD=12AB，根据线段的和差，可得关于AB的方程，根据解方程，可得到结论．
解：由题意，得
AC=13AB，AD=12AB．
由线段的和差，得
CD＝AD﹣AC，
即12AB−13AB＝2，
解得AB＝12，
故答案为：12．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，也考查了同学们的准确识图能力，是基础题．
16．（2022•丰南区一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）C、D两站的距离为 ；
（2）若a＝3，C为AD的中点，b＝ ．
思路引领：（1）根据两点间的距离CD＝BD﹣BC，代入计算即可得出答案；
（2）根据线段中点的性质可得AC＝CD，即可得出（a+b）+（2a﹣b）＝a+3b，代入计算即可得出答案，
解：（1）根据题意可得，
CD＝BD﹣BC＝（3a+2b）﹣（2a﹣b）＝a+3b．
故答案为：a+3b；
（2）∵C为AD的中点，
∴AC＝CD，
∴（a+b）+（2a﹣b）＝a+3b，
∴2a＝3b，
∵a＝3，
∴b＝2．
故答案为：2．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离及整式的加减，熟练掌握两点间的距离及整式的加减法则进行求解是解决本题的关键．
17．（2022春•海淀区校级期中）如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，E，F分别为AC，DB的中点，EF＝2.4cm，则AB＝ cm．
思路引领：首先设AC＝2xcm，则线段CD＝3xcm，DB＝4xcm，然后根据E、F分别是线段AC、DB的中点，分别用x表示出EC、DF，根据EF＝2.4cm，求出x的值，即可求出线段AB的长是多少．
解：设AC＝2x，
则线段CD＝3x，DB＝4x，
∵E、F分别是线段AC、DB的中点，
∴EC=12AC＝x，DF=12DB＝2x，
∵EF＝EC+CD+DF＝x+3x+2x＝2.4，
∴x＝0.4，
∴AB＝9x＝9×0.4＝3.6（cm），
故答案为：3.6．
解题秘籍：此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
18．（2022•南关区校级开学）如图，C是线段AD的中点，AC＝1.5，BC＝2.2，则BD的长为 ．
思路引领：根据点C是线段AD的中点，得到AD＝2AC，可求出AD，代入BD＝AB﹣AD即可求出BD．
解：∵点C是线段AD的中点，
∴AD＝2AC，
∵AC＝1.5，
∴AD＝3，
∵AC＝1.5，BC＝2.2，
∴AB＝AC+BC＝3.7，
又∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3.7﹣3＝0.7．
故答案为：0.7．
解题秘籍：本题考查了两点之间的距离，关键是掌握中点的性质．
19．（2021秋•花溪区期末）A，B，C三点在直线AB上，且线段AB＝10cm，BC＝4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为 ．
思路引领：由题意点C在线段AB之内时，根据题意可列式计算，即可得出答案．
解：当点C在线段AB上，
∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB=12×10=5（cm），BN=12BC=12×4=2（cm），
∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3（cm）；
当点C在线段AB的延长线上，
∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM=12AB=12×10=5（cm），BN=12BC=12×4=2（cm），
∴MN＝BM+BN＝5+2＝7（cm）．
综上，M，N两点之间的距离为3cm或7cm．
故答案为：3cm或7cm．
解题秘籍：本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离的计算方法是解决本题的关键．
20．（2021秋•巴彦县期末）如图，已知线段AB＝20cm，点M在AB上，AM：BM＝1：4，P，Q分别为AM，AB的中点，则PQ的长为 ．
思路引领：根据已知条件得到AM＝4cm，BM＝16cm，根据线段中点的定义，即可得到AP和AQ的长，进而根据PQ＝AQ﹣AP得到PQ的长．
解：由题意得，∵AM：BM＝1：4，AB＝20cm，
∴AM=15AB=15×20＝4（cm），BM＝20﹣4＝16（cm），
∵P，Q分别为AM，AB的中点，
∴AP=12AP=12AM=12×4＝2（cm），AQ=12AB＝10（cm），
∴PQ＝AQ﹣AP＝10﹣2＝8（cm），
故答案为：8cm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离．解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
21．（2021秋•华容县期末）如图，线段AB＝3cm，延长AB至点C，使得BC＝3AB，D为BC的中点，则BD＝ cm．
思路引领：先根据题目的等量关系得到BC，再根据中点的性质即可求出BD．
解：∵AB＝3cm，
∴BC＝3AB＝9cm，
∵D为BC的中点，
∴BD=12BC=92cm．
故答案为：92．
解题秘籍：本题考查线段的和差倍分问题和线段的中点性质，结合图像分析线段之间的等量关系即可．
22．（2021秋•龙泉驿区校级期末）如图在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD＝2：3：4，若AB的中点M与CD的中点N的距离为15cm，则AB的长是 ．
思路引领：根据线段的比例设未知数，再根据中点的性质得到MB和CN，利用MN＝15的等量关系列方程，即可解决．
解：设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
∵M是AB中点，N是CD中点，
∴BM＝x，CN＝2x，
∴MN＝MB+BC+CN＝x+3x+2x＝15，
解得x=52，
∴AB＝5cm．
故答案为：5cm．
解题秘籍：本题主要考查线段的和差倍分，根据比例设未知数时解题的关键．
23．（2021秋•任丘市期末）已知：如图，线段AB＝6cm，延长AB到C，使得BC=23AB，D为AC中点．则BD＝ cm．
思路引领：由已知条件可知，BC=23AB＝4cm，则AC＝AB+BC，又因为D为AC的中点，故BD=12AC﹣BC可求．
解：∵BC=23AB，AB＝6cm，
∴BC=23AB=23×6＝4cm，AC＝AB+BC＝6+4＝10（cm），
∵D为AC的中点，
∴BD=12AC﹣BC＝5﹣4＝1（cm）．
故答案为：1．
解题秘籍：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
24．（2021秋•诸暨市期末）如图，两根木条的长度分别为7cm和12cm，在它们的中点处各打一个小孔M、N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN＝ cm．
思路引领：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、M、N四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．
解：本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN＝CN﹣AM=12CD−12AB，
＝6﹣3.5＝2.5（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN＝CN+BM=12CD+12AB，
＝6+3.5＝9.5（厘米）．
故两根木条的小圆孔之间的距离βMN是2.5cm或9.5cm，
故答案为：2.5或9.5．
解题秘籍：此题考查两点之间的距离问题，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
25．（2021秋•禹州市期末）已知线段AB＝6，延长AB到C，使BC＝4AB，若点D为AC的中点，则BD的长为 ．
思路引领：根据BC＝4AB求出BC，根据线段中点的定义求出AD，根据线段的和差计算即可．
解：∵BC＝4AB，
∴BC＝4×6＝24，
∴AC＝AB+BC＝6+24＝30，
∵点D是AC的中点，
∴AD=12AC＝15，
∴BD＝AD﹣AB＝15﹣6＝9．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、线段的计算是解题的关键．
26．（2021秋•南昌县期末）已知线段AB＝6，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ．
思路引领：要先找到点P的位置，分类讨论
解：有两种情况
①当P在线段AB上时，如图所示
∵AP＝2PB且AB＝6
∴AP＝4，BP＝2
∵Q是PB中点
∴PQ＝1
∴AQ＝AP+PQ＝5
②当P不在线段AB上时，如图所示
∵AP＝2PB∴B是AP中点
∴BP＝AB＝6
∵Q是PB中点
∴BQ＝QP＝3
∴AQ＝AB+BQ＝9
综上所述，AQ的长为5或9
解题秘籍：主要考查线段的和差倍分，线段的中点以及作图
27．（2021秋•吐鲁番市期末）如图，D、E分别为AB、BC的中点，若AB＝8，BC＝3，则DE＝ ．
思路引领：根据线段中点的定义可得DB＝4，BE＝1.5，再根据DE＝DB+BE可得答案．
解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DB=12AB＝4，BE=12BC＝1.5，
∴DE＝DB+BE＝4+1.5＝5.5．
故答案为：5.5．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．
28．（2021秋•广水市期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝19，BE﹣DE＝5，C是AD的中点，则AE﹣AC的值为 ．
思路引领：由AB＝19，得到BE＝19﹣AE，由BE﹣DE＝5，得到DE＝14﹣AE，根据线段的和差及中点的定义即可得到结论．
解：设AE＝m，
∵AB＝19，
∴BE＝AB﹣AE＝19﹣m，
∵BE﹣DE＝5，
∴19﹣m﹣DE＝5，
∴DE＝14﹣m，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE
＝19﹣（19﹣m）﹣（14﹣m）
＝19﹣19+m﹣14+m
＝2m﹣14，
∵C为AD中点，
∴AC=12AD=12×（2m﹣14）＝m﹣7．
∴AE﹣AC＝m﹣（m﹣7）＝7，
故答案为：7．
解题秘籍：此题考查了两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解本题的关键．
29．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是线段AB上一点，且BE=12BD，求线段AE的长．
思路引领：（1）先计算BD，再算CD．
（2）先算BE，再算AE．
解：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴BC=12AB＝5（cm）．
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣4＝1（cm）．
（2）如图：
∵BE=12BD＝2（cm），
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8（cm）．
解题秘籍：本题考查求线段的长度，将所求线段转化为其它线段的和或差是求解本题的关键．
30．（2021秋•巫溪县期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，AB＝48．点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE＝16，线段DE在线段AB上移动．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，当AD＝5CE时，求BE的长．
思路引领：（1）根据AC＝2BC，AB＝48．求出BC的长度，再利用线段差求出AD的长度．
（2）根据DC＝AC﹣AD＝32﹣AD，DC＝DE﹣CE＝16﹣CE，得出AC﹣AD＝DE﹣CE，再利用等式的性质得出答案．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝48，
∴BC=13AB＝16，AC=23AB＝32，
∵E为BC中点，
∴BE=12BC＝8，
∵DE＝16，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE＝48﹣8﹣16＝24．
（2）∵AC＝32，DE＝16，
∴DC＝AC﹣AD＝32﹣AD，DC＝DE﹣CE＝16﹣CE，
∴32﹣AD＝16﹣CE，
又AD＝5CE，
∴32﹣5CE＝16﹣CE，
∴CE＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝16﹣4＝12．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，熟练掌握各线段之间的和、差及倍数之间的关系是解答此题的关键．
31．（2021秋•二七区校级期末）如图是一种盛装葡萄酒的瓶子，已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2：3，且标签底部DE=12AB，C是BD的中点，又量得AE＝330mm，求标签CD的高度．
思路引领：设DE的长为xmm，得到AB＝2DE＝2xmm，根据线段中点的定义得到BC＝CD＝3xmm，根据题意列方程即可得到结论．
解：设DE的长为xmm，
∵DE=12AB，得AB＝2DE＝2xmm，
由AB：CD＝2：3，AB＝2xmm，得CD＝3xmm，
∵C是BD的中点，
∴BC＝CD＝3xmm，
∵AE＝330mm，
∴AB+BC+CD+DE＝2x+3x+3x+x＝330，
∴x=1103，
∴标签CD的高度为110mm．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
32．（2021秋•武功县期末）如图，点B在线段AD上，且BD＝3AB，点C是线段BD的中点，若CD＝6cm，求线段AC的长．
思路引领：设未知数建立方程计算．
解：∵BD＝3AB，
∴设AB＝x，BD＝3x，
∵点C是线段BD的中点，
∴BC＝CD=12BD=32x＝6，
∴32x＝6，
∴x＝4．
∴AC＝AB+BC＝x+32x=52x＝10（cm）．
答：线段AC的长为10cm．
解题秘籍：本题考查求线段的长，充分利用中点性质和比例建立方程是求解本题的关键．
33．（2021秋•霸州市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
思路引领：（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP=14AB=92（cm）．
解题秘籍：本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
34．（2021秋•滨海县期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC=34AC，且AC＝16cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．
思路引领：（1）①由已知同加BC即得答案；
②求出BC和AB，根据AB＝CD得到CD，即可得到AD；
（2）设AM＝BM＝xcm，根据已知得x+3x+2x＝18，即可求出AD＝9x＝27cm．
解：（1）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵BC=34AC，AC＝16cm，
∴BC＝12cm，
∴AB＝AC﹣BC＝4cm，
∵AB＝CD，
∴CD＝4cm，
∴AD＝AC+CD＝20cm；
故答案为：20；
（2）如图：
设AM＝BM＝xcm，
根据已知得：AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝4xcm，
∴AD＝9xcm，CN＝DN=12CD＝2xcm，
∵MN＝18，
∴BM+BC+CN＝18，即x+3x+2x＝18，
解得x＝3，
∴AD＝9x＝27（cm）．
答：AD的长是27cm．
解题秘籍：本题考查线段中点及线段的和差，解题的关键是根据已知，用方程思想解决问题．
35．（2021秋•濮阳期末）如图，点C、D是线段AB上两点，AC：BC＝3：2，点D为AB的中点．
（1）如图1所示，若AB＝30，求线段CD的长．
（2）如图2所示，若E为AC的中点，ED＝4，求线段AB的长．
思路引领：（1）根据题意易得到AD＝BD=12AB＝20，BC=25AB＝16，再根据线段之间的和差关系求解即可；
（2）根据题意可推出AC=25AB，AD=12AB，AE=12AC=12×35AB，再根据线段之间的和差关系求解即可．
解：（1）∵D是线段AB的中点，
∴BD=12AB=12×30＝15，
∵AC：BC＝3：2
∴BC=25AB＝12，
∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3；
（2）∵AC：BC＝3：2，AC+BC＝AB，
∴AC=35AB，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE=12AC=310AB，
∵点D为AB的中点，
∴AD=12AB，
∴ED＝AD﹣AE=15AB，
∵ED＝4，
∴AB＝20．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段的比例关系以及线段中点性质得出AC=35AB，AD=12AB，AE=12AC=12×35AB，应充分将题干与图形相结合进行求解．
36．（2021秋•雨花区校级期末）如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm，BC=23AC，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
思路引领：（1）根据线段的和差倍分即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
解：（1）∵AB＝25cm，BC=23AC，
∴BC=25AB=25×25＝10（cm），
∵E是AB的中点，
∴BE=12AB＝12.5cm，
∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；
（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），
∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴AE=12AB=12×25=12.5（cm），AD=12AC=12×15=7.5（cm），
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
37．（2021秋•南昌县期末）如图，已知线段AB＝10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ CO；BO＝ DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
思路引领：（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得CO=12AO，DO=12BO，根据线段的和差，可得答案；
（3）O是AB延长线上的一点，由C、D分别是线段AO，BO的中点可得出CO，DO分别是AO，BO的一半，因此，CO，DO的差的一半就等于AO，BO差的一半，因为CD＝CO﹣DO，AB＝AO﹣BO，根据上面的分析可得出CD=12AB．因此结论是成立的．
解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点
∴AO＝2CO；BO＝2DO；
故答案为：2；2．
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO=12AO，DO=12BO，
∴CD＝CO+DO==12AO+12BO=12AB＝5；
（3）仍然成立，
如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO=12AO，DO=12BO，
∴CD＝CO﹣DO=12AO−12BO=12（AO﹣BO）=12AB=12×10＝5．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案．
38．（2021秋•玉屏县期末）已知线段AB＝15cm，直线AB上有一点C，BC＝3cm，M是线段AC的中点，求AM的长．
思路引领：根据题意分为两种情况，①如图，点C在点B的右边，②如图，点C在点B的左边，根据两点间距离的计算方法进行求解即可得出答案．
解：①如图，点C在点B的右边
因为AB＝15cm，BC＝3cm，
所以AC＝18cm，
因为M是线段AC的中点
所以AM=12AC=12×18=9cm；
②如图，点C在点B的左边
因为AB＝15cm，BC＝3cm，
所以AC＝15﹣3＝12cm，
因为M是线段AC的中点
所以AM=12AC=12×12=6cm．
综上所述：AM的长为9cm或6cm．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
39．（2021秋•攸县期末）已知点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M为线段AC中点．
（1）如图1，若点N为线段CB的中点，求线段MN的长；
（2）如图2，若点N为线段CB上的点，且满足2CN＝3NB，求线段MN的长．
思路引领：（1）根据线段中点的定义可得MC＝4cm，CN＝3cm，再根据MN＝MC+CN可得答案；
（2）根据线段的中点的定义和线段的比例可得MC＝4cm，CN＝3.6cm，再根据MN＝MC+CN可得答案．
解：（1）∵点M为线段AC中点，点N为线段CB的中点，
∴MC=12AC=12×8＝4cm，CN=12BC=12×6=3cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3＝7cm；
（2）∵点M为线段AC中点，
∴MC=12AC=12×8＝4cm，
∵2CN＝3NB，
∴CN=35BC＝3.6cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3.6＝7.6cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
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