初中数学湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质优质课件ppt

课   题

勾股定理的应用

课型

新授课

教学目标

  1. 进一步掌握角平分线的性质定理及其逆定理；  

  2. 能利用角平分线的性质定理及逆定理解决较复杂问题；

  3. 体验转化思想在角平分线中的应用，锻炼思维品质.

教学重点

1. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决综合性的几何问题；

2. 学会作与角平分线有关的辅助线，体验转化思想在角平分线中的应用.

教学难点

1. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决综合性的几何问题；

2. 学会作与角平分线有关的辅助线，体验转化思想在角平分线中的应用.

教   学   活   动

一、复习铺垫

回答问题：

1、 角平分线的性质定理是什么？

PPT：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、 角平分线的性质定理的逆定理是什么？

PPT：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

二、教学新课

（一）问题探讨

1、 出示问题：如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？

2、 思路引导

由角平分线性质定理的逆定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.因为EF⊥CD，MN⊥AC，即点M到∠ACD的距离分别是MN，ME.若MN=ME，则点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线。同理可得AM是∠ACD的平分线。

3、 解答示范

解 需添加条件MN=ME(或MN=MF).

∵ EF⊥CD， MN⊥CA，

∴ M在∠ACD 的平分线上，即CM是∠ACD 的平分线。

同理可得AM是∠ACB 的平分线。

4、 讲解用角平分线性质定理的逆定理判定的条件

师：判定角的平分线，在过角的内部的点作这点到角的两边的距离的基础上，还必须满足这两个距离相等。

（二）例题解析 

例2 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.

试探索BE+PF与PB的大小关系.

分析：因为点P是∠DAC的平分线上的一点，且PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF。于是BE+PF=BE+PE，从而把BE+PF与PB的大小关系.转化成△BPE中三边之间的关系。

解：∵ AP是∠DAC的平分线，

又 PE⊥DB，PF⊥AC，

∴ PE=PF.

在△EBP中，BE+PE，

∴ BE+PF＞PB.

方法点拨：

本题是把三条线段的长度关系转化为三角形的三边关系进行探讨。转化思想在几何问题中经常运用。

三、合作探究

问题：如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？

1、 学生分组讨论

2、 分组推举学生代表讲述作图方法和理由

3、 教师讲解并用ppt展示

因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也∠C的平分线上，如图.

四、巩固练习

如图，已知：△ABC的外角∠BDE和∠CED的平分线DE，EF相交于点F.

求证：点F在∠BAC的平分线上.

思路引导：

要证点F在∠BAC的平分线上，就需证点F到角∠BAC的的两边AB，AC的距离相等，为此需作辅助线FG⊥AB，FH⊥AC。根据已知和求证还需作   FK⊥DE   。

证明：过点F作FG⊥AB，FH⊥AC，FK⊥DE.

∵ DE，EF分别是外角∠BDE和∠CED的平分线，

∴ FG=FK，FH=FK.

∴ FG=FH.

∴ 点F在∠BAC的平分线上.

五、课堂总结

师问生答，PPT展示

1、 角平分线的性质定理是什么？

生：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、 角的内部的点在角平分线上需满足哪两个条件？

生：(1)过这点作角的两边的垂线段；

(2)在(1)的条件下，垂线段(这点到角两边的距离)相等.

3、 运用转化思想解决与角平分线有关的问题有哪些方法？

PPT：(1)作辅助线—点到角的两边的距离(垂线段).

(2)把不是三角形的边的线段关系转化为三角形的三边关系.

(3)把不在同一条直线上的线段转化为转化为同一条直线上的线段.

六、作业布置

第25页课后练习第1、2题：

1、 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，

求证：

(1)∠ECD=∠EDC； 

(2)OC=OD.

证明 (1)∵ E是∠AOB的平分线上一点，

EC⊥OA，ED⊥OB，

∴ EC=ED.

∴ ∠ECD=∠EDC.

(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，

∵  EC=ED，

    OE=OE，

∴ Rt△OCE≌Rt△ODE.

∴ OC=OD.

2、 如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.

求证：AB=AD+BE.

分析 由角平分线的性质定理，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，则点C到AD，AB，BE的距离相等。于是作CF⊥AB，则CF=CD，CF=CE。

证Rt△ACD≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△BCF，可得AF=AD，BF=BE，从AB=AF+BF=AD+BE.

本题的思路是把两条线段转化为同一条直线上的线段.

解 作CF⊥AB于点F.

∵ AC平分∠BAD，

   CD⊥AD，CF⊥AB，

∴ CD=CF.

在Rt△ACD和Rt△ACF中，

∵ CD=CF，

   AC=AC，      

∴ Rt△ADC≌Rt△AFC.

∴ AD=AF.

同理可证 Rt△BCE≌Rt△BCF，

∴ BE=BF.

∵ AB=AF+BF，

∴ AB=AD+BE.

板书设计

1.4角平分线的性质（2）

1、  角平分线的性质定理和逆定理；

2、 与角平分线有关的辅助线；

3、 转化思想在角平分线中的应用；

4、 解答与角平分线有关的综合性问题。

课后反思