第12讲 等腰三角形常作的辅助线（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第12讲 等腰三角形常作的辅助线（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 利用三线合一作辅助线（1）连接顶角顶点和底边中点典例1（2021秋•无棣县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF．求证：∠AED＝∠AFD．针对训练11．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝AF．求证：（1）DE＝DF；（2）BG＝CH．（2）作底边的高典例2（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC．求证：EB⊥AB．
针对训练22．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC∠BAC．类型二 作平行线构造等腰三角形（1）作腰的平行线构造等腰三角形典例3（2010秋•青山区月考）如图，△ABC中，点D在AB上，E是AC延长线上一点，BD＝CE，DE交BC于点F，DF＝EF，DP∥AE交BC于点P，求证：AB＝AC．（2）作底边的平行线构造等腰三角形典例4（湖州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．
（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形典例5（靖江市校级月考）（1）如图1，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证明△PMO≌△QNO．（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．  针对训练33．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由． 4．（2020秋•阆中市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长． 
5．（2018秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP． 类型四 利用∠=2∠构造等腰三角形典例6（香坊区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AB＝3.5，则AD＝　2.5　．针对训练46．（江岸区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．（1）求证：BE+DE＝AB+BD；（2）若BD＝2，DE＝3，求AB的长．类型四 截长补短构造等腰三角形典例7 如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．
针对训练57．（黑龙江校级月考）已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE，CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC．（1）如图①，若AC＝AB，∠BAC＝90°时，AE＝2，求△AEB的面积．（2）如图②，若AC＝AB，探究BE，AE的数量关系，并说明理由．第二部分   专题提优训练1．（涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD＝AE． 2．（2021秋•洪江市期末）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．4．（2018秋•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．5．（2018秋•奎文区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C，求证：CD＝AB+BD．6．（2017•花山区校级开学）在△DCE和△ABC中，∠DCE＝∠ACB＝90°，CD＝CE，CA＝CB，连接AE、BD交于点O，AE、DC交于点N，BD、AC交于点M．（1）求证：AE＝BD．（2）若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四对全等三角形；
7．（2021秋•东西湖区期中）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，BE垂直于直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD＝2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2）、B（2，0）、C（﹣2，0）．（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H．证明：PA＝PH．（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．9．（2017秋•洪山区期中）已知AB∥CD，点E为BC上一点，且AB＝CD＝BE，AE、DC的延长线交于点F，连BD，（1）如图1，求证：CE＝CF；（2）如图2，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，求∠BDG的度数．
10．（硚口区期中）已知∠BAE与∠BCD互为补角，AB＝AE，CB＝CD，连接ED，点P为ED的中点．（1）如图1，若点A，B，C三点在同一条直线上．①求证：∠EBD＝90°；②求证：AP∥BD；（2）如图2，若点A，B，C三点不在同一条直线上，求证：AP⊥CP．    11．（2022春•尤溪县期中）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，BC与ED的延长线交于点F．（1）如图1，连接CD，求证∠FCD＝∠FDC；（2）如图2，连接BD与CE交于点O．①求证：OC＝OD；②求证：A，O，F三点在同一条直线上．