专题15 相交线与平行线（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）

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专题15 相交线与平行线1、复习线段、角有关的概念、性质及计算，并能应用于解决实际问题；2、使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质。一、线段1．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即过两点有且只有一条直线．2．同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有  平行， 相交 两种。垂直与相交的的关系：垂直是特殊的相交。3．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短)．4．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等例1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COE＝65°，则∠BOD为（　　）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】D【分析】根据垂直的定义求得；然后根据余角的定义可以推知；最后由对顶角的性质可以求得．【详解】解：，；又，，（对顶角相等）．故选：．二、余角和补角：1、余角：定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质：同角或等角的余角相等。2、补角：定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质：同角或等角的补角相等。例2．如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠，则∠的大小是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质和互为余角的性质解答即可．【详解】解：如图示：∴由题意可知，，∴，∴，故选：D．三、对顶角我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。例3．如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（    ）A．75° B．80° C．100° D．120°【答案】A【分析】根据对顶角相等可得：∠1=∠2=30°，从而得∠BOC=150°，进而即可求解．【详解】解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=30°，∴∠BOC=180°-30°=150°，∵平分，∴==×150°=75°．故选A．四、同位角、内错角、同旁内角直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。  例4．下列各图中，∠与∠是一定相等的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据邻补角、同旁内角、对顶角的定义，分别进行判断即可得到答案．【详解】解：根据题意，A、∠与∠是邻补角，不一定相等；B、∠与∠是同旁内角，不一定相等；C、∠与∠是任意的两个角，不一定相等；D、∠与∠是对顶角，则∠=∠；故选：D．五、平行线的判定1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条线互相平行例5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（   ）A．①④是真命题 B．①③是真命题C．②③是真命题 D．①②④是真命题【答案】A【分析】根据垂线段，平行线的判定和性质判断即可；【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行；该命题正确，②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；该命题不正确，应改为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；该命题不正确，应改为：两直线平行，同位角相等；④垂线段最短；该命题正确；故选择：A六、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。注意：已知平行用特征，探索平行用判定例6．如图，已知直线a//b，c//b，∠1=60°，则∠2的度数是（    ）A．30° B．60° C．120° D．45°【答案】B【分析】根据平行线的传递性可得，进而可得，即可求解．【详解】 a//b，c//b，，，∠1=60°，．故选B．1．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（    ）A．38° B．104° C．142° D．76°【答案】D【分析】根据角平分线的定义，对顶角相等即可求得．【详解】射线平分，，，，．故选D．2．（2022·山东济宁学院附属中学）如图，直线，将含有45°角的三角板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数是（　　）A．25° B．20 C．35 D．30【答案】A【分析】过作直线，推出，根据平行线性质得出，，根据求出，即可得出答案．【详解】解：过作直线，直线，∴，，，，，故选：A．3．（2022·杭州市十三中教育集团（总校）九年级二模）小明从处出发沿北偏东50°方向行走至处，又从处沿南偏东70°方向行走至处，则等于（    ）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B【分析】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．【详解】解：如图： ∵小明从A处沿北偏东50°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处， ∴∠DAB=50°，∠CBE=70°， ∵向北方向线是平行的，即AD∥BE， ∴∠ABE=∠DAB=50°， ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°． 故选B．4．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，AB∥EF，FD平分∠EFC，若∠DFC＝50°，则∠ABC＝（    ）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】C【分析】先根据角平分线的性质得到，再由平行线的性质得到即可．【详解】解：∵平分，，∴，∵AB∥EF，∴．故选C．5．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（    ）A．70° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】由已知条件，可得，由平角的性质可得代入计算即可得出答案．【详解】解：如图，，，，．故选：．6．（2022·全国九年级课时练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；【详解】∵，，∴，∵，∴．故选A．7．（2022·杭州市采荷中学九年级二模）如图，，分别与，交于点，．若，，则______．【答案】25°【分析】直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF=60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180°，∵∠EFC=120°，∴∠ABF=180°-∠EFC=60°，∵∠A+∠E=∠ABF，∠E=35°，∴∠A=25°．故答案为：25°．8．（2022·如皋市实验初中九年级期末）如图，直线，直线与，分别交于，两点，过点作交直线于点，若，则__________度．【答案】55【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠1+∠ABC+∠2=180°，再根据BC⊥AB，∠1=35°，即可得出∠2的度数．【详解】∵直线a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°，又∵BC⊥AB，∠1=35°，∴∠2=180°-90°-35°=55°，故答案为：559．（2022·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【分析】（1）根据角角边求证即可；（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．【详解】解：（1）证明：∵，∴，在和中，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴．10．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点在直线上；∵，，∴，∴，即．∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．（2）作于，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，即以、为邻边的正方形面积．