1.5基本不等式8大题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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1.5  基本不等式8大题型【题型解读】【知识储备】1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．【题型精讲】【题型一　基本不等式及其应用】例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，故A错误；只有在时才成立，故B错误；因为，所以，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.例2　（多选题）（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，取，则，B错；对于C选项，，，所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，因为，则，所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.故选：ACD.【题型精练】1. （2022·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，成立的条件为，故错误；对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于，故，正确.故选：D2．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，所以，即，故B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当且，即时取等号，故D正确.故选：BCD.【题型二　直接法求最值】例3　（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（       ）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】由题意可得，当且仅当时，即等号成立.故选：C．例4　（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【解析】因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2故选：D.【题型精练】1．（2022·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ）A．4 B． C．3 D．【答案】A【解析】因为，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.故选：A2. （多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ）A．上的最小值为2 B．的最大值为1C．的最大值为4 D．的最小值为【答案】AB【解析】∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故A正确；，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AB【题型三　凑配法求最值】必备技巧  通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　例5　（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（       ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x =1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．例6　（2022·上海虹口·高三期末）已知，则的最大值为______．【答案】4【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为4.故答案为：4【题型精练】1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B2. （2022·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.【解析】（1）∵，∴，当且仅当即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时；（2）令，将代入得：，∵，∴，当且仅当，即，即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时.【题型四  “1”的代换法求最值】必备技巧  “1”的代换法求最值(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．　 例7　（2022·河南·夏邑第一高级中学高三期末）已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（       ）A．16 B．4 C．24 D．12【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，，所以.故选：A.例8　（2022·安徽·南陵中学模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，又所以当且仅当即，时，取等号所以故选：A【题型精练】1．（2022·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（       ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C2. （2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．【答案】          【解析】,为正实数, 且,当且仅当 即，时取“=”故答案为:【题型五  消元法求最值】必备技巧  消元法求最值消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　 例9　（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.例10　（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.【答案】##【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为.故答案为：【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正实数，，满足，．，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D2. （2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．【答案】【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，则＝＝＝﹣2 （）2+，当，即b＝2 时取得最大值．故答案为：．【题型六  二次商式求最值】例11　（2022·全国·高三专题练习）若 ，则有（       ）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A例12　（2022·江西·宁冈中学高三阶段练习）的最大值为______.【答案】【解析】令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.【题型精练】1．（2022河南平顶山模拟）若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．  B．C．  D．【答案】　A　【解析】由x>0，＝，令t＝x＋，则t≥2＝2，当且仅当x＝1时，t取得最小值2.取得最大值，所以对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则a≥.2. （2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（       ）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A【题型七  基本不等式求参】例13　（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，解得故选：C例14　（2022·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.【答案】2【解析】解：因为，则，则，即，又，因为，所以，所以，即，当且仅当时，取等号，所以，所以，即实数的最小值是2.【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（       ）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，当且仅当时取等所以．故选：D．2. （2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（       ）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】设，则，当时，，所以函数在上为增函数，∵   ∴     ，即，又，∴ ，∴当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.【题型八  基本不等式的实际应用】例15　（2022·全国·高三课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．【答案】．【解析】设球的半径为R，由球的体积，解得．因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．由可知，AC为截面圆的直径，故可设， 在中，，在中，，所以．当且仅当，即时，等号成立．所以当用料最省时，．【题型精练】1．（2022·北京市十一学校高三期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）A．72元 B．300元 C．512元 D．816元【答案】D【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f (x)元，∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．故选：D．2. （2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（       ）（精确到1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【解析】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.故选：C.