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2.3函数的奇偶性、周期性、对称性（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
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2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．与函数周期有关的结论：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
4、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
（3）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
【题型精讲】
【题型一 判断函数奇偶性的两种方法】
必备技巧 判断函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
例1 (安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝xlg(x＋)；②f(x)＝(1－x) ；
③f(x)＝④f(x)＝.
【解析】①∵>|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
②当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．
③函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
④∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称，
∴f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
例2 （2022·江苏·高三单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【解析】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
【题型精练】
1. （2022·广东高三模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
B.在上单调递减，故错误；
C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；
D.因为，所以函数是偶函数，故错误；
故选： C．
2．（2022·全国·高三专题练习）设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
【答案】D
【解析】f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
3. （2022·山东高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，由，解得，
所以，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，即函数的定义域为.
，该函数为奇函数，
当时，，
所以，函数在上单调递减，B选项满足条件；
对于C选项，由，解得，所以，函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
当时，，该函数在上为增函数，C选项不满足条件；
对于D选项，函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
当时，，该函数在上为增函数，D选项不满足条件.
故选：B.
【题型二 函数奇偶性的四种应用】
方法技巧 函数奇偶性的四种应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2) 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
(3) 已知奇函数+M，，则
1.
2．
例3 （2022·福建高三学业考试）设为奇函数，且当时，，则当 时，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
可得.故选：D.
例4 （2022·河南洛阳·三模）若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.
故选：C.
例5 （2022·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
【答案】
【解析】因为，所以，
又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；
所以，则 ，两式相加得，
，所以.故答案为:.
例6 （2022·河南·西平县高级中学模拟预测）已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】设，因为，
所以为奇函数，
因为，
所以，
则．
故选：D.
【题型精练】
1．（2022·四川凉山·高三期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
故答案为：
2. （2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
3. （2022·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】函数的定义域为且
因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，
所以，
因为，满足为奇函数，故选：D.
4. （2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
故选：C.
【题型三 函数周期性的应用】
方法技巧 函数周期性的应用
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
例7 （2022·临河区第三中学高三月考）已知奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，则函数是周期为4的周期函数，
∴.
故选：C.
例8 （2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）写出在，上的解析式；
（3）当，时，求不等式的解集.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1），
，.
（2）当时，，
.
.
（3）当时，，
由得，
解得：.
当时，求不等式的解集为.
【题型精练】
1．（2022·奉新县第一中学高三月考）已知是定义域为的奇函数，且满足.若，则_______________.
【答案】0
【解析】由知：，即的周期为4，
∵是定义域为的奇函数，有，又，
∴，，，
∴，
∴.
故答案为：0
2. （2022·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算f0+f1+f2+⋯+f2021.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，，是周期为4的周期函数.
当时，，由已知得.
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为4的周期函数，，
从而求得时，.
(2)，，，，又是周期为4的周期函数，
.
又，∴f0+f1+f2+⋯+f2021=-1.
【题型四 函数对称性的应用】
方法技巧 函数的对称性
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
例9 （2022·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；
故选：C
例10 （2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
【题型精练】
1．（2022·四川雅安·高三期末）若，则___________.
【答案】1010
【解析】根据题意，函数，则，
则有；
故；故答案为：1010．
2. （多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
【题型五 函数性质的综合应用】
例11 （2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
例12 （2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
故选：B.
例13 （多选）（2022·全国高三模拟）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，．则下列四个命题中正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数为偶函数
C．函数的周期为8
D．函数在区间上有4个零点
【答案】BC
【解析】令，得，故，又是上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为8，选项C正确．
因为，所以，又是上的奇函数，所以，即，故，所以函数的图象关于直线对称，所以为偶函数，选项B正确．
是上的奇函数，则，又，且当时，，所以当时，只有2个根．又函数的图象关于直线对称，所以当时，只有，故当时，只有2个根，由对称性知，当时，只有2个根，所以函数在区间上有5个零点，故选项D错误
若函数为奇函数，则，令，则，又，所以．又函数的图象关于直线对称，所以，故，与当时，矛盾，故选项A错误．故选：BC．
【题型精练】
1．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于对称
C．为偶函数 D．是周期为4的函数
【答案】AD
【解析】因为，所以关于x=1对称.
因为，所以，所以关于对称.
对于A：由点关于x=1的对称点为，为的对称中心，且关于x=1对称，所以为的对称中心，即，所以为奇函数.故A正确；
对于B：因为，所以，所以的图象不关于对称.故B错误；
对于C：因为，令x+2代换x，得到①.
对于，令x+1代换x，得到②.
由①②得：，令-x代换x，得到，
与②结合得：，
所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于，令x-1代换x，得到，
又因为，所以，
令2-x代换x，得到，
令x-2代换x，得到，
所以，
令x+2代换x，得到，即是周期为4的函数.故D正确.
故选：AD
2. （2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
3. （2022·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
【解析】因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.
2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．与函数周期有关的结论：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
4、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
（3）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
【题型精讲】
【题型一 判断函数奇偶性的两种方法】
必备技巧 判断函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
例1 (安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝xlg(x＋)；②f(x)＝(1－x) ；
③f(x)＝④f(x)＝.
【解析】①∵>|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
②当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．
③函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
④∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称，
∴f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
例2 （2022·江苏·高三单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【解析】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
【题型精练】
1. （2022·广东高三模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
B.在上单调递减，故错误；
C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；
D.因为，所以函数是偶函数，故错误；
故选： C．
2．（2022·全国·高三专题练习）设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
【答案】D
【解析】f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
3. （2022·山东高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，由，解得，
所以，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，即函数的定义域为.
，该函数为奇函数，
当时，，
所以，函数在上单调递减，B选项满足条件；
对于C选项，由，解得，所以，函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
当时，，该函数在上为增函数，C选项不满足条件；
对于D选项，函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
当时，，该函数在上为增函数，D选项不满足条件.
故选：B.
【题型二 函数奇偶性的四种应用】
方法技巧 函数奇偶性的四种应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2) 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
(3) 已知奇函数+M，，则
1.
2．
例3 （2022·福建高三学业考试）设为奇函数，且当时，，则当 时，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
可得.故选：D.
例4 （2022·河南洛阳·三模）若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.
故选：C.
例5 （2022·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
【答案】
【解析】因为，所以，
又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；
所以，则 ，两式相加得，
，所以.故答案为:.
例6 （2022·河南·西平县高级中学模拟预测）已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】设，因为，
所以为奇函数，
因为，
所以，
则．
故选：D.
【题型精练】
1．（2022·四川凉山·高三期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
故答案为：
2. （2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
3. （2022·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】函数的定义域为且
因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，
所以，
因为，满足为奇函数，故选：D.
4. （2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
故选：C.
【题型三 函数周期性的应用】
方法技巧 函数周期性的应用
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
例7 （2022·临河区第三中学高三月考）已知奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，则函数是周期为4的周期函数，
∴.
故选：C.
例8 （2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）写出在，上的解析式；
（3）当，时，求不等式的解集.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1），
，.
（2）当时，，
.
.
（3）当时，，
由得，
解得：.
当时，求不等式的解集为.
【题型精练】
1．（2022·奉新县第一中学高三月考）已知是定义域为的奇函数，且满足.若，则_______________.
【答案】0
【解析】由知：，即的周期为4，
∵是定义域为的奇函数，有，又，
∴，，，
∴，
∴.
故答案为：0
2. （2022·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算f0+f1+f2+⋯+f2021.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，，是周期为4的周期函数.
当时，，由已知得.
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为4的周期函数，，
从而求得时，.
(2)，，，，又是周期为4的周期函数，
.
又，∴f0+f1+f2+⋯+f2021=-1.
【题型四 函数对称性的应用】
方法技巧 函数的对称性
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
例9 （2022·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；
故选：C
例10 （2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
【题型精练】
1．（2022·四川雅安·高三期末）若，则___________.
【答案】1010
【解析】根据题意，函数，则，
则有；
故；故答案为：1010．
2. （多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
【题型五 函数性质的综合应用】
例11 （2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
例12 （2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上，原不等式的解集为.
故选：B.
例13 （多选）（2022·全国高三模拟）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，．则下列四个命题中正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数为偶函数
C．函数的周期为8
D．函数在区间上有4个零点
【答案】BC
【解析】令，得，故，又是上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为8，选项C正确．
因为，所以，又是上的奇函数，所以，即，故，所以函数的图象关于直线对称，所以为偶函数，选项B正确．
是上的奇函数，则，又，且当时，，所以当时，只有2个根．又函数的图象关于直线对称，所以当时，只有，故当时，只有2个根，由对称性知，当时，只有2个根，所以函数在区间上有5个零点，故选项D错误
若函数为奇函数，则，令，则，又，所以．又函数的图象关于直线对称，所以，故，与当时，矛盾，故选项A错误．故选：BC．
【题型精练】
1．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于对称
C．为偶函数 D．是周期为4的函数
【答案】AD
【解析】因为，所以关于x=1对称.
因为，所以，所以关于对称.
对于A：由点关于x=1的对称点为，为的对称中心，且关于x=1对称，所以为的对称中心，即，所以为奇函数.故A正确；
对于B：因为，所以，所以的图象不关于对称.故B错误；
对于C：因为，令x+2代换x，得到①.
对于，令x+1代换x，得到②.
由①②得：，令-x代换x，得到，
与②结合得：，
所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于，令x-1代换x，得到，
又因为，所以，
令2-x代换x，得到，
令x-2代换x，得到，
所以，
令x+2代换x，得到，即是周期为4的函数.故D正确.
故选：AD
2. （2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
3. （2022·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
【解析】因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.
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